Teoria degli insiemi Flashcards
Definizione di insieme
Un insieme è una collezione non ordinata di elementi.
In che modo possono essere definiti gli insiemi?
Gli insiemi possono essere definiti in due modi:
- Per estensione;
- Per condizione.
Cosa prevede definire un insieme per estensione?
Gli elementi di un insieme vengono elencati, separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe.
Cosa prevede definire un insieme per condizione?
L’insieme viene descritto evidenziando una o più condizioni che devono essere soddisfatte da tutti gli elementi appartenenti ad esso.
Cosa rappresenta l’insieme singleton?
Il singleton rappresenta l’insieme costituito da un solo elemento.
es. {c} è il singleton di c, cioè l’insieme costituito dal solo c
Cosa rappresenta l’insieme vuoto
∅?
L’insieme vuoto è l’insieme privo di elementi.
Si ha quindi x ∉ ∅, per ogni x.
Qual è il valore della cardinalità dell’insieme vuoto ∅?
|∅|= 0
Pertanto, l’insieme vuoto è considerabile finito.
Che insieme rappresenta il simbolo N?
Il simbolo N rappresenta l’insieme dei numeri naturali.
N = {1, 2, 3, 4, …}
Che insieme rappresenta il simbolo Z?
Il simbolo Z rappresenta l’insieme dei numeri interi.
Z = {0, 1, -1, 2, -2, …}
Che insieme rappresenta il simbolo Q?
Il simbolo Q rappresenta l’insieme dei numeri razionali.
Q = {m / n : m, n ∈ Z and n != 0}
Che insieme rappresenta il simbolo R?
Il simbolo R rappresenta l’insieme dei numeri reali.
R = {-∞, …, +∞}
Che insieme rappresenta il simbolo I?
Il simbolo I rappresenta l’insieme dei numeri immaginari.
I = {x | x^2 = y} , con y ∈ Z
Che insieme rappresenta il simbolo C?
Il simbolo C rappresenta l’insieme dei numeri complessi.
Quale può essere una rappresentazione che descrive la relazione tra gli insiemi numerici?
https://musicafil.files.wordpress.com/2013/11/300px-diagramma_di_venn_dei_numeri-svg.png
Cosa si intende per cardinalità di un insieme?
La cardinalità di un insieme rappresenta il numero dei suoi elementi.
Qual è il valore della seguente notazione:
|{x}|?
|{x}| = 1
Definizione di uguaglianza tra insiemi.
Si dice che due insiemi sono uguali se e solo se gli elementi che appartengono ad entrambi gli insiemi sono gli stessi.
S = T se e solo se (x ∈ S se e solo se x ∈ T)
Definizione di insieme delle parti.
L’insieme delle parti è l’insieme di tutti e soli i sottoinsieme.
L’insieme delle parti di S, è denotato da P(S) := {X : X ⊆ S}
Perché l’insieme delle parti di un insieme S viene anche detto insieme potenza di S?
Ciò per evidenziare che, se S è un insieme finito, l’insieme P(S), ovviamente finito, ha ordine 2 ^|S|.
Enunciato della proprietà di tricotomia.
Per ogni a, b ∈ N_0 sussiste una e una sola delle
seguenti: a < b, b < a, a = b.
Enunciato Teorema fondamentale dell’aritmetica (in N).
Sia n ≥ 2 un numero naturale.
Allora si ha n = p1p2 . . . pt, cont ≥ 1e p1, p2, . . . , pt primi.
Inoltre tale scrittura è unica a meno dell’ordine dei fattori.
Quale osservazione segue dal Teorema fondamentale dell’aritmetica (in N)?
Dal Teorema segue che ogni n ∈ N, n ≥ 2, è sempre divisibile per un numero primo, e che ogni naturale ha un numero finito di divisori.
Definizione di unione di due insiemi S e T.
Siano S e T insiemi, si definisce unione di S e T, e si indica con il simbolo S ∪ T , l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi appartenenti a S o a T.
S ∪ T := {x : x ∈ S o x ∈ T}
x ∈ S ∪ T : ⇐⇒ x ∈ S o x ∈ T, e x !∈ S ∪ T ⇐⇒ x !∈ S e x !∈ T.
Definizione di intersezione di due insiemi S e T.
Siano S e T insiemi, si definisce intersezione di S e T, e si indica con il simbolo S ∩ T , l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi appartenenti sia a S
che a T.
S ∩ T := {x : x ∈ S e x ∈ T}.
x ∈ S ∩ T : ⇐⇒ x ∈ S e x ∈ T, e x !∈ S ∩ T ⇐⇒ x !∈ S o x !∈ T.
