Téridő geometria Flashcards
VONATKOZTATÁSI RENDSZER
- Inerciarendszer? Nem i.r.-ek?
- Koordinátarendszerek?
Olyan valóságosan létező (ténylegesen realizálható) objektumok, amelyek alapvető funkciója, hogy hozzájuk viszonyítjuk a természeti törvényeket.
- Olyan vonatkoztatási rendszer, ahol érvényes a tehetetlenség törvénye. Amikre ez nem érvényes, azok gyorsuló vonatkoztatási rendszerek.
- Képzeletbeliek, soha nincsenek realizálva, matematikailag az egyenletek felírásához kellenek.
GLOBALITÁS
Egy k.r. képzeletbeli, így az egész euklideszi térre kiterjeszthető a vonatkoztatási rendszer rögzítése után, ezzel meg bármilyen távoli testről megmondható, hogy hogyan mozog a k.r.-hez képest. (Ez gyorsuló k.r.-ekre is igaz.)
STANDARD ELRENDEZÉS
— K és K’ megfelelő tengelyei párhuzamosak
— közös x-tengelyük mentén mozognak
— adott időpillanatban a rendszerek fedik egymást (pl.: r=0, t=0 «—» r’=0, t’=0)
A Lorentz-transzformációhoz kapcsolt követelmények?
Összefoglalva: a transzformációk alkossanak csoportot.
- Az elrendezés standard.
- A transzformáció tiszteletben tartja a tér és az idő homogenitását, meaning a transzformáció EVE mozgást EVE mozgásba visz át, azaz i.r.-ek között történik.
- V=0-hoz az azonos transzformáció tartozik, az inverz is megengedett, amihez -V tartozik és K —» K’ nem függ a megvalósításhoz tartozó közbeeső lépésektől.
LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ
• Invariáns kvadratikus kifejezés?
A fénysebesség minden i.r.-ben minden irányban ugyanazzal a c sebességgel terjed.
t' = [1/√(1 – V^2/c^2)]*[t – (V/c^2)*x] x' = [1/√(1– V^2/c^2)]*(x – V*t) y' = y z' = z
• (Δx)^2 + (Δy)^2 + (Δz)^2 – c^2*(Δt)^2 = invariáns
RELATIVISZTIKUS SEBESSÉGÖSSZEADÁSI TÖRVÉNY
v'_x = (v_x – V)/(1–v_x*V/c^2) v'_y = [√(1 – V^2/c^2)/(1 – v_x*V/c^2)]*v_y v'_z = [√(1 – V^2/c^2)/(1 – v_x*V/c^2)]*v_z
A relativitáselmélet két posztulátuma?
- Következmény?
- Feltétel? Mikre nem vonatkozik?
- Az i.r.-ek minden természeti jelenség szempontjából ekvivalensek (nem csak a mechanikáéból).
- A fénysebesség minden i.r.-ben izotróp és ugyanolyan nagyságú.
- A koordináták átszámításkor a Lorentz-transzformáció képletei a jók, és a sebességek is a relativisztikus sebességösszeadási képlettel számíthatók át.
- Vonatkoztatási rendszerek relatív sebessége mindig kisebb a fénysebességnél (értelmetlenek lennének a képletek, meg amúgy is rendes makroszopikus objektumok). Mikrorészecskékre ez nem vonatkozik, mert nem vonatkoztatási rendszerek. A Lorentz-transzformció megengedi, hogy ha egy tömegpont sebessége v>c, v
TÉRIDŐ
- Minkowski-féle koordináta-rendszer?
- Lorentz-transzformáció a téridőben?
A pontszerűvé és pillanatszerűvé idealizált események egy (hipotetikus) négydimenziós (négy valós számmal, azaz koordinátával jellemezhető) kontinuuma.
• t-tengely: a K origójában különböző időpontokban történő események;
x/y/z-tengely: a t=0 időpillanatban a k.r. x/y/z-tengelye mentén történő események;
origó: a K origójában t=0 időpillanatban történő esemény;
Egy esemény t,x,y,z koordinátáit párhuzamos vetítések kapcsolják össze a téridő megfelelő pontjával.
