1 Flashcards
Eine Abbildung, die jeder natürlichen Zahl n ∈ N (bzw. N0) eine reelle
Zahl an zuordnet,
Eine Abbildung, die den Zahlen n ∈ {1,2, . . . ,m} eine reelle Zahl an zuordnet, heißt
Eine Folge heißt
monoton wachsend,
streng monoton wachsend, wenn
monoton fallend, wenn
streng monoton fallend, wenn
nach oben beschränkt, wenn
nach unten beschränkt, wenn
beschränkt, wenn
Eine Folge heißt arithmetische Folge, wenn
die Differenz d zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder jeweils konstant ist.
Es gilt für alle n die Beziehung: an+1 − an = d.
Für das n-te Folgenglied einer arithmetischen Folge gilt:
an = a0 + n · d = a1 + (n − 1) · d.
Im Unterschied zu arithmetischen Folgen verändern sich bei geometrischen Folgen die Folgenglieder nicht um einen festen Betrag, sondern
um eine konstante geometrische Folge
Änderungsrate bzw. einen Prozentsatz, der sich als Quotient darstellen lässt.
Eine Folge heißt geometrische Folge, wenn
Für das n-te Folgenglied einer geometrischen Folge gilt:
Dieser Werteverzehr wird durch Abschreibungen (Abschreibungen für Abnutzung, AfA) erfasst. Insbesondere wenn die Abnutzung regelmäßig und damit
planbar ist, kommen Abschreibungsmethoden zur Anwendung. Bei der linearen Abschreibung wird unterstellt, dass
die Abnutzung über die Nutzungsdauer lineare
Abschreibung gleichmäßig ist. Die Abschreibung erfolgt in diesem Fall in gleich hohen Jahresraten. Der Abschreibungsbetrag ergibt sich bei einer linearen Abschreibung
aus der gleichmäßigen Aufteilung des Anschaffungswertes über die Nutzungsdauer.
. Bei der linearen Abschreibung wird unterstellt, dass die Abnutzung über die Nutzungsdauer lineare
Abschreibung gleichmäßig ist. Die Abschreibung erfolgt in diesem Fall in gleich hohen Jahresraten. Der Abschreibungsbetrag ergibt sich bei einer linearen Abschreibung
aus der gleichmäßigen Aufteilung des Anschaffungswertes über die Nutzungsdauer. Es gilt speziell:
Im Unterschied zur linearen Abschreibung unterstellt die geometrisch degressive Abschreibung
Die Restbuchwerte entsprechen in diesem Fall den Folgengliedern einer …
über die Nutzungsdauer fallende Abschreibungsbeträge. So geometrisch degresunterliegt eine Maschine im ersten Jahr nach der Anschaffung in de sive Abschreibung r Regel
einem höheren Werteverzehr als im zweiten Nutzungsjahr usw.
geometrisch streng
monoton fallenden Folge.
Bei einer geometrisch degressiven Abschreibung berechnet sich ausgehend von
einem Anschaffungswert ¯a und einem Abschreibungssatz qA der Restbuchwert
Neben den beiden hier kurz vorgestellten grundlegenden Abschreibungsmethoden gibt es eine Vielzahl von Varianten. Bei arithmetisch degressiven Abschreibungsverfahren fallen die Abschreibungsbeträge in jedem Jahr um einen
konstanten Betrag. Bei dieser auch als digital bezeichneten Abschreibungsmethode sind die Abschreibungsbeträge selbst eine
monoton fallende arithmetische Folge.
In Abbildung 1.3 ist zu erkennen, dass der Umsatz im Laufe der Jahre streng
monoton fällt und spätestens nach einigen Jahren aus ökonomischer Sicht bedeutungslos ist, da er gegen den Wert null strebt. In diesem Fall konvergiert
konvergente Folgen die Folge gegen den Wert null. Die monoton fallende Folge ist nach unten beschränkt, allerdings wird die untere Schranke nicht erreicht. Diese Schranke
Grenzwert heißt
Grenzwert einer unendlichen Folge.
