2. Juros Compostos Flashcards
PARA FIXAR
No conceito das operações em matemática financeira, 3 taxas são bastantes cobradas em provas. São elas: a Taxa aparente, a Taxa real e a Taxa de inflação.
No que consiste a taxa aparente?
A taxa de juros total de uma operação financeira, não descontados os efeitos inflacionários.
Qual outro nome dado à taxa aparente?
Taxa nominal.
Como é a representação da taxa aparente?
iₐ
O que é a inflação?
A aumento generalizado de preços.
No que consiste a taxa de inflação?
A perda do valor do dinheiro no tempo.
Como é representada a taxa de inflação?
iᵢ
No que consiste a taxa real?
O que realmente se ganha ou se perde em uma operação, o resultado de fato de um investimento, por exemplo, descontados os efeitos inflacionários.
Como é representada a taxa real?
iᵣ
Tiago passou em um concurso público e conseguiu juntar, digamos, R$ 100.000,00.
Ele pretende investir em uma aplicação que rende 10% de juros compostos em 2 ano.
Quanto Tiago terá em sua conta ao final do investimento?
M = C × (1 + i)ᵗ
M = 100.000 (1 + 0,1)²
M = 100.000 × 1,01²
M = 100.000 × 1,21
M = 121.000
Tiago passou em um concurso público e conseguiu juntar, digamos, R$ 100.000,00.
Ele pretende investir em uma aplicação que rende 10% de juros compostos em 2 anos.
A taxa de inflação do período foi de 2,5% a.a.
Calcule a taxa real, o montante real e os juros reais desse investimento?
(1 + iₐ) = (1 + iᵣ) × (1 + iᵢ)
(1 + 0,2) = (1 + iᵣ) × (1 + 0,025 × 2)
0,025 × 2 porque foi 2,5 ao ano e são 2 anos
1,2 = (1 + iᵣ) × (1,05)
1,2 ÷ 1,05 = 1 + iᵣ
1,14 = 1 + iᵣ
iᵣ = 1,14 - 1
iᵣ = 0,14 ou 14%
M = C (1 + iᵣ)
M = 100.000 (1 + 0,14)
M = 100.000 × 1,14
M = 114.000
Jᵣ = Mᵣ - C
Jᵣ = 114.000 - 100.000
Jᵣ = 14.000
Qual a fórmula da equação de Fisher?
PARA FIXAR
Quando irei utilizar cada uma das fórmulas?
Isso vai depender das informações fornecidas no enunciado. Por isso a importância de se resolver muitas questões.
PARA FIXAR
Em uma economia inflacionária, isto é, com inflação positiva (> 0), a Taxa real de Juros é menor ou maior que a taxa aparente?
SEMPRE MENOR!!
Em uma economia inflacionária, isto é, com inflação negativa (< 0), a Taxa real de Juros é menor ou maior que a taxa aparente?
MAIOR!!
Se em determinado período a Taxa Aparente é de 20% no período e a Taxa de inflação é de 10%, qual será o valor da Taxa real?
(1 + iₐ) = (1 + iᵣ) × (1 + iᵢ)
(1 + 0,2) = (1 + iᵣ) × (1 + 0,1)
1,2 = (1 + iᵣ) × 1,1
1,2 ÷ 1,1 = (1 + iᵣ)
1,09 = 1 + iᵣ
iᵣ = 1,09 - 1
iᵣ = 0,09 ou 9%
perceba que a economia é inflacionária e a taxa real é menor que a taxa aparente
Se em determinado período a Taxa Aparente é de 20% no período e a Taxa de inflação é de -5%, qual será o valor da Taxa real?
(1 + iₐ) = (1 + iᵣ) × (1 + iᵢ)
(1 + 0,2) = (1 + iᵣ) × (1 - 0,05)
1,2 = (1 + iᵣ) × 0,95
1,2 ÷ 0,95 = 1 + iᵣ
1,263 = 1 + iᵣ
iᵣ = 1,263 - 1
iᵣ = 0,263 ou 26,3%
perceba que a economia é deflacionária e a taxa real é menor que a taxa aparente
Qual a equação da taxa de inflação acumulada de um período?
No trimestre de 2025, a taxa de inflação no primeiro mês foi de 5%, 7% no segundo mês e 6,5% no terceiro mês.
Calcule a inflação acumulada do período.
