Topologie et calcul différentiel

Question 1

Propriétés d’une distance

Answer 1

• Séparation
• Symétrie
• Inégalité triangulaire

Question 2

Quel couple est appelé espace métrique

Answer 2

(E,dist)
E un ensemble
dist une distance

Question 3

Inégalité de Young

Answer 3

ab≤a^p/p + b^p’/p’
p’ conjugué de p défini par
1/p + 1/p’ = 1

Question 4

Inégalité de Cauchy(-Schwarz)

Answer 4

∑|an.bn|≤(∑an^2)^1/2 . (∑bn^2)^1/2

Question 5

Inégalité de Minkowski

Answer 5

(∑|an+bn|^p)^1/p ≤ (∑|an|^p)^1/p . (∑|bn|^p)^1/p

Question 6

Boule ouverte de centre p et de rayon r > 0

Answer 6

Ensemble des points de E qui sont à distance inférieure à r de p

Question 7

Boule fermée de centre p et de rayon r > 0

Answer 7

Ensemble des points de E qui sont à distance inférieure ou égale à r de p

Question 8

Ensemble borné A ⊂ E

Answer 8

Ssi il existe une boule B(p, r) telle que A ⊂ B(p, r)

Question 9

D est un voisinage de p

Answer 9

Ssi il existe une boule (ouverte) centrée

en p et contenue dans D

Question 10

D est un ouvert

Answer 10

Ssi D est un voisinage de tous ses points

Question 11

D est un ensemble fermé

Answer 11

Ssi Rd \ D est un ouvert

Question 12

intérieur de A

Answer 12

réunion de tous les ouverts contenus dans A

plus grand ouvert contenu dans A

Question 13

adhérence de A

Answer 13

intersection de tous les fermés qui contiennent A

plus petit fermé contenant A

Question 14

bord ou frontière de A

Answer 14

ensemble ∂A = -A \ °A

Question 15

A est dit dense

Answer 15

-A=E

Question 16

Un espace métrique (E,d) est dit complet

Answer 16

Ssi toute suite de Cauchy est convergente

Question 17

f est continue en p

Answer 17

∀ε>0 ∃δ>0, (∀x∈E1,d1(x,p)d2(f(x),f(p))

Question 18

f est continue sur E1

Answer 18

f est continue en chaque point p ∈ E1

Question 19

f est un homéomorphisme

Answer 19

f est continue, bijective et la réciproque f−1 : E2 → E1 est continue

Question 20

f est uniformément continue sur A

Answer 20

∀ε>0 ∃δ>0, (∀x,y∈A,d1(x,y)

Question 21

Caractérisation locale de la continuité

Answer 21

f est continue en p ssi

∀ε > 0 ∃δ > 0 tel que BE1(p,δ) ⊂ f−1 (BE2(f(p),ε))

Question 22

Caractérisation de la continuité et convergence

Answer 22

f est continue en p ssi

∀(xn)n∈N dans E1, lim xn = p ⇒ lim f(xn) = f(p)

Question 23

Caractérisation globale de la continuité

Answer 23

Il est équivalent :

(i) f est continue sur E1
(ii) L’image réciproque d’un ouvert de E2 est un ouvert de E1
(iii) L’image réciproque d’un fermé de E2 est un fermé de E1

Question 24

recouvrement ouvert de A

Answer 24

famille d’ouverts de E, c’est à dire, un sous-ensemble R ⊂ O(E) satisfaisant A ⊂ ∪r∈R r

Question 25

sous-recouvrement de R

Answer 25

sous-ensemble D ⊂ R tel que A ⊂ ∪r∈D r

Question 26

Propriété-définition de Heine-Borel-Lebesgue

Answer 26

L’ensemble A est dit compact si de tout recouvrement ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini

Question 27

Une partie A ⊂ E est dite relativement compacte

Answer 27

Ssi l’adhérence de A est compacte

Question 28

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Answer 28

Soit (E,d) un espace métrique et soit A ⊂ E. Alors A est compact ssi toute suite d’éléments de A possède une suite extraite convergeant vers un élément de A