Eine unendliche Folge {an} konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn
In Abbildung 1.3 ist zu erkennen, dass der Umsatz im Laufe der Jahre streng
monoton fällt und spätestens nach einigen Jahren aus ökonomischer Sicht bedeutungslos ist, da er gegen den Wert null strebt. In diesem Fall
konvergiert
konvergente Folgen die Folge gegen den Wert null.
Die Schreibweise limn→∞
an liest sich als
„Limes von an für n gegen Unendlich“.
Haben Folgen den Grenzwert null, dann heißen diese auch Nullfolgen.
„Limes von an für n gegen Unendlich“.
Haben Folgen den Grenzwert null, dann heißen diese auch
Nullfolgen.
Allerdings hat nicht jede unendliche Folge einen Grenzwert. Folgen, die nicht
gegen eine Zahl konvergieren, heißen
divergent. Streben die Folgenglieder gegen divergente Folgen
+∞ oder −∞, so wird dies auch als
Allerdings hat nicht jede unendliche Folge einen Grenzwert. Folgen, die nicht
gegen eine Zahl konvergieren, heißen divergent. Streben die Folgenglieder gegen divergente Folgen
+∞ oder −∞, so wird dies auch als bestimmte Divergenz bzw. uneigentlicher Grenzwert
Grenzwert bezeichnet:
Allerdings hat nicht jede unendliche Folge einen Grenzwert. Folgen, die nicht
gegen eine Zahl konvergieren, heißen divergent. Streben die Folgenglieder gegen divergente Folgen
+∞ oder −∞, so wird dies auch als
bestimmte Divergenz bzw. uneigentlicher Grenzwert
Grenzwert bezeichnet:
Von dem Grenzwert einer Folge ist der Häufungspunkt zu unterscheiden. Lie- Häufungspunkt
gen unendlich viele Folgenglieder einer Folge beliebig nahe an einer Zahl a,
so heißt a
Häufungspunkt der Folge.
Eine konvergente Folge hat definitionsgemäß immer nur
genau einen Grenzwert, der dann mit dem Häufungspunkt übereinstimmt.
der dann mit dem Häufungspunkt übereinstimmt.
Grenzwerte spezieller Folgen:
Es seien {an} und {bn} konvergente Folgen mit Grenzwerten limn→∞
an = a
und limn→∞
bn = b, dann gelten folgende Rechenregeln für Grenzwerte:
Ist {an} = {a1, a2, a3, . . .} eine Zahlenfolge, so heißt die endliche Summe
sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an =
Xn
k=1
ak
n-te Teilsumme. Eine Folge der Teilsummen sn heißt
Reihe.
Es bezeichnet P∞
k=1
ak = limn→∞
Pn
k=1
ak eine unendliche Reihe.
Die Summe von n Folgengliedern einer arithmetischen Folge ist
das
n-fache arithmetische Mittel aus dem ersten Folgenglied a1 und dem
letzten Folgenglied an:
Die Summe von n Folgengliedern einer arithmetischen Folge ist
das n-fache arithmetische Mittel aus dem ersten Folgenglied a1 und dem
letzten Folgenglied an:
Für die Summe von n Folgenglieder einer geometrischen Folge gilt:
Der Umsatz von Produkt D (Beispiel 1.1 auf S. 3) fällt wie beschrieben ausgehend
von 125 TEur im Januar monatlich um 20 %. Wie hoch ist der gesamte Umsatz
für dieses Produkt am Ende des Jahres?
Anstatt die Umsätze der einzelnen Monate aufzulisten und dann zu addieren, lässt
sich der Jahresumsatz direkt mit der Formel (1.10) bestimmen. Ausgehend vom
Umsatz im Januar (a1 = 125 TEur) resultiert:
Ein Kapital K0, das jährlich am Ende eines Jahres zu einem Zinssatz i
einfach verzinst wird, d.h. dessen Zinsen nicht verzinst werden, ergibt
nach n Jahren ein Endkapital von:
Bei der Zins- und Zinseszinsrechnung bezeichnet:
p : Zinsen in Prozent (Zinsfuß)
i : Zinsen je GE (Zinssatz, i = p/100)
q : Aufzinsungsfaktor (q = 1 + i)
n : Anzahl der Zinsperioden (Laufzeit)
K0 : Anfangskapital (in GE)
Kn : Kapital nach n Zinsperioden (Endkapital)
B0 : Barwert
Bei der einfachen Verzinsung (Zinsrechnung ohne Zinseszins) wird unterstellt,
dass sich die jährlich anfallenden Zinsen nicht verzinsen. Die Entwicklung des
Kapitals lässt sich im Zeitablauf als
eine arithmetische Folge darstellen.
