Векторы Flashcards
Вектор-это
Направленный отрезок, который имеет начало и конец отрезка. Стрелка показывает конец отрезка.
Коллинеарные векторы
Два ненулевых называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Различают сонаправленные и противположные.
Равные векторы
Сонаправленные векторы у которых длины равны
Правило треугольника(сложение векторов)
Для сложения 2 векторов необходимо:
1) Отложить от какой нибудь точки A вектор AB, равный вектор a
2) От точки B отложить вектор BC, равный вектору b
3)Вектор AC называется суммой векторов a и b
Правило параллелограмма(сложение векторов)
Для сложения 2 векторов необходимо:
1) Отложить от какой нибудь точки A вектор AB, равны вектору a
2) От точки A отложить вектор AC, равный вектору b
3) Достроить фигуру до параллелограмма, проведя дополнительные линии параллельно данным векторам
4) Диагональ параллелограмма-сумма векторов
Правило многоугольника (сложение векторов)
Сумма векторов равна вектору, из начала в конец (при последовательном складывании)
Правило параллелепипеда
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки.
Вычитание векторов
Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с вектором b равна вектору a
Для вычитания одного вектора из другого необходимо:
1) Отложить от какой-нибудь точки A вектор AB, равный вектору a
2) От этой же точки A отложить вектор AC, равный вектору b
3) Вектор CB называется разностью векторов a и b
Умножение вектора на число
Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор b, длина которого равна |k|* |вектор a|, при чем векторы a и b сонаправлены при k=>0 b противоположно направлены при k<0
Для любых векторов a и b и любых чисел k, l справедливы равенства:
1) (kl)a=k(la)-сочетательный закон
2)k(a+b)=ka+kb-1 справедливый закон
3) (k+l) a= ka+la-2 справедливый закон
Компланарные векторы-это
векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Любые 2 вектора всегда компланарны. 3 вектора, среди которых имеются два
коллинеарных, компланарны.
Признак компланарности
Если вектор c можно разложить по векторам a и b, т.е представить в виде:
вектор c =xa (вектор) +yb(вектор), где x и y-некоторые числа, то векторы a,b и c-компланарны
Вектор, проведенный в середину отрезка
Вектор, проведенный в середину отрезка равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.
Вектор, соединяющих середины 2-х отрезков
Вектор, соединяющих середины 2-х отрезков равен полусумме векторов, соединяющих их концы
Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма
Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма равен 1-ой четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма
Можно ли разложить любой вектор по двум неколлинеарным векторам?
Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
с=xa+yb
Правая тройка
Три некомпланарных векторов a, b, c взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца 3-го вектора c кратчайший поворот поворот от правого вектора a ко второму вектору b виден ПРОТИВ ЧАСОВОЙ СТРЕЛКИ
Левая тройка
Если же с конца третьего вектора c кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b виден ПО ЧАСОВОЙ СТРЕЛКЕ, то тройка векторов считается ЛЕВОЙ
Базисные орты i,j,k являются… (какой тройкой?)
Правой тройкой
Векторное произведение векторов
Векторным произведением двух ненулевых векторов a и b называется вектор c, который:
1) ортогонален векторам a и b: вектор c перпендикулярен вектору a, а вектор c перпендикулярен вектору b
2) имеет длину(модуль), равную числу с=absin (фи), где (фи)=(вектору a и b)-угол между векторами a и b
3) векторы a, b, c образуют правую тройку.
Свойства векторного произведения
1) Постоянное число можно вносить и выносить за скобки векторного произведения
2) При векторном умножении суммы векторов на вектор можно раскрыть скобки
[a+b,c]=[a,c]+[b,c]
3) При перестановке множителей векторное произведение меняет знак на противоположный
[а,b]=-[b,a]
Геометрический смысл векторного произведения
Длина |с| векторного произведения c=[a,b] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b
так как площадь треугольника равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, то,
s=1/2*|[a,b]|
Критерий коллинеарности
Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно НУЛЕВОМУ вектору
a||b [a,b]=0
если sin и sin П равен нулю, то это НУЛЕВОЙ ВЕКТОР
Можно ли разложить любой вектор по 3 данным некомпланарным векторам?
Любой вектор можно разложить по трем данным
некомпланарным векторам, причем коэффициенты
разложения определяются единственным образом.
