Topologie et calcul différentiel Flashcards
Propriétés d’une distance
- Séparation
- Symétrie
- Inégalité triangulaire
Quel couple est appelé espace métrique
(E,dist)
E un ensemble
dist une distance
Inégalité de Young
ab≤a^p/p + b^p’/p’
p’ conjugué de p défini par
1/p + 1/p’ = 1
Inégalité de Cauchy(-Schwarz)
∑|an.bn|≤(∑an^2)^1/2 . (∑bn^2)^1/2
Inégalité de Minkowski
(∑|an+bn|^p)^1/p ≤ (∑|an|^p)^1/p . (∑|bn|^p)^1/p
Boule ouverte de centre p et de rayon r > 0
Ensemble des points de E qui sont à distance inférieure à r de p
Boule fermée de centre p et de rayon r > 0
Ensemble des points de E qui sont à distance inférieure ou égale à r de p
Ensemble borné A ⊂ E
Ssi il existe une boule B(p, r) telle que A ⊂ B(p, r)
D est un voisinage de p
Ssi il existe une boule (ouverte) centrée
en p et contenue dans D
D est un ouvert
Ssi D est un voisinage de tous ses points
D est un ensemble fermé
Ssi Rd \ D est un ouvert
intérieur de A
réunion de tous les ouverts contenus dans A
plus grand ouvert contenu dans A
adhérence de A
intersection de tous les fermés qui contiennent A
plus petit fermé contenant A
bord ou frontière de A
ensemble ∂A = -A \ °A
A est dit dense
-A=E
Un espace métrique (E,d) est dit complet
Ssi toute suite de Cauchy est convergente
f est continue en p
∀ε>0 ∃δ>0, (∀x∈E1,d1(x,p)d2(f(x),f(p))
f est continue sur E1
f est continue en chaque point p ∈ E1
f est un homéomorphisme
f est continue, bijective et la réciproque f−1 : E2 → E1 est continue
f est uniformément continue sur A
∀ε>0 ∃δ>0, (∀x,y∈A,d1(x,y)
Caractérisation locale de la continuité
f est continue en p ssi
∀ε > 0 ∃δ > 0 tel que BE1(p,δ) ⊂ f−1 (BE2(f(p),ε))
Caractérisation de la continuité et convergence
f est continue en p ssi
∀(xn)n∈N dans E1, lim xn = p ⇒ lim f(xn) = f(p)
Caractérisation globale de la continuité
Il est équivalent :
(i) f est continue sur E1
(ii) L’image réciproque d’un ouvert de E2 est un ouvert de E1
(iii) L’image réciproque d’un fermé de E2 est un fermé de E1
recouvrement ouvert de A
famille d’ouverts de E, c’est à dire, un sous-ensemble R ⊂ O(E) satisfaisant A ⊂ ∪r∈R r
sous-recouvrement de R
sous-ensemble D ⊂ R tel que A ⊂ ∪r∈D r
Propriété-définition de Heine-Borel-Lebesgue
L’ensemble A est dit compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini
Une partie A ⊂ E est dite relativement compacte
Ssi l’adhérence de A est compacte
Théorème de Bolzano-Weierstrass
Soit (E,d) un espace métrique et soit A ⊂ E. Alors A est compact ssi toute suite d’éléments de A possède une suite extraite convergeant vers un élément de A
Compacité et continuité
Soient (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces métriques. Soit f : E1 → E2 une application continue et A ⊂ E1. Si A est compact de E1 alors f(A) est un compact de E2
Théorème des bornes atteintes
Soient (E,d) un espace métrique, f : E → R une application continue et A ⊂ E un compact. Alors f(A) est fermé, borné et f atteint ses bornes sur A
Théorème de Heine
Soient (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces métriques. Soit f : E1 → E2 une application continue. Si E1 est compact alors f est uniformément continue sur E1
Continuité de la fonction réciproque
Soient (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces métriques. Soit f : E1 → E2 une application continue et injective. Si E1 est compact alors la fonction f −1 : f (E1 ) → E1 est continue
Propriétés d’une norme
- Séparation
- Homogénéité absolue
- Inégalité triangulaire
Quel couple est appelé espace normé ?
(X, ∥·∥)
X espace vectoriel
Espace de Banach
Ssi l’espace métrique (X,d∥·∥) est complet pour la distance associée à la norme : ||x-y||
Sous-espace fermé d’un espace de Banach
est un espace de Banach
Équivalence des normes
il existe deux réels 0 < c1 < C1 tels que
c1N1 ≤ N2 ≤ C1N1
Caractérisation des espaces de Banach
Soit (E, ∥ · ∥) un espace norm ́e. Alors (E, ∥ · ∥) est un espace de Banach ssi toute série convergeant normalement est convergente
Continuité de l’application x → ∥x∥
Soit (E, ∥ · ∥) un espace normé. Alors l’application ∥ · ∥ : E → R est uniformément continue
Théorème de Stone-Weierstrass
Soit (K,d) un espace métrique compact et considérons l’espace de Banach C(K,R) muni de la norme ∥·∥∞. Soit F un sous-espace de C(K,R) satisfaisant aux conditions suivantes :
(a) 1 ∈ F ( 1=la fonction constante x → 1)
(b) F sépare les points, c’est-à-dire,
∀(x,y) ∈ K2,x ≠ y, ∃f ∈ F t.q. f(x) ≠ f(y).
(c) On a
(c1) F est un sous-espace réticulé, c’est-à-dire,
∀ f ∈ C ( K , R ) , f ∈ F ⇒ | f | ∈ F
ou
(c2) F est une sous-algèbre de C(K, R), c’est-à-dire,
∀f,g ∈ C(K,R), f,g ∈ F ⇒ f.g ∈ F.
Alors F est un sous-ensemble dense de C(K,R). en particulier, toute fonction de C(K,R) est la limite uniforme d’une suite de fonctions de F
Théorème de Weierstrass
Toute application continue sur un intervalle [a, b] est la limite uniforme sur [a, b] d’une suite de polynômes.
Théorème de Bernstein
Soit f ∈ C([0, 1], R) et Bn le polynôme défini par ∀x∈[0,1], Bn(x)=∑f(k/n).(k parmi n) . x^k . (1-x)^(n-k)
Alors f = lim Bn par rapport à la norme ∥ · ∥∞ (c’est-à-dire, la suite converge uniformément sur [0, 1])
Théorème d’Arzéla-Ascoli
Soit (K,d) un espace m ́etrique compact et soit B ⊂ C(K,Rm). Alors B est relativement compact dans C(K, Rm) ssi
1. pour tout x∈K,B(x):={f(x): f∈B} est un ensemble borné de Rm
2. pour tout x ∈ K, B est équicontinue en x, c’est-à-dire,
∀ε > 0, ∃δ ∈ R, δ > 0, (∀f ∈ B, ∀ y ∈ K, d(x, y) < δ ⇒ ∥f (x) − f (y)∥_2 < ε)
