Téridő geometria Flashcards
VONATKOZTATÁSI RENDSZER
- Inerciarendszer? Nem i.r.-ek?
- Koordinátarendszerek?
Olyan valóságosan létező (ténylegesen realizálható) objektumok, amelyek alapvető funkciója, hogy hozzájuk viszonyítjuk a természeti törvényeket.
- Olyan vonatkoztatási rendszer, ahol érvényes a tehetetlenség törvénye. Amikre ez nem érvényes, azok gyorsuló vonatkoztatási rendszerek.
- Képzeletbeliek, soha nincsenek realizálva, matematikailag az egyenletek felírásához kellenek.
GLOBALITÁS
Egy k.r. képzeletbeli, így az egész euklideszi térre kiterjeszthető a vonatkoztatási rendszer rögzítése után, ezzel meg bármilyen távoli testről megmondható, hogy hogyan mozog a k.r.-hez képest. (Ez gyorsuló k.r.-ekre is igaz.)
STANDARD ELRENDEZÉS
— K és K’ megfelelő tengelyei párhuzamosak
— közös x-tengelyük mentén mozognak
— adott időpillanatban a rendszerek fedik egymást (pl.: r=0, t=0 «—» r’=0, t’=0)
A Lorentz-transzformációhoz kapcsolt követelmények?
Összefoglalva: a transzformációk alkossanak csoportot.
- Az elrendezés standard.
- A transzformáció tiszteletben tartja a tér és az idő homogenitását, meaning a transzformáció EVE mozgást EVE mozgásba visz át, azaz i.r.-ek között történik.
- V=0-hoz az azonos transzformáció tartozik, az inverz is megengedett, amihez -V tartozik és K —» K’ nem függ a megvalósításhoz tartozó közbeeső lépésektől.
LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ
• Invariáns kvadratikus kifejezés?
A fénysebesség minden i.r.-ben minden irányban ugyanazzal a c sebességgel terjed.
t' = [1/√(1 – V^2/c^2)]*[t – (V/c^2)*x] x' = [1/√(1– V^2/c^2)]*(x – V*t) y' = y z' = z
• (Δx)^2 + (Δy)^2 + (Δz)^2 – c^2*(Δt)^2 = invariáns
RELATIVISZTIKUS SEBESSÉGÖSSZEADÁSI TÖRVÉNY
v'_x = (v_x – V)/(1–v_x*V/c^2) v'_y = [√(1 – V^2/c^2)/(1 – v_x*V/c^2)]*v_y v'_z = [√(1 – V^2/c^2)/(1 – v_x*V/c^2)]*v_z
A relativitáselmélet két posztulátuma?
- Következmény?
- Feltétel? Mikre nem vonatkozik?
- Az i.r.-ek minden természeti jelenség szempontjából ekvivalensek (nem csak a mechanikáéból).
- A fénysebesség minden i.r.-ben izotróp és ugyanolyan nagyságú.
- A koordináták átszámításkor a Lorentz-transzformáció képletei a jók, és a sebességek is a relativisztikus sebességösszeadási képlettel számíthatók át.
- Vonatkoztatási rendszerek relatív sebessége mindig kisebb a fénysebességnél (értelmetlenek lennének a képletek, meg amúgy is rendes makroszopikus objektumok). Mikrorészecskékre ez nem vonatkozik, mert nem vonatkoztatási rendszerek. A Lorentz-transzformció megengedi, hogy ha egy tömegpont sebessége v>c, v
TÉRIDŐ
- Minkowski-féle koordináta-rendszer?
- Lorentz-transzformáció a téridőben?
A pontszerűvé és pillanatszerűvé idealizált események egy (hipotetikus) négydimenziós (négy valós számmal, azaz koordinátával jellemezhető) kontinuuma.
• t-tengely: a K origójában különböző időpontokban történő események;
x/y/z-tengely: a t=0 időpillanatban a k.r. x/y/z-tengelye mentén történő események;
origó: a K origójában t=0 időpillanatban történő esemény;
Egy esemény t,x,y,z koordinátáit párhuzamos vetítések kapcsolják össze a téridő megfelelő pontjával.
• Új négydimenziós k.r.-re történő áttérés.
PSZEUDOORTOGONÁLIS TRANSZFORMÁCIÓK
• Jellemzők?
A téridő olyan lineáris transzformációi, amik az x^2+y^2+z^2-c*t^2 kvadratikus kifejezést invariánsan hagyják.
• Nem korlátozódnak standard elrendezésre. Megszorítás: az az esemény, ami x=y=z=t=0 pillanatban történik, legyen közös. Megengedi tér- és időkoordináták tükrözését (bár ezek nem Lorentz-transzformációk tho).
