toenäosus

Question 1

Juhuslik katse

Answer 1

Juhuslik katse on igasugune tegevus, mille tulemus ei ole antud tingimustega üheselt määratud. Näiteks:
* Mundi/täringu vise;
* Loteriid jm loosimised;
* Kaardi tõmbamine kaardipakist. Juhusliku inimese valimine nimekirjast;
* Juhuslikult valitud inimese pikkuse mõõtmine;
* Spordivõistluse tulemus

Question 2

Klassikaline tõenäosus

Answer 2

Kui juhuslikul katsel on kokku N võrdvõimalikku tulemust ja nende hulgas on N_A sellist,
mille korral saame sündmuse A toimunuks lugeda, siis sündmuse A tõenäosus avaldub suhtena:
P(A) = N_A / N

Question 3

Statistiline tõenäosus

Answer 3

Sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks (ehk suhteliseks sageduseks) nimetatakse suhet
P(A) = nA / N
kus N tähistab sooritatud katsete arvu ja nA A esinemiste arv N katses.

Question 4

Subjektiivne tõenäosus

Answer 4

Vahel räägitakse ka tõenäosusest, mis on saadud n-ö eksperthinnanguna, ilma konkreetseid arvutusi tegemata.
Sellisel juhul saab rääkida subjektiivsest tõenäosusest. Subjektiivset tõenäosust kasutatakse palju Bayesi statistika
koolkonnas.

Question 5

Elementaarsündmuste hulk

Answer 5

Elementaarsündmuste hulk , tähistus Ω – antud juhusliku katse kõikvõimalike tulemuste hulk.
Üksikuid katsetulemusi nimetatakse elementaarsündmusteks ja tähistatakse ω.
Ω = {ω1,ω2, . . . ,ωN }

Question 6

Sündmustega seotud mõisted (8)

Answer 6

• Kindel sündmus: Ω (toimub katse tulemusel alati)
• Võimatu sündmus: ∅ (tühihulk)
• Sündmuse A vastandsündmus : A¯ on sündmus “A ei toimu”.
• Sündmuste summa ehk ühend A ∪ B: toimub kas A või B.
• Sündmuste vahe A\B: toimub A, aga B ei toimu.
• Sündmuste korrutis ehk ühisosa A ∩ B: toimuvad nii A kui B.
• Teineteist välistavad sündmused: sündmused mis ei saa korraga toimuda, ehk A ∩ B = ∅
• Sündmusest B järeldub sündmus A: sündmuse B toimumise korral toimub kindlasti ka sündmus A, ehk B ⊂ A

Question 7

Funktsioon on tõetäosus kui…

Answer 7

Funktsiooni P() saab aga nimetada tõenäosuseks siis, kui kehtivad järgmised omadused:
P1. P(A) ≥ 0, ∀A
P2. P(Ω) = 1, P(∅) = 0,
P3. Kui sündmused A1, A2, . . . on üksteist välistavad, siis
P(U_{i=1}^{∞} A_i) = summa_{i=1}^{∞} P(A_i)

Question 8

Kui A ∩ B = ∅…

Answer 8

Kui A ∩ B = ∅, siis P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Question 9

Vahe tõenäosus

Answer 9

Vahe tõenäosus: P(A\B) = P(A) − P(A ∩ B)

Question 10

Suvalise kahe sündmuse summa tõenäosus

Answer 10

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Question 11

Boole’i võrratus

Answer 11

P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

Question 12

Üldine liitmislause

Answer 12

vt. konpekt

Question 13

Üldine Boole’i võrratus

Answer 13

vt. konpekt

Question 14

Kombinatoorika põhireegel

Answer 14

Kombinatoorika põhireegel. Kui esimesele kohale on võimalik valida n1 elemendi vahel, pärast ükskõik millise
esimese elemendi saamist on teisele kohale võimalik valida n2 elemendi vahel jne, ning pärast ukskõik millise
eelviimase elemendi saamist on viimasele kohale võimalik valida nk elemendi vahel, siis kokku on võimalik
saada n1 · n2 · . . . · nk erinevat k-elemendilist järjestatud kogumit.

