Vrai ou Faux

Question 1

La distance dans une projection cylindrique de Mercator (à cylindre tangent) est toujours plus grande ou égale à la distance correspondante sur l’ellipsoïde ?

Answer 1

Vrai, le facteur échelle d’une projection cylindrique de Mercator à cylindre tangent est k=sec(lat). Le facteur échelle est de 1 à l’équateur et grandit rapidement vers les pôles.

Question 2

La distance dans une projection cylindrique de Mercator (à cylindre sécant) est toujours plus grande ou égale à la distance correspondante sur l’ellipsoïde ?

Answer 2

Faux, le facteur échelle est plus petit que 1 entre les deux parallèles standards

Question 3

Une projection équidistance satisfait aux conditions de Cauchy-Riemann ?

Answer 3

Faux, une projection équidistance a comme seul critère que les distances soient conservées le long des méridiens

Question 4

Une projection conforme satisfait aux conditions de Cauchy-Riemann ?

Answer 4

Vrai, ces équations sont :
La dérivée de x par rapport à la longitude est égale à la dérivée de y par rapport à la latitude isométrique ∂x/∂λ=∂y/∂q
La dérivée de x par rapport à la latitude isométrique est égale au négatif de la dérivée de y par rapport à la longitude ∂x/∂q=-∂y/∂λ

Question 5

Dans une projection conique (conforme ou équivalente), les méridiens se projettent sur des arcs de cercle ?

Answer 5

Faux, ce sont les parallèles qui se projettent sur des arcs de cercle

Question 6

Dans une projection conforme, on peut obtenir le facteur d’échelle k à partir de l’équation suivante ?
k=√((∂x/∂φ)^2+(∂y/∂φ)^2 )/(Rn*cosφ)

Answer 6

Faux, les équations du facteur échelle dans une projection conforme sont :
k=√((∂x/∂φ)^2+(∂y/∂φ)^2 )/Rm
k=√((∂x/∂q)^2+(∂y/∂q)^2 )/(Rncosφ)
k=√((∂x/∂λ)^2+(∂y/∂λ)^2 )/(Rncosφ)

Question 7

Dans le cas sphérique, la latitude isométrique (q) est obtenue par intégration de 1/cos(lat), à partir de l’équateur jusqu’à une latitude donnée ?

Answer 7

Vrai, un déplacement infinitésimal sur un ellipsoïde est défini par :
dq=Rm/(Rn*cosφ) dφ
Or, sur une sphère, Rm=Rn donc Rm/Rn=1
Pour trouver q, on doit intégrer :
q=∫1/cosφ dφ

Question 8

Sur un ellipsoïde de révolution, un parallèle est une loxodromie ?

Answer 8

Vrai, une loxodromie à la propriété de toujours croiser les méridiens avec un angle constant. Les parallèles sont des loxodromies puisqu’ils croisent les méridiens avec un angle de 90° sur un ellipsoïde de révolution.
*Une loxodromie n’est pas le chemin le + court entre 2 points (c’est l’orthodromie).

Question 9

Si on multiplie les coordonnées x et y d’une projection conforme par une constante (strictement positive), la projection résultante est aussi conforme ?

Answer 9

Vrai, une projection conforme conserve les angles. Si on multiplie par 2 toutes les coordonnées du polygone, cela ne change pas ses angles. La projection reste donc conforme.

Question 10

Si on multiplie les coordonnées x et y d’une projection équivalente par une constante (strictement positive), la projection résultante est aussi équivalente ?

Answer 10

Faux, une projection équivalente conserve les aires. Si on multiplie par 2 toutes les coordonnées du polygone, son aire va changer et la projection deviendra aphylactiques (ni angles ni aires).
On pourrait avoir une transformation qui ne modifierait pas l’équivalence si on multipliait chacune des coordonnées par une constante positive différente de l’autre, tel que c et 1/c :
x’=cx et y’=1/cy

Question 11

On peut associer à chaque fonction analytique dans le domaine complexe une projection conforme ?

Answer 11

Vrai, toute fonction analytique dans le domaine complexe correspond à une projection conforme. Il suffit d’associer q et λ aux parties réelles et imaginaires de z, et les coordonnées x et y aux parties réelles et imaginaires du résultat de la fonction z’.
z’ = x + iy = f(λ + iq) OU z’ = y + ix = f(q + iλ)

Question 12

La projection plate carrée est une projection cylindrique équidistante ?

Answer 12

Vrai, cette projection est équidistance puisque les distances le long des méridiens sont conservées. Elle est facile à reconnaitre puisque les parallèles et les méridiens forment des carrées.

Question 13

Tous les parallèles sont des orthodromies.

Answer 13

Faux, tous les parallèles sont des loxodromies.

Il y a seulement l’équateur qui est les deux.

Question 14

Dans les projections coniques, les pôles se projettent toujours au centre de la carte ?

Answer 14

Faux, dans les projections coniques équivalentes, le centre de la projection est vide.

Question 15

Dans une projection conforme, si l’on multiplie les coordonnées x par 1/c et y par c, la projection reste conforme ?

Answer 15

Faux, cela est vrai dans les projections équivalentes.

Question 16

La convergence des méridiens est l’angle entre les parallèles projetés et l’axe des x ?

Answer 16

Vrai, c’est également l’angle entre les méridiens projetés et l’axe des y. On note cet angle γ.

Question 17

Si les parallèles et les méridiens se croisent à angle droit, la projection est nécessairement conforme ?

