Wahrscheinlichkeiten

Question 1

Was ist ein Zufallsexperiment?

Answer 1

Ergebnis welches man nicht vorhersagen kann (Würfel)

Question 2

Was ist ein Ereignisraum?

Answer 2

Menge aller möglichen Ergebnisse
(Dabei sind alle möglichen Ergebnisse bekannt)

Question 3

Was ist ein Ereignis?

Answer 3

Teilmenge eines Ereignisraumes
(Bspw. Menge aller geraden Zahlen)

Question 4

Was ist ein Elementarereignis?

Answer 4

Ereignis mit EINEM Element

Question 5

Was ist die Wahrscheinlichkeit nach Laplace

Answer 5

P=Anzahl der günstigsten Fälle = g
————————————— —
Anzahl der möglichen Fälle m

Jede Wahrscheinlichkeit ist zwischen 0 und 1

Voraussetzung: alle möglichen Fälle sind gleich wahrscheinlich (Münzwurf)

Question 6

Was ist die Wahrscheinlichkeit nach Komoogoroff (Axiome)

Answer 6

1. Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 (Nichtnegativaxiom)
2. sicheres Ereignis hat den Wert 1 (Normierungsaxiom) P(S) = 1
3. Additivitätsaxiom:
   P(A1 ∪ A2 ∪ A3) = P(A1) + P(A2) +P(A3)

Question 7

Ausschließung von Doppelung beim Additionsaxiom. Wie sieht die Formel aus?

Answer 7

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Beispiel:
P(As) = 4/52
P(Karo) = 13/52
P(As ∩ Karo) = 1/52

4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52

Question 8

Additionssatz Siebformel

Answer 8

n n k+1
P(U Ai) = ∑ (-1)
i=1 k=1

Beispiel:

n=3
P(A ∪ B ∪ C) =
P(A)+P(B)+P(C)-P(A ∩ B)-P(A ∩ C)-P(B ∩ C)+P(A ∩ B ∩ C)

Question 9

Wann ist es eine bedingte Wahrscheinlichkeit?

Answer 9

Wenn bspw. eine Glühbirne nur aus einer bestimmten Fabrik kommen kann. (Wenn also keine Mischung von Herstellern bspw. besteht)

P(Kauf einer Normlampe/ in Fabrik A produziert)

Question 10

Wie ist die Rechnung bei einer unbedingten Wahrscheinlichkeit?
Beispiel
Fabrik A: 70% und 83 Leistung
Fabrik B: 30% und 63 Leistung

Answer 10

830,7 + 630,3 = 77 Leistung

Question 11

Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeit

Answer 11

P(A ∩ B) <—wahr. Das beides
P(B\A) = ——————-
P(A) <——- wahr. Das A unabhängig von B eintritt

analog gilt:

            P(A ∩ B) P(A\B)= ———————-
            P(B)

Question 12

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse gleichzeitig eintreffen?

Answer 12

Mit dem Multiplikationssatz.
P(A ∩ B) = P(A)P(B\A)
= P(B)P(A\B)
= P(B ∩ A)
oder mit mehr

P(A ∩ B ∩ C …)
= P(A)P(B|A)P(C|A ∩ B) ….

Question 13

Was gilt bei statistischer Unabhängigkeit A und B?

Answer 13

1. P(A\B) = P(A) bzw. P(B\A) = P(B)
2. P(A ∩ B) = P(A)*P(B)

Question 14

Wann liegt eine stochastische Abhängigkeit vor? A und B

Answer 14

P(A ∩ B) ≠ P(A)*P(B)

Beispiel:
P(A)= 0,8
P(B)= 0,7
P(A ∩ B) = 0,6

P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 0,80,7
= 0,56 ≠ 0,6 -> stochastisch abhängig

Question 15

Beispiel für stochastische Unabhängigkeit
Im Raum sind 24 Personen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Minimum 2 am gleichen Tag Geburtstag haben?

Answer 15

Zuerst wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jeder an einem anderen Tag hat?

P(E) = günstige Fälle/ mögliche Fälle

365*364….(365-24+1)
-——————————- = 0,46
365^24

Somit also 54% dass mindestens zwei an einem Tag Geburtstag haben.