פונקציות גבולות ורציפות

Question 1

נאמר שפונקציה מוגדרת בסביבה ימנית מנוקבת של a

Answer 1

(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − a| < δ ⇒ x ∈ Df )

Question 2

a פונקציה מוגדרת בסביבה שמאלית מנוקבת של

Answer 2

(∃δ > 0)(∀x)(0 < a - x < δ ⇒ x ∈ Df )

Question 3

a גבול של פונקציה בנקודה

Answer 3

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε)

Question 4

גבול חד צדדי ימני

Answer 4

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − l| < ε)

Question 5

נאמר ש-L הוא גבול משמאל של הפונקציה בנקודה a

Answer 5

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(0 < a - x < δ ⇒ |f(x) − l| < ε)

Question 6

איפיון היינה לגבול חד צדדי ימני

Answer 6

Question 7

גבול קיים או ורק אם שני הגבולות החד צדדים קיימים ושווים

Answer 7

Question 8

נאמר שf רציפה בa

Answer 8

lim x→a f(x) = f(a)

שלושה דברים:

A נמצאת בתחום ההגדרה

קיים גבול בנקודה A

הגבול שווה לערך הפונקציה בנקודה

Question 9

הגדרת רציפות בעזרת סדרות

Answer 9

לכל סידרה עם התכונות:

Xn בתחום ההגדרה

Xn שואף ל-a

מתקיים

מתקיים f(Xn) –> f(a)

Question 10

הגדרה שקולה לרציפות

Answer 10

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(|x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε)

Question 11

F רציפה מימן אם

Answer 11

Question 12

תנאי לכך שפונקציה תהיה רציפה

Answer 12

היא צריכה להיות רציפה בשני הצדדים של הנקודה והגבולות החדד צדדים שווים

Question 13

פונקציה רציפה בקטע

Answer 13

אם היא רציפה בכל נקודה בקטע

אם הקטע סגור, בקצוות הקטע נדרשת רציפות חד צדדית

Question 14

אריתמטקיה של פונקציות רציפות בנקודה “איי”

Answer 14

אם שני פונקציות רציפות בנקודה “איי” אז גם המכפלה, הסכום, וההפרש רציפות בנקודה “איי”.

גם המנה רציפה בנקודה זו אם המכנה לא מתאפס

Question 15

אם שתי פונקציות רצפיות בקטע

Answer 15

אם שתי פונקציות רצפיות בקטע

I

אז גם הסכום, הפרש, מכפלה רציפים.

יהיה רציפות גם במנה בכל נקודה בקטע שבה המכנה לא מתאפס

Question 16

אם פונקציה רציפה בקטע

[a,b]

And f(a)*f(b)<0

then…

Answer 16

Then: ∃c ∈ [a, b] : f(c) = 0

Question 17

תכונת ערך הביניים

Answer 17

אם פונקציה רציפה בקטע

[a,b]

אזי לכל d

בין f(a) and f(b)

קיים

a ≤ c ≤ b

כך ש

f(c)=d

Question 18

הגדירו: מתי אומרים שפונקציה היא חסומה בA?

Answer 18

פונקציה f יהיו

ו Df ⊂ A .

נאמר שהפונקציה חסומה בA

אם הקבוצה:

f(A) = {f(x) : x ∈ A}

חסומה

Question 19

קשר בין רציפות וחסימות

Answer 19

אם פונקציה רציפה בקטע

[a,b]

אזי הפונקציה חסומה באותו קטע

Question 20

אם פונקציה רציפה בקטע

[a,b]

Answer 20

אז הפונקציה מקבלת מקסימום ומינימום באותו קטע

Question 21

מינימום ומקסימום בכמתים

Answer 21

אם פונקציה רציפה בקטע

[a,b]

אז קיימים

a <= xmin , xmax <=b

כך ש

(∀x ∈ [a, b])(f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xMax))

Question 22

תכונה שיש לכל סידרה חסומה

Answer 22

לכל סידרה חסומה יש תת סידרה מתכנסת

Question 23

אם פונקציה רציפה בנקודה אז היא חסומה בסביבה של אותה נקודה

Answer 23

אם פונקציה רציפה ב a

אז

(∃δ > 0)(∃m, M)(∀x)(|x − a| < δ ⇒ m ≤ f(x) ≤ M)

Question 24

מה רציפות חד צדדית גוררת?

Answer 24

רציפות חד צדדית גוררת חסימות חד צדדית לוקלית

Question 25

אם פונקציה רציפה ב a

and f(a) != 0

then

Answer 25

f != 0

בסביבה של a

באותו סביבה מתקיים

sgn(f(a)) = sgn(f(x))

Question 26

הגדרה של קטע

Answer 26

I ⊂ R

I תקרא קטע אם

(∀a, b ∈ I)(∀x)(a < x < b ⇒ x ∈ I )

Question 27

משפט על קטע

Answer 27

תהי פונקציה מוגדרת ורציפה בקטע

I

אזי

J = f(I)

גם קטע