• Új négydimenziós k.r.-re történő áttérés.
PSZEUDOORTOGONÁLIS TRANSZFORMÁCIÓK
• Jellemzők?
A téridő olyan lineáris transzformációi, amik az x^2+y^2+z^2-c*t^2 kvadratikus kifejezést invariánsan hagyják.
• Nem korlátozódnak standard elrendezésre. Megszorítás: az az esemény, ami x=y=z=t=0 pillanatban történik, legyen közös. Megengedi tér- és időkoordináták tükrözését (bár ezek nem Lorentz-transzformációk tho).
LORENTZ-BOOST
- Párhuzam?
- Sebességparaméter/rapiditás?
- Hiperbolikus forgatás?
- Boost n irányba?
Standard elrendezésre vonatkozó Lorentz-transzformáció.
• Az x-y sík φ szögű elforgatása, a LT is ilyesmi alakra hozható.
• V/c := thω —» ω = arth(V/c)
• A LT-nak az első pontban említett alakja a V/c-s együtthatók és a hiperbolikus azonosságok alapján:
( ct’ = ( chω –shω ( ct
x’ ) –shω chω ) x )
• ( chω –nshω
–shωn I + (chω–1)*n o n )
Lorentz-transzformáció mátrixa?
- Passzív szemlélet?
- Aktív személet?
- A trafó linearitása miatt a komponensek?
Λ
• Az esemény koordinátái azért változnak a vesszősökre, mert másik Minkowski-féle k.r.-hez lettek viszonyítva a dolgok. A paraméterek a k.r.-ek közötti kapcsolat.
x(^i’) = Λ(^i’)(_j)x(^j) —» Λ
• Az esemény az eredeti K-ban maradva azzal a másik eseménnyel van helyettesítve, amelyek koordinátái K-ban megegyeznek az eredeti esemény K’-beli koordinátáival. A trafóhoz az eredeti inverzének megfelelő paraméterek kellenek.
ξ(^i’) = Λ(^i)(_j)x(^j) —» Λ^(–1)
• Λ(^i’)(_j) = ∂x(^i’)/∂x(^i)
Infinitezimális Lorentz-transzformációk általános alakja?
x(^i’) = x(^i) + Σ(j=0, 3) ω(^i)(_j)x(^j)
— ω(^0)(_0) = 0
ω(^0)(_α) = ω(^α)(_0) = –δV/c (tengelyirány)
ω(^β)(_α) = –ω(^α)(_β) = –δφ(_γ) (ekkora szögű elforgatás az α és β által nem kijelölt tengely körül)
Téridő izotrópiája?
Az euklideszi térben igen, de a téridőben nem egyenértékű minden irány, azaz nem izotróp, a LT ezt nem biztosítja.
A téridő irányai?
A téridőbeli irányok 5 különböző kategóriába sorolhatók és az ekvivalencia csak az egyes kategóriákon belül áll fenn.
— TÉRSZERŰ irányok: az összes olyan P’ által meghatározott (OP-ével) egyenértékű irány a téridőben, amelyeknek az origótól számított távolságnégyzete –1. P-ből P’ egy ω rapiditású boost és egy θ és φ polárszögeknek megfelelő térbeli forgatás után jön létre. P’ legáltalánosabb alakja: x(^i)(_P’) = ( –shω; chωcosθ; chωsinθsinφ; chωsinθcosφ )
— IDŐSZERŰ irányok: az x(^i)(±Q’)-knek megfelelő Q’(±) pontok által kijelölt irányok, az origótól számított távolságnégyzetük +1. + a jövőbe mutató, – a múltba mutató időszerű irányok. A Q’(±) pontok legáltalánosabb alakja: x(^i)(_Q’±) = ( ±chω; ±shωcosθ; ±shωsinθsinφ; ±shωsinθcosφ )
— FÉNYSZERŰ irányok: a (±1; ±1; 0; 0) koordinátájú pontokból LT-val kapható pontokhoz tartozó irányok, amelyek távolságnégyzete 0. Az ilyen pontok tiszta forgatással kaphatók, boost nincs benne, mert az R(±) által meghatározott irányt változatlanul hagyja. Az R’(±) koordináták legáltalánosabb alakja: x(^i)(_R’±) = ( 1; cosθ; sinθsinφ; sinθcosφ )
FÉNYKÚP
- Jövőbeli fénykúp?
