1. Halmazok

Question 1

Halmaz

Answer 1

alapfogalom, nem definiáljuk.

Question 2

Halmaz eleme

Answer 2

alapfogalom, nem definiáljuk.

Question 3

Halmaz elemeinek meghatározása

Answer 3

• körülírjuk
• felsoroljuk az elemeit
• logikai állítással határozzuk meg

Question 4

Részhalmaz

Answer 4

’A’ halmaz részhalmaza ’B’ halmaznak, ha ’A’ halmaz minden eleme eleme ’B’ halmaznak is. Jelölés: A⊆B

Question 5

Valódi részhalmaz

Answer 5

’A’ halmaz valódi részhalmaza ’B’ halmaznak, ha ’A’ halmaz minden eleme eleme ’B’ halmaznak is, és van ’B’ halmaznak olyan eleme, amely nem eleme ’A’ halmaznak. Jelölés: A⊂B

Question 6

Komplementer

Answer 6

Egy ’A’ halmaz komplementere az alaphalmaz minden olyan eleme, amely nem eleme ’A’ halmaznak.

Question 7

Unió

Answer 7

Az ’A’ és ’B’ halmazok uniója az alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek ’A’ és ’B’ halmaz közül legalább az egyiknek elemei. Jelölés: A∪B

Question 8

Metszet

Answer 8

Az ’A’ és ’B’ halmazok metszete az alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek az ’A’ és ’B’ halmaznak egyaránt elemei. Jelölés: A∩B

Question 9

Különbség

Answer 9

Az ’A’ különbség ’B’ az alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek elemei ’A’ halmaznak, de nem elemei ’B’ halmaznak. Jelölés: A\B

Question 10

Szimmetrikus differencia

Answer 10

Az ’A’ és ’B’ halmaz szimmetrikus differenciája az alaphalmaz azon elemeit tartalmazza, amelyek vagy az ’A’ halmaznak, vagy a ’B’ halmaznak elemei. (de nem mind a kettőnek)
Jelölés: A∆B

Question 11

Descartes-szorzat

Answer 11

A relációk definiálásához ismernünk kell a Descartes-szorzat fogalmát. Az ’A’ és ’B’ halmaz Descartes-szorzatának nevezzük azt a halmazt, amelynek elemei a két halmaz elemeiből álló rendezett párok. Jele: A X B

Question 12

σ reláció

Answer 12

Rendezett párok halmazát, amelyet az A X A Descartes-négyzet részhalmazaként kapunk σ relációnak nevezzük.

Question 13

Reflexív

Answer 13

A σ reláció reflexív, ha minden a ∈ A-ra teljesül, hogy (a,a) ∈ σ, azaz, ha a halmaz minden eleme relációban van önmagával.

Question 14

Szimmetrikus

Answer 14

A σ reláció szimmetrikus, ha minden a, b ∈ A-ra teljesül, hogy ha (a, b) ∈ σ, akkor (b, a) ∈ σ. Azaz, ha a relációban van b-vel, akkor b is relációban van a-val.

Question 15

Tranzitív

Answer 15

A σ reláció szimmetrikus, ha minden a, b, c ∈ A-ra teljesül, hogy ha (a, b) ∈ σ és (b, c) ∈ σ akkor (a, c) ∈ σ. Azaz, ha a relációban van b-vel és b relációban van c-vel, akkor a is relációban van c-vel.

Question 16

Antiszimmetria

Answer 16

A σ reláció antiszimmetrikus, ha minden a, b ∈ A-ra teljesül, hogy ha (a, b) ∈ σ és (b, a) ∈ σ, akkor a=b. Azaz, ha a relációban van b-vel, akkor b csak abban az esetben lehet relációban a-val, ha a = b.

Question 17

Dichotom

Answer 17

A σ reláció dichotom, ha minden a, b ∈ A-ra teljesül, hogy (a, b) ∈ σ vagy
(b, a) ∈ σ. Azaz bármely két elemet tekintve az egyik relációban van a másikkal.

Question 18

Függvény

Answer 18

Akkor mondjuk, hogy az A, B halmazpáron értelmezett f reláció függvény, ha (a, b) ∈ f és (a, c) ∈ f, akkor b=c. Azaz a reláció egyértelmű, vagyis bármely elemhez az A halmazból (a) pontosan egy elem tartozik a B halmazból (b). Ebben az esetben az a elem a b f szerinti ősképe, a b pedig az a f szerinti képe.

Question 19

Injektív

Answer 19

Egy X -> Y függvény injektív, ha bármely két elemének a képe különböző.

Question 20

Szürjektív

Answer 20

Egy X -> Y függvény szürjektív, ha a B minden elemének van ősképe A-ban.

Question 21

Bijektív

Answer 21

Egy X -> Y függvény bijektív, he egyszerre injektív és szürjektív is.

Question 22

Ekvivalenciareláció

Answer 22

A σ reláció ekvivalenciareláció/ekvivalencia, ha egyszerre reflexív, tranzitív és szimmetrikus.

Question 23

Ekvivalenciareláció tulajdonságai

Answer 23

Minden ~ ekvivalenciareláció egyértelműen meghatároz egy osztályozást azon az A halmazon, amelyen definiálva van. Azaz, az a, b ∈ A elemek pontosan akkor kerülnek egy osztályba, ha a~b reláció fennáll.
Egy A halmaz egy osztályozása az ~A~ halmazrendszer, ha a halmazai páronként diszjunktak és lefedik az A halmazt.

Question 24

Részbenrendezés

Answer 24

A σ reláció részbenrendezés, ha egyszerre reflexív, tranzitív és antiszimmetrikus.

Question 25

Teljes rendezés

Answer 25

A σ reláció teljes rendezés, ha egyszerre részbenrendezés és dichotom.

Question 26

Természetes számok

Answer 26

Pozitív egész számok halmaza. Jele: N.
Bármely két egész szám összege és szorzata is egész szám, tehát a természetes számok halmaza összeadásra és szorzásra nézve zárt.

Question 27

Egész számok

Answer 27

Jele: Z.
Bármely két egész szám összege, szorzata és különbsége is egész, azaz az egész számok halmaza összeadásra, kivonásra és szorzásra zárt.

Question 28

Racionális számok

Answer 28

Felírhatóak két egész szám hányadosaként. Jele: Q.
Bármely két racionális szám összege, szorzata, különbsége és hányadosa is racionális, azaz az racionális számok halmaza összeadásra, kivonásra, szorzásra és osztásra zárt.

Question 29

Irracionális számok

Answer 29

Olyan számok, amelyek nem írhatóak fel két egész szám hányadosaként. Tizedestört alakjuk végtelen és nem periodikus. Jele: Q*.

Question 30

Valós számok

Answer 30

A racionális és az irracionális számok halmazának uniója. Jele: R. Mind a négy alapműveletre zárt.

Question 31

Komplex számok

Answer 31

A valós számok halmazának olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számokból való gyökvonás. Jele: C.

Question 32

Képzetes egység, kanonikus alak

Answer 32

A képzetes/imaginárius egység az egyik olyan szám, amelynek négyzete -1. Jele: i.
Legyen z ∈ C, z = (a, b) egy komplex szám. Ekkor z kanonikus alakja z = a + b * i. Ekkor a-t z valós részének, b-t pedig z képzetes részének nevezzük.