Vectors

Question 1

Что произойдёт при умножении ненулевого вектора на скаляр k?

Answer 1

Получится новый вектор b, который коллинеарен вектору a и либо сонаправлен, либо направлен противоположно, в зависимости от знака скаляра

Question 2

Можно ли делить неколлинеарные векторы друг на друга?

Answer 2

Нет, такого делать нельзя

Question 3

Что такое коэффициент коллинеарности?

Answer 3

Это то число, которое при умножении всех координат вектора a дает вектор b. То есть, при делении вектора b на вектор a получается число K, которое и есть коэффициент коллинеарности

Question 4

Как можно алгебраически проверить коллинеарность векторов?

Answer 4

b1/a1 = b2/a2 = b3/a3 = k
a1/b1 = a2/b2 = a3/b3 = 1/k

Question 5

Как «передвинуть» вектор, чтобы он начинался из точки (0,0)?

Answer 5

Вычесть из конечных координат начальные

Question 6

Как называется вектор у которого совпадает начало и конец?

Answer 6

Нулевой вектор.

Question 7

C геометрической точки зрения «нулевой» вектор это ?

Answer 7

Точка

Question 8

Что значит для векторов быть коллинеарными?

Answer 8

Это значит, что векторы параллельны одной какой-то прямой, следовательно эти оба вектора либо находятся на одной прямой, либо на параллельных прямых

Question 9

Чем отличается «нулевой» вектор от обычного вектора?

Answer 9

Тем, что нулевой вектор не имеет длины и направления

Question 10

Вектор суммы в реальном мире и его слагаемые?

Answer 10

Вектор суммы - это расстояние по прямой, тогда как если сложить все слагаемые этого вектора этого суммы, то получится путь ни разу не напоминающий прямую.

См. в соответ. теме в Nebo заметку Real life vector sum

Question 11

Почему мы можем указывать нулевому вектору следующие координаты - (0,0,0)?

Answer 11

Потому что мы можем двигать вектора в пространстве, при условии, что не меняется их направление и длина. Допустим, что у нас есть точка в 3-х мерном пространстве с координатами (9,67,32). Поскольку мы знаем, что начало и конец данного нулевого вектора равны, то при вычитании «начальных» координат из «конечных» получится (0,0,0). При вычитании вычитании «начальных» координат из «конечных» мы приводим начало вектора к точке (0,0,0)

Question 12

Коммутативность сложения векторов?

Answer 12

a+b=b+a

Question 13

Как сравнивать векторы геометрически?

Answer 13

Если у них одинаковые направления и длина, то неважно где в геом. пространстве находится вектор, мы считаем их равными. Это один и тот же вектор,который просто перенесли в пространстве.

Question 14

Как сравнивать векторы с точки зрения «линейной» алгебры?

Answer 14

Вектора считаются равными, если их соответствующие координаты равны. То есть, ai = bi и так далее

Question 15

Два «геометрических» метода сложения векторов?

Answer 15

1 - правило треугольника

2- правило параллелограмма

Question 16

Ассоциативность сложения векторов

Answer 16

a+(b+c) = (a+b)+c

Question 17

Скаларная величина не изменяется при изменении координат(coordinates transformation).Что это значит?

Answer 17

Это значит, что если в точке (a1,b1,c1) Т(температура, банальный пример скалярной величины) имеет значение 23 градуса по цельсию, то если мы поменяем систему координат на сферическую, то в точке (s1, q1, z1) Т будет по-прежнему иметь значение 23 градуса по Цельсию

Question 18

Когда мы умножаем на скаляр, складываем,вычитаем, делим на скаляр вектора, то что в принципе мы делаем?

Answer 18

Мы выражаем одни вектора через другие
с = a+b
d=k*b
e=z/b

Question 19

Что такое система векторов и как она обозначается?

Answer 19

Система векторов обозначается одной буквой, допустим, z и все вектора которые относяться к этой системе обозначаются буквой z и индексом. Обозначается одной буквой, чтобы подчеркнуть, что эти вектора относятся к одной системе векторов. То есть, первый вектор будет z1, второй вектор z2 и так далее.

Система векторов это упорядоченная последовательность векторов одинаковой размерности в плане количества компонентов. Допустим, есть две последовательности векторов:

z1=(5,34,69) z2=(99,99,33)
z1=(99,99,33) z2=(5,34,69)

Несмотря на то, что обе системы состоят из одинаковых векторов, это две разные системы векторов, так как порядок векторов отличается.

Question 20

Что такое линейная комбинация системы векторов и как она алгебраически выглядит?

Answer 20

s = k1s1+k2s2+k3s3+…+knsn «< - вот так выглядит линейная комбинация системы векторов

Как можно заметить, скаляр k1 (называется коэффициент) соответсвует вектору s1 и так для всех остальных пар kn*sn. То есть, порядковый номер каждого скаляра соответствует порядковому номеру вектора.

По факту, это сумма векторов, получившихся в результате перемножения соответствующих скаляров и векторов

Question 21

Что для вектора значит быть линейно выраженным через систему векторов?

Answer 21

Это значит, что вектор может быть выражен через линейную комбинацию системы векторов с заданными коэффициентами

Question 22

Какая система векторов(set of vector) считается линейно зависимой?

Answer 22

В такой системе векторов как-минимум один вектор может быть линейно через другие.
А также через линейная комбинацию этих векторов можно выразить нулевой вектор, при условии что,как минимум, 1 коэффициент не равен 0.

Question 23

Сколько векторов должно быть линейно зависимо, что система векторов(set of vectors) считалась линейно зависимой?

Answer 23

Как минимум два вектора, то есть, если хотя бы один вектор можно линейно выразить через другой, то все векторы принадлежат линейно зависимой системе векторов. Как это может выглядить

Допустим есть система векторов A=(a1, a2, a3, a4).

Если a3=k1*a1, то система векторов A линейно зависима.

Вышеуказанное уравнение можно записать в след. виде
a3 = k1a1 + k2a2+k4*a3, где k2=k3=0.

Question 24

Какое условие вытекает из определения линейной зависимости системы векторов?

Answer 24

То, что можно составить линейную комбинацию из этих векторов, при которой получиться нулевой вектор, при этом хотя бы один коэффициент не должен быть равен 0.

Если возможно составить линейную комбинацию векторов при которой нулевой вектор достигается только когда все k равны нулю, то такая система векторов линейно независима

Question 25

Что такое размерность векторного пространства?

Answer 25

Максимальное количество линейно независимых векторов. Для двухмерного пространства, то есть плоскости, это 2.

Question 26

Какое есть правило относительно размерности пространства и количества векторов, которые создают линейно зависимую систему векторов?

Answer 26

Если размерность пространства N, то количество N+1 векторов создает линейную независимую систему векторов.
То есть, для двухмерного пространства, три вектора всегда линейно зависимы.

Question 27

Что такое базис векторного пространства?

Answer 27

Это упорядоченная система векторов, количество которых равно размерности векторного пространства.

Question 28

Что такое базисные векторы?

Answer 28

Это то, с помощью чего мы записываем координаты векторов. Например, в Декартовой системе в двухмерном пространстве, как правило, используются единичные ортогональные вектора i(1,0) и j(0,1). «<—- это, просто, так принято. Можно и варианты с i(2,0) и j(0,2) юзать.

С их помощью можно записать любой вектор на плоскости в виде линейной комбинации.