- Múltbeli fénykúp?
- Alkotóelemek?
- Koordinátasíkok metszése?
A téridőnek az a tartománya, amely az R’(±) pontokon áthaladó egyenest tartalmazza (tehát azokat az eseményeket, amiket O-val fényjel köt össze).
- O a fényjel felvillanása, R’(+)-on áthaladó egyenesek egy pontja az észlelése.
- Az R’(–)-on áthaladó egyenesek egy pontja a fényjel felvillanása, O az észlelése.
- Az x(^i)(_R’±) pontokon áthaladó x(^i) = x(^0)( 1; cosθ; sinθsinφ; sinθ*cosφ ) egyenesek. A fénykúp minden x(^0)-nál egy | x(^0) | sugarú gömbfelület.
- A fénykúp ±45 fokos hajlásszögű egyenespárban metszi őket.
A téridő tartományai?
Fénykúp rendelhető bármilyen eseményhez, és a felosztás kiterjeszthető irányokról eseménypárokra a Δs^2 = Δx(^0)^2 – Δx(^1)^2 – Δx(^2)^2 – Δx(^3)^2 négyestávolság-négyzet előjele szerint:
— TÉRSZERŰ: Δs^2 < 0, fénykúpon kívül
— IDŐSZERŰ: Δs^2 > 0, fénykúpon belül
— FÉNYSZERŰ: Δs^2 = 0, maga a fénykúp
A téridő vektorai?
- U K’-beli komponensei boost esetén?
- Normanégyzet?
- Lineárkombináció?
A LT lineáris, így az események koordinátái és az eseménypárok által meghatározott irányított szakaszok vektorként viselkednek.
- U’ = ( U’(^0); U’(^1); U’(^2); U’(^3) ) = ( chωU(^0) – shωU(^1); –shωU(^0) + chωU(^1); U(^2); U(^3) )
- Invariáns a vektorkomponensek és a krd.-ák trafójának azonossága miatt: [U’(^0)]^2 – [U’(^1)]^2 – [U’(^2)]^2 – [U’(^3)]^2 = inv. = U^2 (az önmagával vett skalárszorzat)
- Két vektor lineárkombinációja is vektor.
MINKOWSKI-SZIMBÓLUM
η(_ij) = +1, ha i=j = 0
–1, ha i=j = 1,2,3
0 másképp
Vektorok skalárszorzata?
• Ortogonalitás?
Invariáns, mivel a lineárkombinációk normanégyzete is az.
UV = η(_ij)U(^i)*V(^j) = inv. (összegzési konvenció van!!)
• Két vektor ortogonális, ha skalárszorzatuk 0.
Vektorok osztályzása?
• Egységvektorok?
— időszerű: U^2 > 0
— térszerű: U^2 < 0
— fényszerű: U = 0
• időszerűnél: U^2 = 1, térszerűnél U^2 = –1
PSZEUDOORTONORMALITÁSI RELÁCIÓ
- Minkowski-féle k.r.-ek?
- U vektor bázisvektorokkal?
e_(i)*e_(j) = η(_ij), ahol e_(i)-k (i=0,1,2,3) a tengelyek irányaiba mutató bázisvektorok.
- A reláció érvényes bennük, ezért pszeudoortogonális egyenesvonalú k.r.-ek.
- Minden U vektor felírható a bázisvektorok lineárkombinációjaként: U = U(^i)*e_(i)
SAJÁTIDŐ
- Invariancia?
- Sajátidő és koordinátaidő kapcsolata tetszőlegesen mozgó órák esetén?
