1. Matriisi ja operaatiot matriiseilla Flashcards
Miksi kutsutaan matriisin i. rivin ja j.sarakkeen tietoa?
X_ij alkioksi tai elementiksi
Mikä on vektori?
Matriisi, jossa on vain yksi sarake.
Miten matriiseja merkitään?
Isoilla lihavoitetuilla kirjaimilla
Miten vektoreita merkitään?
Pienillä lihavoitetuilla kirjaimilla
Mikä on rivivektori?
x_i. = (x_i1, x_i2, …, x_im)
Mikä on sarakevektori?
x_.j = (x_1j, x_2j, …, x_nj)
Mikä on skalaari?
Yksittäinen reaaliluku, eli 1x1 matriisi
Mikä on ykkösvektori?
Vektori 1_n = (1,….,1)(n*1).
Jos n ei ole täsmennetty, käytetään merkintää tummennettu 1.
Mitä tarkoittaa sisätulo?
(x, y) = summa i->n, x_i*y_i, eli vektorien x ja y kertolasku
Mitä tarkoittaa ortogonaalinen matriisi?
(x, y) = 0
x ja y ovat ortogonaaliset silloin, kun ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan x ⊥ y
Mikä on vektorin normi?
Valitsemalla sisätulossa x = y saadaan (x,x) = summa i->n(x_i)^2 = ||x||^2, eli vektorin x pituus tai normi on
||x|| = SQRT(summa i->n (x_i)^2)
Mikä on neliömatriisi?
Matriisi jossa n=m, eli sarakkeita ja rivejä sama määrä
Mikä on diagonaalimatriisi?
Kun x_ij = 0, i=j eli siis muuten 0 matriisissa, mutta vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan “halkaistaan” matriisi
Mikä on nollamatriisi ja yksikkömatriisi?
Nollamatriisi: Kaikki alkiot nollia
Yksikkömatriisi (identiteettimatriisi): Diagonaalimatriisi, jossa diagonaalialkiot ovat 1.
Mikä on ylä- ja alakolmiomatriisi? Mitä tyyppiä ne ovat?
Neliömatriisi, jonka ylä tai alakulmaan tulee pelkkiä nollia. Tyyppi meinaa siä, kuinka monta riviä/saraketta niissä on.
Miten lasketaan matriisien A ja B summa?
Vastinalkioiden summa, eli
A + B = [a_ij] + [b_ij]
eli esim
[1, 1] + [1,2] = [2,3]
Mitä tarkoittaa skalaarilla kertominen?
λA = λ[a_ij] = [λa_ij]
Mitkä säännöt pätevät matriisien yhteenlaskulle ja skalaarilla kertomiselle?
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
(λ+µ)A = λA + µA
λ(µA) = (λµ)A
λ(A+B)=λA+λB
Milloin matriisitulo on määritelty?
Silloin kun A on yhtä monta saraketta kuin B rivejä.
Miten matriisitulo lasketaan?
Kertomalla A:n jokaisen rivin B:n jokaisen sarakkeen arvon kanssa ja laskemalla niiden summan.
Esim siis A:n 1. rivi 1. alkio * B:n 1. sarake 1. alkio + 1.rivi 2.alkio*B:n 1. sarake 2.alkio jne.
Mitkä laskusäännöt matriisitulolle on voimassa?
(AB)C = A(BC)
A(B+C) = AB + AC
(A + B)C = AC + BC
Onko AB = BA matriisitulossa?
Ei yleensä
Mitä tapahtuu kun A(n*m) kerrotaana oikealta vektorilla x = (x_1, …, x_m)
Määrittelee lineaarikuvauksen x -> Ax: R^m -> R^n, eli muuttuu m dimensiosta n dimensioonaksi.
Voidaan merkitä x1sarake1 + x2sarake2 … x_m*sarake_m
Kääntäen pätee, että jokainen lineaarikuvaus R^m -> R^n voidaan esittää tällä tavalla jonkin matriisin A avulla
Mikä on transpoosi?
Matriisin A (nm) transpoosi A’ (mn) saadaan vaihtamalla rivit ja sarakkeet keskenään.
Esim:
0 1
2 3
on transponoituna
0 2
1 3
Milloin neliömatriisi on symmetrinen?
Jos A = A’ eli transpoosi on sama kuin ennen transpoosia
Mitkä laskusäännöt ovat voimassa symmetriselle neliömatriisille?
(A’)’ = A
(A + B)’ = A’ + B’
(AB)’ = B’A’
(λA)’ = λA’
A’A = summa i,n a_i*a_i’
Mikä on matriisin jälki?
Neliömatriisin diagonaalialkioiden summa, eli siis vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan olevien lukujen summa
Mitä laskusääntöjä matriisien jäljille on voimassa?
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
tr(AB) = tr(BA)
tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB) *huom! ei siisi miten sattuu vaan ns syklinä siirretään aina yksi vasemmalle
tr(A) = summa i,n λ_i jossa λ on A:n ominaisarvot
