1. Généralités sur les équations différentielles du premier ordre Flashcards
Qu’est-ce qu’une équation?
C’est une relation conditionnelle d’égalité existant entre 2 quantités et dépendant de certaines variables (ou inconnu).
Que veut dire “résoudre” dans l’énoncé: “résoudre dans R l’équation 2x+ 3 = 0 ?
“résoudre” c’est trouver toutes les valeurs de l’inconnue x ∈ R qui satisfont l’égalité.
ATTENTION! Dans ce chapitre sur les équations différentielles, à quoi correspond l’inconnu x?
dans l’exemple 2x +3 = 0, l’inconnu x désigne un nombre réel, tandis que dans l’équation différentielle (M) l’inconnue x est une fonction de la variable réelle t. Dans le cas des équation différentielles on peut noter l’inconnue: x(t) pour éviter les confusion.
Définition 1: Qu’est-ce qu’une équation différentielle d’ordre 1?
Une équation différentielle sur un intervalle I de R est une équation, dont l’inconnue est une fonction x dépendant d’une variable t, s’écrivant sous la forme:
(E): x’(t) = φ (t, x(t) )
où ϕ : (t, z) → ϕ(t, z) est une fonction de 2 variables réelles.
Que veut dire une équation différentielle (E)?
Résoudre l’équation différentielle (E), c’est donc trouver toutes les solutions de l’équation, c’est-à-dire toutes les fonctions t → x(t) définies et dérivables sur l’intervalle I et
qui satisfont l’égalité (E).
Est-il toujours possible de trouver une solution à une équation différentielle?
Il n’est pas toujours possible dans la pratique de résoudre une équation différentielle. Dans ce
cours, on s’intéressera à certaines classes d’équations pour lesquelles il existe des méthodes
de résolution.
Définition 2:
Qu’est-ce qu’une équation différentielle d’ordre 1 dite linéaire?
Une équation différentielle d’ordre 1 est dite linéaire lorsqu’elle est écrite sous la forme
x’(t) = a(t)x(t) + b(t) avec a et b fonctions de t ou, autrement dit, la fonction ϕ dans l’équation
(E) est ϕ : (t, z) → a(t)z + b(t).
Si l’équation n’est pas linéaire, on dit qu’elle est non linéaire.
Donner 1 exemple justifié d’équation différentielle d’ordre 1 linéaire et un exemple non linéaire.
- Equation (M) de MALTHUS:
l’équation s’écrit x’(t) = ϕ (x(t)) avec ϕ : z → (β - µ)z
il s’agit donc d’une équation différentielle linéaire où a(t) ≡ β − µ et b(t) ≡ 0 sont constants. - x’ = tx² (avec ϕ(t, z) = tz²) est non linéaire du au terme élevé au carré.