Answer 17

Faux, par exemple la projection plate-carrée est équidistante bien que ses parallèles et méridiens soient à angles droits.

Question 18

Si la projection est conforme, alors les parallèles et les méridiens se croisent à angle droit ?

Answer 18

Vrai

Question 19

La conformité est une caractéristique qui se conserve sur de longues distances dans les projections ?

Answer 19

Faux, les angles se conservent seulement sur des petites distances.

Question 20

Une matrice de rotation quelconque peut toujours être décomposée en un produit de 2 matrices de rotation élémentaire ?

Answer 20

Faux, on peut la simplifier en 3 rotations.

Question 21

Les projections équidistantes divergent aux pôles ?

Answer 21

Faux, par définition les projections équidistantes conservent les distances le long des méridiens.

Question 22

Par rapport à l’ITRS (système terrestre fixe), les orbites des satellites sont des ellipses dont le foyer correspond au centre de masse de la Terre ?

Answer 22

Faux

Question 23

L’aplatissement d’une ellipse est une valeur comprise entre 0 et 1 ?

Answer 23

Vrai

Question 24

Si x et y sont les coordonnées d’une projection équivalente, alors x’=cx et y’=y/c est aussi une projection équivalente avec c>0 ?

Answer 24

Vrai

Question 25

Dans une projection cylindrique droite du globe terrestre, les images des parallèles ont toutes la même longueur ?

Answer 25

Vrai

Question 26

Pour obtenir une projection équivalente de l’ellipsoïde sur la sphère, il suffit d’égaler les longitudes sphériques et ellipsoïdiques (λs=λ) et les latitudes isométriques sphériques et ellipsoïdiques (qs=q) ?

Answer 26

Faux

Question 27

Sur un ellipsoïde de révolution, les courbures normales (dans toutes les directions) sont identiques aux pôles ?

Answer 27

Vrai

Question 28

Si l’indicatrice de de Tissot est un cercle, on a le même facteur échelle à tous les points dans la projection ?

Answer 28

Faux

Question 29

Sur un ellipsoïde de révolution, les méridiens sont des loxodromies et des orthodromies ?

Answer 29

Vrai

Question 30

La direction vernale correspond à l’intersection entre le plan équatorial et le plan écliptical ?

Answer 30

Vrai

Question 31

Sur l’ellipsoïde terrestre, la latitude géodésique φ est toujours plus grande ou égale à la latitude géocentrique ψ (en valeur absolue) ?

Answer 31

Vrai

Question 32

Dans une projection conique droite, les méridiens et les parallèles s’interceptent à angle droit ?

Answer 32

Vrai

Question 33

Dans une projection équidistance, les distances le long des parallèles ne sont pas conservées ?

Answer 33

Vrai

Question 34

Sur un ellipsoïde de révolution, le rayon de courbure RM est toujours plus grand ou égal à RN ?

Answer 34

Faux, c’est le contraire

Question 35

Pour le cas sphérique, on a la relation suivante entre la latitude géodésique φ et la latitude isométrique q : dq=1/cosφ dφ

Answer 35

Vrai

Question 36

Dans une projection conforme, l’indicatrice de Tissot est un cercle ?

Answer 36

Vrai, c’est une ellipse dans une projection équivalente.

Question 37

Dans la projection de Mercator (aspect droit), la coordonnée y est proportionnelle à la latitude isométrique q ?

Answer 37

Vrai, y = aq + c (avec c = 0 si on exige que l’équateur se projette sur l’axe x)

Question 38

Dans une projection cylindrique droite, les images des parallèles ont toutes la même longueur ?

Answer 38

Vrai

Question 39

Dans une projection conique droite, les images des parallèles sont des cercles concentriques ?

Answer 39

Vrai

Question 40

Les systèmes de référence cartésiens tridimensionnels géocentriques inertiel équatorial et inertiel écliptical ont le même axe x ?

Answer 40

Vrai, c’est la direction vernale.

Question 41

Sur un ellipsoïde, la latitude isométrique q est toujours plus grande ou égale à la latitude géocentrique φ (en valeurs absolues) ?

Answer 41

Vrai

Question 42

Dans une projection conique droite, les méridiens et les parallèles s’intersectent à angle droit ?

Answer 42

Vrai

Question 43

L’aplatissement d’une sphère est de 1 ?

Answer 43

Faux, elle est de 0.

Question 44

Sur un ellipsoïde de révolution, le rayon de courbure RM est toujours plus petit ou égal à RN ?

Answer 44

Vrai

Question 45

Dans la projection de Mercator, le facteur d’échelle est infini aux pôles ?

Answer 45

Vrai

Question 46

Dans une projection conforme, l’image des méridiens sont toujours des droites parallèles à l’axe y ?

Answer 46

Faux, les images des méridiens et des parallèles sont des courbes dans la projection.

Question 47

Dans une projection, la tangente à l’image d’un parallèle peut être obtenue par : (∂x/∂q,∂y/∂q)^T ?

Answer 47

Faux, la tangente à l’image d’un parallèle est obtenue avec : (aλ) ⃗= (∂x/∂λ,∂y/∂λ)^T
et celle d’un méridien est obtenue par : (aφ) ⃗= (∂x/∂φ,∂y/∂φ)^T

Question 48

La convergence des méridiens dans la projection conique de Lambert est toujours 0 ?

Answer 48

Faux, elle correspond à γ=θ=c1(λ-λ0)