LORENTZ-BOOST
- Párhuzam?
- Sebességparaméter/rapiditás?
- Hiperbolikus forgatás?
- Boost n irányba?
Standard elrendezésre vonatkozó Lorentz-transzformáció.
• Az x-y sík φ szögű elforgatása, a LT is ilyesmi alakra hozható.
• V/c := thω —» ω = arth(V/c)
• A LT-nak az első pontban említett alakja a V/c-s együtthatók és a hiperbolikus azonosságok alapján:
( ct’ = ( chω –shω ( ct
x’ ) –shω chω ) x )
• ( chω –nshω
–shωn I + (chω–1)*n o n )
Lorentz-transzformáció mátrixa?
- Passzív szemlélet?
- Aktív személet?
- A trafó linearitása miatt a komponensek?
Λ
• Az esemény koordinátái azért változnak a vesszősökre, mert másik Minkowski-féle k.r.-hez lettek viszonyítva a dolgok. A paraméterek a k.r.-ek közötti kapcsolat.
x(^i’) = Λ(^i’)(_j)x(^j) —» Λ
• Az esemény az eredeti K-ban maradva azzal a másik eseménnyel van helyettesítve, amelyek koordinátái K-ban megegyeznek az eredeti esemény K’-beli koordinátáival. A trafóhoz az eredeti inverzének megfelelő paraméterek kellenek.
ξ(^i’) = Λ(^i)(_j)x(^j) —» Λ^(–1)
• Λ(^i’)(_j) = ∂x(^i’)/∂x(^i)
Infinitezimális Lorentz-transzformációk általános alakja?
x(^i’) = x(^i) + Σ(j=0, 3) ω(^i)(_j)x(^j)
— ω(^0)(_0) = 0
ω(^0)(_α) = ω(^α)(_0) = –δV/c (tengelyirány)
ω(^β)(_α) = –ω(^α)(_β) = –δφ(_γ) (ekkora szögű elforgatás az α és β által nem kijelölt tengely körül)
Téridő izotrópiája?
Az euklideszi térben igen, de a téridőben nem egyenértékű minden irány, azaz nem izotróp, a LT ezt nem biztosítja.
A téridő irányai?
A téridőbeli irányok 5 különböző kategóriába sorolhatók és az ekvivalencia csak az egyes kategóriákon belül áll fenn.
— TÉRSZERŰ irányok: az összes olyan P’ által meghatározott (OP-ével) egyenértékű irány a téridőben, amelyeknek az origótól számított távolságnégyzete –1. P-ből P’ egy ω rapiditású boost és egy θ és φ polárszögeknek megfelelő térbeli forgatás után jön létre. P’ legáltalánosabb alakja: x(^i)(_P’) = ( –shω; chωcosθ; chωsinθsinφ; chωsinθcosφ )
— IDŐSZERŰ irányok: az x(^i)(±Q’)-knek megfelelő Q’(±) pontok által kijelölt irányok, az origótól számított távolságnégyzetük +1. + a jövőbe mutató, – a múltba mutató időszerű irányok. A Q’(±) pontok legáltalánosabb alakja: x(^i)(_Q’±) = ( ±chω; ±shωcosθ; ±shωsinθsinφ; ±shωsinθcosφ )
— FÉNYSZERŰ irányok: a (±1; ±1; 0; 0) koordinátájú pontokból LT-val kapható pontokhoz tartozó irányok, amelyek távolságnégyzete 0. Az ilyen pontok tiszta forgatással kaphatók, boost nincs benne, mert az R(±) által meghatározott irányt változatlanul hagyja. Az R’(±) koordináták legáltalánosabb alakja: x(^i)(_R’±) = ( 1; cosθ; sinθsinφ; sinθcosφ )
FÉNYKÚP
- Jövőbeli fénykúp?
- Múltbeli fénykúp?
- Alkotóelemek?
- Koordinátasíkok metszése?
A téridőnek az a tartománya, amely az R’(±) pontokon áthaladó egyenest tartalmazza (tehát azokat az eseményeket, amiket O-val fényjel köt össze).
- O a fényjel felvillanása, R’(+)-on áthaladó egyenesek egy pontja az észlelése.
- Az R’(–)-on áthaladó egyenesek egy pontja a fényjel felvillanása, O az észlelése.
- Az x(^i)(_R’±) pontokon áthaladó x(^i) = x(^0)( 1; cosθ; sinθsinφ; sinθ*cosφ ) egyenesek. A fénykúp minden x(^0)-nál egy | x(^0) | sugarú gömbfelület.
- A fénykúp ±45 fokos hajlásszögű egyenespárban metszi őket.
