ZA DVA Flashcards
0 Što je primitivna funkcija
Funkcija F, također se zove “antiderivacija” funkcije f ako vrijedi jednakost F’(x) = f(x).
0 Koliko različitih primitivnih funkcija postoji
Kod neodređenih integrala ima beskonačno različitih funkcija (uvećano za konstantu C). Kod određenih integrala rezultat je realan broj a ne funkcija.
0 Definicija neodređenog integrala
∫ f(x) dx = F(x) + C, C ∈ R
0 Svojstvo linearnosti integriranja
Integrali koji se zbrajaju ili oduzimaju se mogu rastaviti na više manjih integrala.
npr.
∫ 2f(x) + 3g(x) = 2 ∫ f(x) + 3 ∫ g(x)
0 Metoda supstitucije ( + primjena)
Koristimo kada se integral ne može riješiti direktno, uvodi se “t” kako bi se dobio jednostavniji / tablični integral koji znamo rješiti.
0 Metoda parcijalne integracije (+ primjena)
Parcijalna integracija često se primijenjuje kada metode direktne integracije ili metode supstitucija ne daju rezultat. Ona omogućava svođenje zadanog integrala na jednostavniji, koji je potom rješiv poznatim metodama.
∫ u * dv = u * v - ∫ v du
0 Integriranje racionalnih funkcija (+ primjena)
Koristimo metodu rastave na parcijalne razlomke. Brojnik (gore) mora biti polinom stupnja manji od nazivnika (dolje).
0 Problem površine ispod grafa krivulje
Prethodno se površina rastavlja na manje segmente (trokute, kvadrate, trapeze), no problem dolazi kad je graf zakrivljen (preciznost površine). Cilj je imati što finiju podjelu segmenata (kao da su stupci mikrometar debljine) - mi zapravo računamo zbroj površine uskih pravokutnika.
0 Definicija integrabilnosti funkcije
Ukoliko je funkcija f:[a,b] -> R omeđena i neprekidna na domeni, tada je funkcija integrabilna na cijeloj domeni [a, b] (uključujući i taj skup).
0 Svojstva: linearnost, monotonost, nejednakost trokuta
ograničeni integral od a do b
LINEARNOST: ∫ af(x) + bg(x) dx = a ∫ f(x) dx + b ∫ g(x) dx
MONOTONOST: f(x) <= g(x) => ∫ f(x)dx <= ∫ g(x) dx
NEJEDNAKOST TROKUTA: | ∫ f(x) dx | <= ∫ | f(x) | dx (apsolutna vrijednost integrala je <= od integrala apsolutne vrijednosti funkcije)
0 Newton-Leibnizova formula (+ primjena)
ograničeni integral od a do b
∫ f(x) dx = F(x) |b_a = F(b) - F(a)
0 Nepravi integral, ideja rješavanja.
Integrali sa beskonačnim granicama
Integrali neomeđenih funkcija
Nepravi je integral poopćenje određenog integrala, u kojem barem jedna granica ima vrijednost
+∞ ili −∞, ili kada funkcija unutar područja integracije nije omeđena (neograničeno raste/pada unutar područja integracije). U takvim slučajevima integralu se pristupa u dva koraka: u prvom koraku pomoću limesa zaobilazimo problem neomeđenog područja
integracije, dok u drugom koraku rješavamo integral otprije poznatim metodama.
Integral od -inf do +inf rastaviti ćemo na dva integrala (-inf do 0) + (0 do +inf).
