2. Recherche de primitives

Question 1

Donner la définition d’une primitive.

Answer 1

Si une fonction f est définie sur un intervalle I ⊂ R, une primitive F de f est une fonction dérivable sur I qui satisfait l’égalité F′ = f .

Trouver les primitives de la fonction f
revient donc à résoudre l’équation différentielle
x′(t) = f (t).

Question 2

De quelle forme est l’équation x’(t) = f(t) ?

Answer 2

Cette équation est bien de la forme (E), où la fonction ϕ est définie par : ϕ(t, z) = f (t) (donc ϕ est indépendante de la variable z).

Question 3

L’équation différentielle x’(t) = f(t) admet une infinité de solutions (une pour chaque primitive!). Comment en obtenir une unique?

Answer 3

→ il faut tenir compte d’une condition
particulière qui consiste à fixer la valeur de la solution à l’instant t0

Question 4

Définition 3:
Qu’est-ce qu’une condition initiale?

Answer 4

Une condition initiale de l’équation est la donnée d’un couple (t0, x0) ∈ I × R satisfaisant x(t0) = x0.

Question 5

Enoncé le théorème 1 découlant de la définition (n°3) d’une condition initiale.

Answer 5

Théorème 1
Considérons le problème équation différentielle/condition initiale suivant
x’(t) = f(t)
x(t0)

Le problème a une unique solution qui est la primitive F de f satisfaisant F(t0) = x0

Question 6

Pourquoi l’équation de Malthus (M) ne peut pas être résolu à partir du théorème 1

Answer 6

L’équation de Malthus (M) n’est pas du type x’(t) = f(t), le théorème précédent ne permet donc pas de résoudre l’équation.

Question 7

Exercice 1:

1. Résoudre l’équation différentielle x’(t) = t
2. Résoudre le problème x’(t) = t
   x(t0) = x0

Answer 7

Réponse :

1. x(t) = (t²/ 2) + λ, où λ ∈ R
2. on impose x(t0) = x0 ⇒ (t0²/2) + λ = x0
   ⇒ λ = x0 − (t0²/2) et donc l’unique solution est
   t→ x(t) = (t²-t0²/2)+ x0