theorie punten, rechten, vlakken Flashcards
planimetrie
vlakke meetkunde (2D)
stereometrie
ruimtemeetkunde (3D)
bouwstenen 3D figuren
punten, rechten, vlakken
collineaire punten
punten die tot eenzelfde rechte behoren
concurrente rechten
rechten die door eenzelfde punt gaan (elkaar snijden)
coplanaire punten
punten die tot eenzelfde vlak behoren
verzameling van alle rechten
L
verzameling van alle vlakken
V
In elk vlak van de ruimte gelden…
alle axioma’s, definities en eigenschappen van de vlakke meetkunde.
Twee verschillende punten…
bepalen precies 1 rechte.
Als een rechte en een vlak twee punten gemeen hebben, …
dan is die recht in dat vlak omvat.
Elk vlak verdeelt de ruimte…
in 3 disjuncte verzamelingen, namelijk dat vlak zelf en de 2 open halfruimtes.
Liggen de punten A en B in eenzelfde open halfruimte van een vlak, heeft [A,B] geen punt gemeen met dat vlak.
Liggen de punten A en B in verschillende halfruimtes van een vlak, dan heeft [A,B] precies 1 punt gemeen met dat vlak.
De congruentiekenmerken voor driehoeken gelden…
ook voor driehoeken die niet in éénzelfde vlak zijn gelegen.
congruentiekenmerken voor driehoeken: ZZZ, ZHZ, HZH, ZHH, ZZ90°
Twee verschillende punten bepalen precies …
1 rechte
Door een rechte gaan … vlakken
oneindig veel
Door 3 niet-collineaire punten gaat …
juist 1 vlak
Door twee evenwijdige (niet-samenvallende) rechten …
gaat juist 1 vlak.
Een vlak is eenduidig bepaald door:
- 3 niet-collineaire punten
- 2 // rechten (niet-samenvallend)
- rechte en punt niet op die rechte gelegen
- 2 snijdende rechten
Een rechte en een punt op de rechte gelegen zijn…
in precies 1 vlak omvat. (bewijs!!)
notatie vlak bepaald door 3 niet-collineaire punten
vl(ABC)
notatie vlak bepaald door de snijdende rechten a en b
vl(a,b)
notatie vlak bepaald door de rechte a en het punt A (geen element van a)
vl(a,A)
notatie vlak bepaald door evenwijdige rechten k en l
vl(k,l)
axioma van Euclides
in symbolen kunnen opschrijven
Twee verschillende vlakken die een punt gemeen hebben, …
snijden elkaar en hun snijlijn gaat door dat punt.
Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, …
dan snijdt dit vlak ook de andere. (+ symbolen)
Een rechte is evenwijdig met een vlak…
als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak. (+ symbolen + bewijs)
Twee rechten, evenwijdig met een derde,…
zijn onderling evenwijdig. (+ symbolen)
Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken, …
dan is ze evenwijdig met de snijlijn van die vlakken. (+ symbolen)
Als men door een rechte die evenwijdig is met een vlak alfa, een vlak aanbrengt dat alfa snijdt, …
dan is de snijlijn evenwijdig met de gegeven rechte. (+ bewijs)
Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, …
dan zijn die vlakken evenwijdig.
Twee vlakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van het ene vlak…
evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van het andere vlak.
Door een punt dat niet in een vlak alfa ligt, …
bestaat er juist 1 vlak beta dat evenwijdig is met alfa. Alle rechten door dat punt, die evenwijdig zijn met alfa, liggen in dat evenwijdig vlak beta.
–> gevolgen:
- een vlak 1 vd 2 // vlakken snijdt, snijdt ook het andere vl
- rechte 1 vd 2 // vl snijdt, dan snijdt ook het andere vl
- als rechte // vlak, dan gaat er door die rechte precies 1 vlak evenwijdig met gegeven vlak
De snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak…
zijn evenwijdig. (+ symbolen + bewijs)
