Untitled Deck Flashcards
Что такое язык первого порядка?
Язык первого порядка — это формальный язык, включающий константы, переменные, функциональные символы, предикатные символы, логические связки и кванторы.
Что такое терм в языке первого порядка?
Терм — это синтаксическое выражение, построенное из констант, переменных и функциональных символов. Например, в арифметике ‘x + 2’ — это терм.
Что такое формула в языке первого порядка?
Формула — это синтаксическое выражение, построенное из атомарных формул с использованием логических связок и кванторов. Атомарные формулы имеют вид P(t₁, …, tₙ), где P — предикатный символ, а t₁, …, tₙ — термы.
Что такое интерпретация языка первого порядка?
Интерпретация состоит из непустой области (универсума) и назначения значений константам, функциональным символам и предикатным символам: элементам области — константам, функциям — функциональным символам, отношениям — предикатным символам.
Что значит, что формула истинна в интерпретации?
Формула истинна в интерпретации, если при заданных значениях символов она выполняется в области. Например, ∃x (x = x) истинна в любой интерпретации.
Что такое валюация?
Способ определить, истинно или ложно некоторое утверждение (высказывание) в зависимости от значений, которые мы присваиваем его частям. Представь, что у тебя есть логическое выражение, например, “Если идет дождь, то земля мокрая”. Чтобы понять, правда это или нет, нужно знать, идет ли дождь (первая часть) и мокрая ли земля (вторая часть).
Что такое выполнимая формула?
Формула выполнима, если существует хотя бы одна интерпретация, в которой она истинна.
Что значит, что две формулы эквивалентны?
Две формулы эквивалентны, если они имеют одинаковое значение истинности во всех интерпретациях.
Что такое теорема Гёделя о полноте?
Если формула верна всегда, то её можно доказать с помощью исчисления предикатов.
Что такое теорема Гёделя о неполноте?
Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что в любой непротиворечивой формальной системе, способной выразить арифметику, есть истинные утверждения, которые нельзя доказать в этой системе.
Что такое логическое следствие?
Формула φ является логическим следствием множества формул Γ, если любая интерпретация, делающая все формулы в Γ истинными, делает истинной и φ.
Что такое теория в логике первого порядка?
Теория в логике первого порядка — это система аксиом и их логических следствий, которая описывает какую-то область реальности или абстрактную структуру.
Основные элементы теории
Аксиомы: Начальный набор формул, которые считаются истинными по определению. Например, в арифметике Пеано аксиомы описывают свойства чисел (ноль, сложение, индукция).
Правила вывода: Логические правила (например, modus ponens или правило обобщения), которые позволяют получать новые формулы из аксиом.
Теорема: Формула, которая может быть доказана из аксиом с использованием правил вывода.
Что такое предваренная нормальная форма?
Формула в виде Q₁x₁…Qₙxₙ(M), где все кванторы вынесены в начало, а M не содержит кванторов. Любая формула может быть преобразована в эквивалентную ПНФ.
Что такое квантор
Специальные слова или символы в логике, которые показывают, сколько объектов подходит под какое-то условие.
Квантор общности (∀) — значит “для всех”
Квантор существования (∃) — значит “существует такой элемент, что”
