Zahlensystemen / Grundlagen

Question 1

Umrechnung von Dezimalzahlen zu Zahlen anderer Basen

Welche Schritten?

zB 42 in Binaerzahlen

Answer 1

1. Teile Zahl (mit Rest) durch Basis, in die umgerechnet werden soll – bspw. Dezimalzahl durch 2 bei binar, Dezimalzahl durch 8 bei oktal.
2. Divisionsrest ist naechste Ziffer des Ergebnisses (von rechts nach links).
3. Fertig, falls Quotient 0. Ansonsten Quotient als neue Zahl nehmen, weiter ab 1.

_________
Bsp 42 in Binaerzahlen:

erste Iteration 42 : 2 = 21, Rest: 0
zweite Iteration 21 : 2 = 10, Rest: 1
dritte Iteration 10 : 2 = 5, Rest: 0
vierte Iteration 5 : 2 = 2, Rest: 1
fuenfte Iteration ¨ 2 : 2 = 1, Rest: 0
sechste Iteration 1 : 2 = 0, Rest: 1

Ergebnis: 101010 (Rest-Spalte von unten nach oben gelesen

Question 2

Umrechnung von Zahlen anderer Basen

Welche Schritten?

zB 101010 in Dezimalzahlen

Answer 2

1. Jede Ziffer wird mit der entsprechenden Potenz ihrer Stelle multipliziert.
2. Alle so errechneten Produkte werden summiert.
3. Die Summe ist das Ergebnis als Dezimalzahl.

______
Bsp 101010 in Dezimalzahlen:

Stelle 0: 0 ∗ 2^0 = 0 ∗ 1 = 0
Stelle 1: 1 ∗ 2^1 = 1 ∗ 2 = 2
Stelle 2: 0 ∗ 2^2 = 0 ∗ 4 = 0
Stelle 3: 1 ∗ 2^3 = 1 ∗ 8 = 8
Stelle 4: 0 ∗ 2^4 = 0 ∗ 16 = 0
Stelle 5: 1 ∗ 2^5 = 1 ∗ 32 = 32

Ergebnis: 0+2+0+8+0+32 = 42 (Summe aller Produkte)

Question 3

Von einem nicht-dezimal Stellenwertsystem in ein anderes umrechnen ?

Answer 3

ueber die Umrechnung vom und zum Dezimalsystem erfolgen

ODER

Wenn eine Basis eine Potenz der anderen ist = ohne umweg

Beispiel: Binaerzahlen zu Oktalzahlen umrechnen
8 ist die dritte Potenz von 2 –> immer 3 Binaerziffern gruppiert umrechnen, von rechts nach links vorgehen

   110100_2

110_2 100_2
6_8 4_8
64_8

Beispiel: Oktalzahlen zu Binaerzahlen umrechnen:
immer eine Oktalziffer in eine dreistellige binaerzahl umrechnen

Question 4

Stellen Sie die Dezimalzahl -1275 als 13-bit Binärzahl im Zweierkomplement dar.

Question 5

Stellen Sie die Zahl 1477 zur Basis 9 als Dezimalzahl dar.

Question 6

Stellen Sie Dezimalzahl 1525 zur Basis 12 dar.

Question 7

Welche ist die größte Zahl die man im 48-bit-Zweierkomplement repräsentieren kann?

Answer 7

2^48+1, 2^48, 2^47, 2^47-1

Question 8

Welche ist die kleinste Zahl die man im 48-bit-Zweierkomplement repräsentieren kann?

Question 9

1738 Dezimal in Hexadezimal

Answer 9

6D6 Hexadezimal
Umrechnung:
1738 / 16 = 108 Rest 10 (A)
108 / 16 = 6 Rest 12 (C)
6 / 16 = 0 Rest 6 (6)
Also ergibt sich 6D6

Question 10

-1738 Dezimal in 16 Bit Zweierkomplement

Question 11

c) 110010101110_2 und 100111110_2 addieren und das Ergebnis im Heptalsystem angeben

Answer 11

Zunächst müssen wir die beiden Binärzahlen auf die gleiche Länge bringen, indem wir vorne mit Nullen auffüllen:
110010101110_2
000100111110_2
110111101100_2

Um nun das Ergebnis im Heptalsystem darzustellen, teilen wir die Binärzahl in Dreiergruppen auf und wandeln jede in eine Heptalzahl um:
110 111 101 100 = 6534

Also lautet das Ergebnis 6534 im Heptalsystem.