- (1 + iac) = (1 + iac1) x (1 + iac2) x (1 + ac3)
- (1 + iac) = (1 + 0,05) x (1 + 0,07) x (1 + 0,065)
- (1 + iac) = 1,05 x 1,07 x 1,065
- (1 + iac) = 1,196
- iac = 1,196 - 1
- iac = 0,196 ou 19,6%
João obteve um Empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês em regime de Juros Compostos para ser pago ao final de 3 meses. Porém, na hora da liberação do recurso, o banco cobrou uma taxa de abertura de crédito de R$ 2.000,00 mais um valor de R$ 500,00 referente a outras taxas.
Qual o capital efetivo recebido?
Cef = 100.000 − 2.000 − 500
Cef = 97.500
resumindo: o banco liberou os 100.000, só que além disso, cobrou 2.500 de taxas. então a pessoa não recebe 100.000 e sim 97.500
João obteve um Empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês em regime de Juros Compostos para ser pago ao final de 3 meses. Porém, na hora da liberação do recurso, o banco cobrou uma taxa de abertura de crédito de R$ 2.000,00 mais um valor de R$ 500,00 referente a outras taxas e, com isso, o capital efetivo recebido foi de R$ 97.500
Os juros cobrados pelo banco será pelos 100.000 ou pelos 97.500?
Pelo valor nominal do empréstimo, ou seja, 100.000
João obteve um Empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês em regime de Juros Compostos para ser pago ao final de 3 meses. Porém, na hora da liberação do recurso, o banco cobrou uma taxa de abertura de crédito de R$ 2.000,00 mais um valor de R$ 500,00 referente a outras taxas e, com isso, o capital efetivo recebido foi de R$ 97.500.
Qual o valor total que João pagará pelo empréstimo?
M = C × (1 + i)ᵗ
M = 100.000 × (1 + 0,1)³
M = 100.000 × (1,1)³
M = 100.000 × 1,331
M = 133.100
João obteve um Empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês em regime de Juros Compostos para ser pago ao final de 3 meses. Porém, na hora da liberação do recurso, o banco cobrou uma taxa de abertura de crédito de R$ 2.000,00 mais um valor de R$ 500,00 referente a outras taxas e, com isso, o capital efetivo recebido foi de R$ 97.500.
Qual a taxa efetiva (custo efetivo) no período desta operação?
1) Primeiro se calcula o capital efetivo recebido
Cef = 100.000 − 2.000 − 500
Cef = 97.500
2) Depois de calcula o montante total a ser pago no empréstimo
M = C × (1 + i)ᵗ
M = 100.000 × (1 + 0,1)³
M = 100.000 × (1,1)³
M = 100.000 × 1,331
M = 133.100
3) ief = M ÷ Cef
ief = 133.100 ÷ 97.500
ief = 1,365, ou seja, 36,5%
O custo efetivo da operação foi de 36,5%
Qual a fórmula do montante da capitalização contínua?
e = número de euler = 2,71828
PARA FIXAR
Nas questões de provas sobre capitalização contínua, as bancas irão fornecer o valor da potência ou o valor do Logaritmo Neperiano (logaritmo na base e).
Quando o enunciado fornecer o valor do Logaritmo, teremos que lembrar da definição de logartimo das aulas de matemática básica em que:
Dados dois números reais positivos ‘a’ e ‘x’, com a > 0
a ≠ 1, o logaritmo de x na base a é igual ao expoente y ao qual a base ‘a’ deve ser elevada para se chegar a x como resultado.
Se a > 0 e a ≠ 1 e x > 0, temos que:
logₐx = y ↔ aʸ = x
Isto, é o logaritmo x na base de a é a solução de y na equação aʸ = x
Um capital de R$ 15.000,00 é aplicado, durante 2 anos, à taxa de 5% ao semestre com capitalização contínua.
Qual o valor dos juros desta aplicação?
Dados: ln(1,221403) = 0,2
M = C x eⁱˣᵗ
M = 15.000 x e⁰ᶥ⁰⁵ˣ²
M = 15.000 x e⁰ᶥ²
Temos que se logₐx = y, então aʸ = x
Logo, se ln(1,221403) = 0,2, então e⁰ᶥ² = 1,221403
M = 15.000 x 1,221403
M ≅ 18.321
Como a questão pediu os juros da aplicação:
J = M - C
J = 18.321 - 15.000
J = 3.321
