Teorija kategorija

Question 1

Sta je kategorija

Answer 1

Kategorija je monograf sa sledecim osobinama:

• Identitet -dodeljuje strelicu samom sebi id.f = f
• Kompozicija - Dodeljuje strelicu g . f svakom paru f i g dom g = cod f. Kompozicija mora biti asocijativna

Question 2

Funktor

Answer 2

Funtor izmedju kategorija C i D je mapiranje objekta na objekte i strelice na strelice koje zadovoljavaju sledeca pravila.
1. F(f): F(dom f) –> F(cod f)
2.F(g.f) = F(g)F(f)
3.F(1_a) = 1_F(a)

Question 3

Sta je lifting ?

Answer 3

Zamislimo da imamo jednu kutiju u kojoj se nalazi broj n. Zelimo da preslikamo broj n nekom unarnom funkcijom f u broj m ( f(n) = m ) UNUTAR KUTIJE. Da bismo uradili potrebno je “otvoriti” kutiju i uzeti n, preslikati taj broj funkcijom f u broj m. Na kraju, broj koji smo dobili zatvaramo u kutiju. Ovaj proces unwrap-and-wrap naziva se lifting

Question 4

Fmap

Answer 4

fmap:: ( a–>b) –> f a –> f b

Question 5

Monada

Answer 5

Monada M (<M,return,join>) nad kategorijom C se sastoji od endofunktora M: C->C i dve transfromcaije return : C->M(C) i operacija join: M(M(C)) ->M(C) koje zadovoljavaju sledece

• levi identitet - return a&raquo_space;= f = fa
• desni identitet -m&raquo_space;= return m
• asocijativnost (m&raquo_space;= f)&raquo_space;= g ==m&raquo_space;= (\x -> fx&raquo_space;= g)

> > = je kompozicija join i fmap i naziva se bind funkcija

Sta ovo znaci?
Mi uzimamo neku funkciju i primenjujemo je na vrednost koja se nalazi u kontekstu. Funkcija se primeni na vrednost i ona se ponovo vraca u taj kontekst