Question 29

Compacité et continuité

Answer 29

Soient (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces métriques. Soit f : E1 → E2 une application continue et A ⊂ E1. Si A est compact de E1 alors f(A) est un compact de E2

Question 30

Théorème des bornes atteintes

Answer 30

Soient (E,d) un espace métrique, f : E → R une application continue et A ⊂ E un compact. Alors f(A) est fermé, borné et f atteint ses bornes sur A

Question 31

Théorème de Heine

Answer 31

Soient (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces métriques. Soit f : E1 → E2 une application continue. Si E1 est compact alors f est uniformément continue sur E1

Question 32

Continuité de la fonction réciproque

Answer 32

Soient (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces métriques. Soit f : E1 → E2 une application continue et injective. Si E1 est compact alors la fonction f −1 : f (E1 ) → E1 est continue

Question 33

Propriétés d’une norme

Answer 33

• Séparation
• Homogénéité absolue
• Inégalité triangulaire

Question 34

Quel couple est appelé espace normé ?

Answer 34

(X, ∥·∥)

X espace vectoriel

Question 35

Espace de Banach

Answer 35

Ssi l’espace métrique (X,d∥·∥) est complet pour la distance associée à la norme : ||x-y||

Question 36

Sous-espace fermé d’un espace de Banach

Answer 36

est un espace de Banach

Question 37

Équivalence des normes

Answer 37

il existe deux réels 0 < c1 < C1 tels que

c1N1 ≤ N2 ≤ C1N1

Question 38

Caractérisation des espaces de Banach

Answer 38

Soit (E, ∥ · ∥) un espace norm ́e. Alors (E, ∥ · ∥) est un espace de Banach ssi toute série convergeant normalement est convergente

Question 39

Continuité de l’application x → ∥x∥

Answer 39

Soit (E, ∥ · ∥) un espace normé. Alors l’application ∥ · ∥ : E → R est uniformément continue

Question 40

Théorème de Stone-Weierstrass

Answer 40

Soit (K,d) un espace métrique compact et considérons l’espace de Banach C(K,R) muni de la norme ∥·∥∞. Soit F un sous-espace de C(K,R) satisfaisant aux conditions suivantes :
(a) 1 ∈ F ( 1=la fonction constante x → 1)
(b) F sépare les points, c’est-à-dire,
∀(x,y) ∈ K2,x ≠ y, ∃f ∈ F t.q. f(x) ≠ f(y).
(c) On a
(c1) F est un sous-espace réticulé, c’est-à-dire,
∀ f ∈ C ( K , R ) , f ∈ F ⇒ | f | ∈ F
ou
(c2) F est une sous-algèbre de C(K, R), c’est-à-dire,
∀f,g ∈ C(K,R), f,g ∈ F ⇒ f.g ∈ F.

Alors F est un sous-ensemble dense de C(K,R). en particulier, toute fonction de C(K,R) est la limite uniforme d’une suite de fonctions de F

Question 41

Théorème de Weierstrass

Answer 41

Toute application continue sur un intervalle [a, b] est la limite uniforme sur [a, b] d’une suite de polynômes.

Question 42

Théorème de Bernstein

Answer 42

Soit f ∈ C([0, 1], R) et Bn le polynôme défini par ∀x∈[0,1], Bn(x)=∑f(k/n).(k parmi n) . x^k . (1-x)^(n-k)
Alors f = lim Bn par rapport à la norme ∥ · ∥∞ (c’est-à-dire, la suite converge uniformément sur [0, 1])

Question 43

Théorème d’Arzéla-Ascoli

Answer 43

Soit (K,d) un espace m ́etrique compact et soit B ⊂ C(K,Rm). Alors B est relativement compact dans C(K, Rm) ssi
1. pour tout x∈K,B(x):={f(x): f∈B} est un ensemble borné de Rm
2. pour tout x ∈ K, B est équicontinue en x, c’est-à-dire,
∀ε > 0, ∃δ ∈ R, δ > 0, (∀f ∈ B, ∀ y ∈ K, d(x, y) < δ ⇒ ∥f (x) − f (y)∥_2 < ε)