Question 12

d) Ausgabe von: “Die Summe ist: “ + 5 + 33 / 9

Answer 12

Die Ausgabe lautet “Die Summe ist: 5” aufgrund der Operator-Präzedenzregeln in Java. Die Division wird zuerst ausgeführt (33/9 ergibt 3) und danach erst die Addition mit 5. Um die gewünschte Ausgabe “Die Summe ist: 8” zu erhalten, müssen Klammern verwendet werden: “Die Summe ist: “ + (5 + 33 / 9).

Question 13

Ankreuzen was die größte und kleinste Zahl in Java im 32 Bit Zweierkomplement ist

Größte: 2^(32) 2^(31) 2^(32)-1 2^(31)-1 2^(32)+1 2^(31)+1

Kleinste: -2^(32) -2^(31) -2^(32)-1 -2^(31)-1 -2^(32)+1 -2^(31)+1

Answer 13

Größte: 2^(31)-1
Kleinste: -2^(31)

Question 14

Stellen Sie die Dezimalzahl -1275 als 13-bit Binärzahl im Zweierkomplement dar.

Answer 14

Die Darstellung erfolgt wie folgt:

1275 in Binär: 0101 0001 0011
Invertieren aller Bits: 1010 1110 1100
Addieren 1: 1010 1110 1101
Auf 13 Bit auffüllen: 1101 0101 1101
Die Darstellung von -1275 im Zweierkomplement mit 13 Bit lautet also: 1101 0101 1101.

Question 15

Stellen Sie die Zahl 1477 zur Basis 9 als Dezimalzahl dar.

Answer 15

Zahl 1477 zur Basis 9 als Dezimalzahl darstellen:
Die Zahl 1477 zur Basis 9 bedeutet:
1 * 9^3 + 4 * 9^2 + 7 * 9^1 + 7 * 9^0 = 729 + 324 + 63 + 7 = 1123.

Question 16

Stellen Sie Dezimalzahl 1525 zur Basis 12 dar.

Answer 16

Dezimalzahl 1525 zur Basis 12 darstellen:
Die Zahl 1525 kann man durch sukzessive Division durch 12 umwandeln:
1525 / 12 = 127 Rest 1
127 / 12 = 10 Rest 7
10 / 12 = 0 Rest 10
Die Darstellung von 1525 zur Basis 12 lautet also 1071.

Question 17

Welche Ausgabe erzeugt das folgende Programmfragment?

System.out.println( 7 / 3 * 3 + “==” + 3 + 4)

Answer 17

Ausgabe des Programmfragments “System.out.println( 7 / 3 * 3 + “==” + 3 + 4);”:
Die Reihenfolge der Auswertung ist:

7 / 3 wird berechnet, das Ergebnis ist 2 (Integer-Division).
2 * 3 wird berechnet, das Ergebnis ist 6.
“==” wird als String ausgegeben.
3 wird als String ausgegeben.
4 wird als String ausgegeben.
Die Gesamtausgabe lautet also “6==34”.

Question 18

Welche ist die größte Zahl die man im 48-bit-Zweierkomplement repräsentieren kann?

2^48+1, 2^48, 2^47, 2^47-1

Answer 18

Größte Zahl im 48-bit-Zweierkomplement:
48-bit bedeutet, dass man eine Zahl mit bis zu 48 Bits darstellen kann. Ein Bit kann 0 oder 1 sein, somit ergeben sich 2^48 mögliche Kombinationen von Bits. Da das höchstwertige Bit das Vorzeichenbit darstellt, kann man im 48-bit-Zweierkomplement die Zahlen von -2^47 bis 2^47-1 darstellen. Die größte darstellbare Zahl ist somit 2^47-1.

Question 19

Welche ist die kleinste Zahl die man im 48-bit-Zweierkomplement repräsentieren kann?

-2^48+1, -2^48, -2^47, -2^47-1

Answer 19

Kleinste Zahl im 48-bit-Zweierkomplement:
Wie oben erwähnt kann man im 48-bit-Zweierkomplement die Zahlen von -2^47 bis 2^47-1 darstellen. Die kleinste darstellbare Zahl ist somit -2^47.