Bei der einfachen Verzinsung (Zinsrechnung ohne Zinseszins) wird unterstellt,
dass sich die jährlich anfallenden Zinsen nicht verzinsen. Die Entwicklung des
Kapitals lässt sich im Zeitablauf als eine arithmetische Folge darstellen. Die
jährliche Differenz entspricht genau den Zinsen (d = i·K0). Für die Berechnung
des Kapitals Kn nach n Perioden ergibt sich gemäß der Bestimmung eines nten Folgengliedes einer arithmetischen Folge (vgl. (1.1) auf S. 5)
an = a0 + n · d und damit für das Endkapital
Kn = K0 + n · K0 · i .
Ein Kapital K0, das jährlich am Ende eines Jahres zu einem Zinssatz i
einfach verzinst wird, d.h. dessen Zinsen nicht verzinst werden, ergibt
nach n Jahren ein Endkapital von:
Kn = K0 + n · i · K0 = K0 (1 + n · i).
Ein Kapital K0, das jährlich am Ende eines Jahres zu einem Zinssatz i
verzinst wird, ergibt nach n Jahren ein Endkapital von
Kn = K0 · (1 + i)
n = K0 · qn
Ein Kapital K0, das zu einem nominellen Zinssatz i unterjährig am
Ende von m Zinsperioden verzinst wird, ergibt nach n Jahren ein Endkapital (m,n > 1) von:
Ein Unternehmen legt 100 000 Euro für 8 Jahre zu einem Zinssatz von 6% p.a. an.
Während das Endkapital bei einer einfachen Verzinsung sich auf
K8 =100 000 + 8 · 0,06 · 100 000 = 148 000 [Euro]
beläuft, beträgt es bei der Berücksichtigung von Zinseszinsen
K8 =100 000 · 1,068 = 100 000 · 1,593848 = 159 384,81 [Euro] .
Eine Anlage von 100 000 Euro wird zu einem nominellen Zins von 6% p.a. monatlich
für 8 Jahre verzinst. Der monatliche Zins liegt somit bei im = 0,005 (6/12 %).
Insgesamt erfolgt eine Verzinsung in jedem Monat über 8 Jahre:
Ein Kapital K0, das zu einem Zinssatz i stetig verzinst wird, ergibt nach
n Jahren ein Endkapital von:
Zur Herleitung des effektiven Jahreszinssatzes ieff wird das Endkapital nach
m · n Zinsperioden mit einem nominellen Zinssatz im = i/m dem Endkapital
nach n Jahren zum effektiven Jahreszinssatz ieff gleichgesetzt. Nach (1.13) auf
Seite 26 und (1.14) auf Seite 29 gilt demnach:
Der effektive Jahreszinssatz ieff ist bei einer unterjährigen Verzinsung
mit m Zinsperioden definiert als:
Ein Kapital wird zu einem nominellen Jahreszins von 6 % p.a. in jedem Monat verzinst. Der effektive Jahreszins entspricht in diesem Fall gemäß (1.16) mit m = 12:
Der Barwert B0 gibt den Betrag an, der
Reelle Funktionen
Eine Funktion f hat
ein Infimum (inf),
Eine Funktion hat ein ein Supremum (sup), wenn
Elementare Verknüpfungen h von Funktionen f und g
fasst folgende Tabelle zusammen.
Funktion variabler Kosten
Gesamt-Kostenfunktion
Stückkostenfunktion
Preisfunktion
Erlösfunktion
Gewinnfunktion
Deckungsbeitragsfunktion
Potenzfunktion
Exponentialfunktion
Logarithmusfunktion
Eine reelle Funktion f : Df → Wf ist