0 Primjene određenih integrala (površina i duljina luka ravninskih krivulja, oplošje i volumen tijela dobiven rotacijom ravninskih krivulja oko osi)
Površina ispod grafa - klasika to znamo
Duljina luka ravninskih krivulja -
integral a do b -> ∫ sqrt(1 + (y’)^2) dx
Volumen rotiran oko osi x (integral a do b)
Vx = pi * ∫ f(x)^2 dx
Volumen rotiran oko osi y (integral a do b)
Vy = 2pi * ∫ x f(x) dx
0 Obična diferencijalna jednadžba (ODJ)
Jednadžba oblika
𝐹(𝑥, 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0
0 Opće i partikularno rješenje ODJ, red ODJ
Opće rješenje - funkcija y(x) koju možemo uvrstiti na nekoj domeni Dy. (postoji inf. rješenja)
Partikularno rješenje - Umjesto konstante odabiremo realne brojeve.
Red diferencijalne jednadžbe je red najviše derivacije koja se u njoj javlja.
Cauchyev problem sa ODJ reda n (+ primjena)
Problem nalaženja rješenja diferencijalne jednadžbe n-tog reda uz n zadanih početnih uvjeta. (mora postojati uvijet za svaki stupanj jednadžbe)
Text-book primjeri ODJ
Problem titranja mase obješene na oprugu
Strujni krug
Populacijska jednadžba
Radioaktivni raspad
Kamen bačen u vis
FUCK THIS SHIT
0 Metoda separacije varijabli (+ primjena)
Sve članove sa y prebacimo na jednu stranu, sve članove sa x prebacimo na drugu. Onda možemo integrirati.
0 Homogena ODJ prvog reda (+ primjena)
Homogena diferencijalna jednadžba prvog reda
𝑦′ = 0
Linearna:
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 0
0 Nehomogena ODJ prvog reda (+ primjena)
Nehomogena diferencijalna jednadžba prvog reda
𝑦′ = f(𝑥)
Linearna:
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)
0 Linearna supstitucija
Koristi se u slučajevima kada se na jednostavan način javlja linearna kombinacija nezavisne varijable x i funkcije y(x).
𝑦′ = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐), 𝑎, 𝑏 ≠ 0
Tada uvodimo novu funkciju 𝑢(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦(𝑥) + 𝑐, računamo njenu derivaciju 𝑢′(𝑥) = 𝑎 + 𝑏𝑦′(𝑥), preko čega izrazimo 𝑦′ i uvrstimo u ODJ
(𝑢′ − 𝑎) / 𝑏 = 𝑓(𝑢)
0 Nehomogena linearna ODJ drugog reda s konstantnim koeficijentima
(formula oblika jednadžbe, determinanta Wronskog, karakteristična jednadžba, karakterizacija rješenja u ovisnosti o rješenjima karakteristične jednadžbe, primjena.
Opći oblik:
𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) gdje f(x) != 0
Karakteristična jednadžba
𝑟2 + 𝑝𝑟 + 𝑞 = 0
Determinanta Wronskog
𝑊 = det
| 𝑦1′ 𝑦2′ |
= 𝑦1𝑦2′ − 𝑦1′𝑦2.
Rješenja:
-> Realna i različita
𝑦𝐻 = 𝐶1 * 𝑒^(𝑟1𝑥) + 𝐶2 * 𝑒^(𝑟2𝑥), 𝐶1, 𝐶2 𝜖 ℝ
-> Realna i ista
𝑦𝐻 = 𝐶1 * 𝑒^(𝑟𝑥) + 𝐶2 * x * 𝑒^(𝑟𝑥), 𝐶1, 𝐶2 𝜖 ℝ
-> Kompleksna
𝑦𝐻 = 𝑒^(𝑎𝑥) * (𝐶1 cos(𝑏𝑥) + 𝐶2 sin(𝑏𝑥)), 𝐶1, 𝐶2 𝜖 ℝ
Finalno rješenje:
𝑦𝐻 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2
𝑦1 𝑦2 |
0 Metoda varijacije konstante (+ primjena)
Nehomogenu jednadžbu (onu sa q(x)) rješimo tako što kažemo da je homogena (da je q(x) = 0) - dobijemo opće rješenje.
Onda sa metodom varijacije konstante dobijemo opće rješenje polazne jednadžbe.
