3. Lineáris algebra

Question 1

Síkvektorok halmaza E2

Answer 1

Elemei irányított szakaszok, amelyeket nyíllal szemléltetünk. Az elemeknek van nagyságuk és irányuk. Bármely két elemnek értelmezve van az összege, amely szintén halmazbeli. Bármely elemnek értelmezve van egy valós számmal vett szorzata (skalárszoros) ami szintén halmazbeli. Az elemek között értelmezve van skaláris szorzás. Vigyázat: ez nem ugyanaz, mint a skalárral való szorzás! A skaláris szorzás eredménye nem a halmaz eleme, hanem egy valós szám.

Question 2

Vektortér definíció

Answer 2

Minden olyan struktúrát, amely a síkvektorokra értelmezett összeadás és skalárral való szorzás műveletével rendelkezik, vektortérnek nevezzük. Azaz ha egy tetszőleges halmazon értelmezhető az összeadás és egy skalárral való szorzás, akkor az így kapott struktúrát vektortérnek, elemeit vektoroknak fogjuk nevezni.

Question 3

Normált terek

Answer 3

A síkvektorok fontos tulajdonsága a hosszúságuk (nagyságuk). Egy tetszőleges vektortérben nem biztos, hogy van hosszuk az elemeknek, de a gyakorlatban azok a vektorterek a legfontosabbak, amelyekben értelmes ez a fogalom. Az ilyen vektortereket normált tereknek fogjuk nevezni.

Question 4

Ahhoz, hogy egy tetszőleges vektortérben értelmezhessük az elemek hosszúságát (|a ⃗|), a következő feltételeknek kell teljesülnie

Answer 4

1. A hosszúság mindig nemnegatív, és csak akkor nulla, ha nullvektorról van szó.
   
   2. Két vektor összege nem lehet hosszabb, mint az összeadandók hosszámak összege.
   3. Ha egy vektort λ ∈ R számmal szorzunk, akkor a vektor hossza | λ |-szorosára változik.

Question 5

Az E2 vektortéren tehát már három normát is ismerünk. Ezekre a következő jelölések és elnevezések használatosak

Answer 5

elsőnorma
második, vagy euklideszi norma
maximumnorma

Question 6

Vektor összeadás

Answer 6

A síkvektorok összeadásakor két síkvektorhoz hozzárendelünk egy harmadikat, azaz az összeadás művelete nem más, mint egy E2 × E2 → E2 leképezés. A síkvektorok összeadásának négy alapvető tulajdonsága van.
Ha tudunk olyan X × X → X leképzést definiálni, amely szintén rendelkezik mindezen négy tulajdonsággal, akkor ezt a műveletet X-beli összeadásnak fogjuk nevezni.