Question 15

Järeldused kombinatoorika põhireeglist

Answer 15

1. k− elemendiliste järjestatud komplektide moodustamisel nii, et kordused on lubatud, on võimalik saada n^k erinevat komplekti.
2. n elemendi kõikvõimalikke järjestusi ehk permutatsioone on 1 · 2 · . . . · n = n!.
3. Variatsioonideks n elemendist k kaupa nimetatakse k-elemendilisi (kordusi mittesisaldavaid) järjestatud komplekte n-st erinevast elemendist. Variatsioonide arvuks on:
   V_n^k = (n)_k = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = n! / (n − k)!
4. n-elemendilise hulga k-elemendilisi alamhulki (järjestust ei eristata) nimetatakse kombinatsioonideks n elemendist k kaupa ja võimalike kombinatsioonide arv on:
   C_n^ = (_k^n) = n! / k!(n − k)!

Question 16

Tinglik tõenäosus

Answer 16

Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel, et B on toimunud (P(B) > 0), nimetatakse suhet:
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B).

Question 17

Tõenäosuste korrutamise lause

Answer 17

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) ⇒ P(A ∩ B) = P(A|B)P(B).

Question 18

Sõltumatud sündmused

Answer 18

Sündmusi A ja B nimetatakse sõltumatuteks, kui kehtib:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Question 19

Positiivselt ja negatiivselt korreleeritud sündmused

Answer 19

Kui kehtib võrratus
P(A|B) > P(A),
siis sündmusi A ja B nimetatakse positiivselt korreleerituteks. Vastupidisel juhul, st kui kehtib
P(A|B) < P(A),
on tegemist negatiivselt korreleeritud sündmustega.

Question 20

Täistõenäosuse valem

Answer 20

P(A) = summa^n_(i=1)
P(A|B_i)P(B_i)

Question 21

Bayesi valem

Answer 21

P(B_j |A) = P(A|B_j )P(B_j ) / summa^n_(i=1) P(A|B_i)P(B_i)
, j = 1,2, . . . ,n

Question 22

Diskreetne juhuslik suurus

Answer 22

Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse funktsiooni X: (omega) -> R, mille võimalike väärtuste hulk on kas lõplik või loenduv. Tähistame X väärtuseid x_1, x_2, …, (x_n) ja tõenäosusi p_i= P(X = x_i).

Question 23

Diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus

Answer 23

EX = (summa) x_i * p_i

Question 24

Keskväärtuse lineaarsus

Answer 24

E(aX + b) = aEX + b

Question 25

Juhusliku suuruse X dispersioon

Answer 25

DX = EX^2 - (EX)^2

Question 26

Dispersiooni omadused (3)

Answer 26

1. Dc = 0
2. D(X + c) = DX
3. D(cX) = c^2 * DX

Question 27

Kahe juhusliku suuruse summa keskväärtus

Answer 27

Olgu X ja Y diskreetsed juhuslikud suurused. Kui eksisteerivad (on lõplikud) keskväärtused EX ja EY ,
siis kehtib seos:
E(X + Y ) = EX + EY

Question 28

Keskväärtuse lineaarsuse omadus

Answer 28

Konstantide a,b ∈ R korral kehtib:
E(aX + bY ) = aEX + bEY

Question 29

Sõltumatud diskreetsed juhuslikud suurused

Answer 29

Diskreetseid juhuslikke suurusi X ja Y nimetatakse sõltumatuteks, kui iga i ja j korral sündmused
(X = xi) ja (Y = yj ) on sõltumatud, s.t
P(X = xi, Y = yj ) = P(X = xi) · P(Y = yj)

Question 30

Korrutise keskväärtus

Answer 30

Kui X ja Y on sõltumatud juhuslikud suurused, siis:
E(XY ) = EX · EY

Question 31

Summa dispersioon

Answer 31

Kui X ja Y on sõltumatud, siis nende summa dispersioon avaldub kui dispersioonide summa:
D(X + Y ) = DX + DY