Az az idő, amit az ideális pontszerű órák mutatnak. Objektumhoz rögzített fogalom, minden objektumnak sajátja van.
- Két adott esemény között egy adott órán (objektumon) eltelt sajátidő invariáns.
- Δτ = ∫(t1,t2) dt √(1–V^2/c^2)
IDŐDILATÁCIÓ
A mozgó óra késik a koordinátaidőhöz képest, amit a k.r.-ben nyugvó órák mutatnának, azaz maga az idő az, ami bármelyik i.r.-ből nézve az összes többiben lelassul (annál jobban, minél nagyobb az i.r.-ek relatív sebessége.
Sajátidő- vs. koordinátaidő-különbség?
Sajátidő-különbség: az eseményeket összekötő időszerű világvonalon eltelt sajátidő az események között.
Koordinátaidő-különbség: koordinátaidő, ami az eseménypár között telik el különböző i.r.-ekben.
KAUZALITÁSI PARADOXON
• Minek a következménye?
Egy időszerű eseménypáron belül az ok és az okozat felcserélődik.
• Annak, hogy a térszerű események időbeli sorrendje nem invariáns, az okot és az okozatot nem csak az különbözteti meg, hogy melyik történik előbb.
LORENTZ-KONTRAKCIÓ
- Ok?
- Létrehoz a forgás Lorentz-kontrakciót?
A mozgás rövidülést hoz létre a mozgásirányú méretben, aminek mértéke a √(1–V^2/c^2) faktor.
- Pl. egy rúd esetén, a rúd hossza különböző más-más v.r.-ben, mert a kezdő- és végpont világvonalán az egyidejű pontpárok nem ugyanazok.
- A szimmetriatengely körül forgó merev korongban nem lép fel relativisztikus okokból deformáció.
KONTRAVARIÁNS VEKTOR
• Kontravariáns tenzorok?
Olyan n-dimenziós vektor, amit az n-dimenziós térben minden k.r.-ben n komponens határoz meg, és új k.r.-re való áttérésnél úgy transzformálódnak, mint a koordinátadifferenciálok.
V(^i’) = [∂x(^i’)/∂x(^j)]*V(^j)
• A vektorok általánosításai: egy m-edrendű kontravariáns tenzornak m indexe van, minden index egymástól függetlenül minden koordináta értékét felveszi, és úgy transzformálódik, mint m különböző kontravariáns vektor szorzata.
T(^i’_1,…,i’_m) = [∂x(^i’_1)/∂x(^j_1)]…[∂x(^i’_m)/∂x(^j_m)]*T(^j_1,…,j_m)
KOVARIÁNS VEKTOR
• Kovariáns tenzor?
n dimenzióban olyan (egyindexes) n komponensű mennyiség, amely komponensei úgy transzformálódnak, mint a ∂/∂x(^i’) parciális deriváltak.
V(_i’) = [∂x(^j)/∂x(^i’)]*V(^j)
• m-edrendű kovariáns tenzornak m alsó indexe van, amik egymástól függetlenül felveszik minden koordináta értékét, és úgy transzformálódnak, mit m kovariáns vektor szorzata:
T(^i’_1,…,i’_m) = [∂x(^j_1)/∂x(^i’_1)]…[∂x(^j_m)/∂x(^i’_m)]*T(^j_1,…,j_m)
EGYSÉGTENZOR
I(^j_i) = δ(^j_i)
komponensei minden v.r.-ben egyenlőek a Kronecker-deltával, invariáns tenzor
LÉVI-CIVITA TENZOR
• Mikor invariáns?
e(^i_1,…i_n) = ε(^i_1,…i_n)
(komponensei egyenlők a Lévi-Civita-szimbólummal)
• Olyan transzformációknál, ahol Jacobi-determináns = 1, az euklideszi térben a forgatásoknál, a téridőben a LT-nál.
MINKOWSKI-TENZOR
η(_k’l’) = [∂x(^i)/∂x(^k’)][∂x(^j)/∂x(^l’)]η(_ij)
a Minkowski-szimbólum tekinthető másodrendű kovariáns tenzornak
