Vorlesung 4

Question 1

Positions-/Stellenwertsysteme

Answer 1

n Positions- oder Stellenwertsystemen ist die Bedeutung einer Ziffer
abhängig von ihrer Position
Immer gleiche Ziffer, aber unterschiedlicher Wert: 300, 30, 3
* Bestimmung des Wertes einer Zahl über
* Ziffer(n)
* Position der Ziffer(n)
* Zugrundeliegendes Zahlensystem („Basis“): Positionssysteme sind mit
verschiedenen Anzahlen von Ziffern möglich, jedoch mindestens zwei
(Binärsystem)

Question 2

Stellenwertsysteme mit unterschiedlicher Basis

Answer 2

• Dezimalsystem
• Basis: 10
• Zeichen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Binärsystem (auch: Dualsystem)
• Basis: 2
• Zeichen: 0, 1
• Oktalsystem
• Basis: 8
• Zeichen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Hexadezimalsystem
• Basis: 16
• Zeichen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Question 3

umrechnen; beliebiges system ins Dezimalsystem

Answer 3

(1011)2
= 1 · 2^0 + 1 · 2^1 + 0 · 2^2 + 1 · 2^3
= 1 · 1+1 · 2+0 · 4+1 · 8
=1+2+0+8
= (11)10

(715)8
= 5 · 8^0 + 1 · 8^1 + 7 · 8^2
= 5 + 8 + 448
= (461)10

(C1A)16
= 10 · 16^0 + 1 · 16^1 + 12 · 16^2
= 10 + 16 + 3072
= (3098)10

immer dieses schema

Question 4

umrechnen; beliebiges system ins Dezimalsystem (gebrochene zahlen)

Answer 4

(1011.1101)2
= 1 · 2^-4 + 0 · 2^-3 + 1 · 2^-2 + 1 · 2^-1 + 1 · 2^0 + 1 · 2^1 + 0 · 2^2 + 1 · 2^3

Question 5

schnelle umrechnung binär <-> oktal und binär<-> hexadezimal

Answer 5

Binärsystem → Oktalsystem:
Von rechts nach links werden Binärtriaden (Dreigruppen) gebildet und zu
Oktalzahlen zusammengefasst
18
* Oktalsystem → Binärsystem:
Jede Ziffer wird in eine dreistellige Binärzahl überführt
110 111 001 110 010 Binärzahl
6 7 1 6 2 Oktalzahl
3 6 1 4 Oktalzahl
011 110 001 100 Binärzahl

zusammengefasst:
oktal = 3er binärgruppen
hexadezimal = 4er binärgruppen

Question 6

umrechnen: dezimal in beliebiges anderes system

Answer 6

dezimalzahl : zielbasis = ____ Rest XXX
____ : zielbasis =______ Rest XXX

bei gebrochenen zahlen
dezimalzahl * zielbasis = ____ überlauf

echtgebrochen = nur überlauf
unecht gebrochen = aufteilen in echten teil und gebrochenen teil

Question 7

binäre subtraktion

Answer 7

• Binäre Subtraktion erfolgt durch Addition mit dem negierten Subtrahenden,
  d.h. statt a - b wird a + (-b) berechnet.
• Negative Zahlen werden über ein Komplement abgebildet.
• Zwei Arten der Komplementbildung für Zahlensysteme der Basis B:
• Zweier-Komplement im Binär-System (auch: „B-Komplement“)
• Einer-Komplement im Binär-System (auch: „(B-1)-Komplement“)

Question 8

Einer-Komplement

Answer 8

• Negation von Binärzahlen:
  Invertiere jedes Bit (0㲗1)
• Wenn bei der Addition des Einer-Komplements ein Überlauf entsteht,
  muss zu dem Ergebnis noch eine 1 hinzuaddiert werden („Einer-Rücklauf“)

Question 9

Zweier-Komplement

Answer 9

1. Bit = Vorzeichen
   * 0: positive Zahl
   * 1: negative Zahl

Negation von Binärzahlen:
1. Invertiere jedes Bit (0 㲗 1)
2. Addiere die Zahl 1

Problem: Überlauf
Wenn das Ergebnis einer Addition nicht im darstellbaren Zahlenbereich liegt,
ergibt sich bei einem Überlauf ein falsches Ergebnis.