Samuti:
D(aX + bY ) = a^2DX + b^2DY, kus a,b ∈ R

Question 32

Bernoulli jaotus

Answer 32

Öeldakse, et juhuslik suurus X on Bernoulli jaotusega ja tähistame X ∼ Be(p), kui tema võimalikud väärtused on 0 või 1, ning p = P(X = 1).
Tõenäosust p nimetatakse Bernoulli jaotuse parameetriks.
Keskväärtus: EX = p
Dispersioon: DX = p(1 − p)

Question 33

Binoomjaotus

Answer 33

Juhuslik suurus X on binoomjaotusega, X ∼ B(n,p), kui ta on mingi sündmuste A toimumiste arv n sõltumatus katses, kus igal üksikkatsel P(A) = p
Binoomjaotuse parameetriteks on n ja p.
Tähistame juhusliku suuruse X võimalikud väärtused k-ga, kus k = 0, 1, 2, . . . , n.
P(X = k) = C^k_n p^k (1 − p)^(n−k)
EX = np
DX = np(1 − p)

Question 34

Hüpergeomeetriline jaotus

Answer 34

Olgu meil hulk suurusega N, kus on kahte tüüpi elemente, kusjuures K elementi on esimest ja N − K teist tüüpi. Kui sellest hulgast võetakse tagasipanekuta n-elemendiline juhuslik alamhulk, siis juhuslik suurus X, mille väärtuseks on esimest tüüpi elementide selles alamhulgas on hüpergeomeetrilise jaotusega , parameetritega N, K ja n, ning X jaotus on esitatud kui:
P(X = k) = C^k_N * C^(n-k)_(N-k) / C^n_N

Question 35

Mood

Answer 35

Diskreetse juhusliku suuruse mood on defineeritud kui selle kõige tõenäolisem väärtus, ehk argmax_(x_i)P(X=x_i)

Question 36

Geomeetriline jaotus

Answer 36

Tähistus: X - Geom(p)
Iseloomustus: sõltumatute katsete arv kuni mingi sündmuse A toimumiseni, kus igal üksikkatsel P(A) = p.
Geomeetrilise jaotuse parameeter on p.
Geomeetrilise jaotuse tõenäosusfunktsioon:
P(X = k) = (1 - p) ^ (k-1) p, kus k=0,1,2,…
Keskväärtus: EX = 1/p
Dispersioon: DX = (1-p)/p^2
Mood: 1

Question 37

Negatiivne binoomjaotus

Answer 37

Tähistus: X - NB(m,p)
Iseloomustus: vastandsündmuse Ä toimumiste arv sõltumatutes katsetes kuni sündmus A on toimunud m korda
Negatiivse binoomjaotuse parameetrid on m ja p.
Negatiivse binoomjaotuse tõenäosusfunktsioon:
P(X = k) = C^(m-1)_(k+m-1) p^m (1-p)^k, kus k=0,1,2,…,n
Keskväärtus: EX = (1-p)m/p
Dispersioon: DX = (1-p)m/p^2

Question 38

Poissoni jaotus

Answer 38

Tähistus: X - Po(lambda)
Iseloomustus: tihti sobib kirjeldamaks teatud sündmuse toimumiste arvu (nt ajaühikus)
Poissoni jaotuse parameeter on lambda, kusjuures alati lambda > 0
Poissoni jaotuse tõenäosusfunktsioon:
P(X = k) = lambda^k/k! e^(-lambda), kus k=0,1,2,…
Keskväärtus: EX = lambda
Dispersioon: DX = lambda
Mood: põrand(lambda) ja lagi(lambda)-1

Question 39

Poissoni piirteoreem

Answer 39

Olgu X1,X2,… binoomjaotusega juhuslikud suurused, Xn - B(n,p_n) ja leidku aset koondumine EX_n = np_n -> lambda > 0. Siis binoomjaotuse tõenäosused koonduvad Poissoni jaotuse tõenäosuseks:
P(X_n = k) = C^k_n p^k_n (1-p_n)^(n-k) -> lambda^k/k! e^(-lambda), n -> infty.