TEORÍA Flashcards
FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL
Una función f es una ley o regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida (o dominio) X un único elemento del conjunto de llegada (o codominio) Y. Decimos que estamos ante una función real de variable real cuando tanto el primer conjunto como el segundo está formados por números reales.
DOMINIO
Es el conjunto de valores para los cuales es aplicable la ley o el subconjunto de X que consiste en todas las x para las cuales f(x) está definida.
CONJUNTO IMAGEN
Es el conjunto contenido en Y formado por todos los valores de la forma f(x) que puede llegar a tomar la función. Es el subconjunto de Y formado por los valores que le corresponde a cada x del dominio.
GRÁFICA
La gráfica de una función f es la representación en unos ejes de coordenadas de todos los pares de la forma (x,f(x)), siendo x un elemento del dominio de f.
FUNCIÓN PAR - ejemplo
Es aquella función en la que elementos opuestos del dominio tienen igual imagen, gráficamente es simétrica con respecto al eje y. Ejemplos: función potencial (f(x)=x2), función de valor absoluto (f(x)=|x|), función constante (f(x)=c).
FUNCIÓN IMPAR - ejemplo
Es aquella función en la que elementos opuestos del dominio tienen imagen opuesta, gráficamente es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplos: función potencial (f(x)=x3), función identidad (f(x)=x), función recíproca (f(x)=1/x)
ASÍNTOTA HORIZONTAL Y ASÍNTOTA VERTICAL - ejemplos
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Horizontales: cuando la función se acerca indefinidamente a una recta del tipo x=a o al eje de las abscisas (eje x). Ejemplo: Función exponencial (ax).
Verticales: cuando la función se acerca indefinidamente a una recta del tipo y=a o al eje de las ordenadas (eje y). Ejemplo: Función logarítmica (log x).
FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO x=a - ejemplo
Función que en su gráfica no presenta saltos, cortes o agujeros. Una función f es continua en x=a si a pertenece al dominio de f, si el limite cuando x tiende a a de f(x) existe y es finito y si este límite da como resultado un número.
Ejemplos de funciones continuas en su dominio: Función polinómica, racionales, raíces, exponenciales y logarítmicas.
DERIVADA EN UN PUNTO
La derivada de una función f es la función denotada como f’ (se lee “f prima”) y es el límite: lim h-0 f(x+h) – f(x)/h cuyo cálculo parte de encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto situado sobre una curva, siempre que este límite exista y el cual resulta en una indeterminación que debe romperse.
Si f’(a) puede encontrarse, se dice que f es derivable o diferenciable en a y a f’(a) se le llama derivada de f en a o derivada de f con respecto a x en a.
Aplicaciones de la derivada
- aplicación geométrica: f’(a) representa la pendiente de la recta tangente a f en P (a, f(a)).
- aplicación económica: funciones de costo (C = f(q) –> CMg = C’(q))
- indica cómo cambia una función instantáneamente en cuanto tiempo o cantidades (razón de cambio, tasa de variación, velocidad de cambio).
FUNCIÓN DERIVADA
Es la resolución del límite mencionado anteriormente, donde al reemplazar x por un número resulta en la tangente de α (el ángulo que forma la tangente de f(x) en ese número x) con respecto al eje x.
Continuidad y diferenciación
Se dice que la derivada en un punto implica continuidad en dicho punto. Si una función no es continua en un punto, entonces no puede tener una derivada ahí ya que la curva no tiene tangente en ese punto.
Por otro lado, la función, por ejemplo, f(x) = |x| es continua en x = 0 y al no existir una recta tangente en x=0, no existe derivada allí. Esto muestra que la continuidad no implica diferenciabilidad.
Por último, mientras que la diferenciabilidad de f en a implica continuidad de f en a, la función derivada f’ no es necesariamente continua en a.
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE (def., en térm. de gráfica y de derivada)
Se dice que una función f es creciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera dos números x1, x2 incluidos en I, si x1 < x1, entonces f (x1) < f (x2).
Una función f es decreciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera dos números x1, x2 incluidos en I, si x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2).
En términos de la gráfica de la función, f es creciente en I si la curva se eleva hacia la derecha y f es decreciente en I si la curva cae hacia la derecha. Recordando que una línea recta con pendiente positiva se eleva hacia la derecha y una recta con pendiente negativa cae hacia la derecha.
Con respecto a la derivada, en el caso de las funciones crecientes, la recta tangente a cualquier punto de la misma también es creciente, por lo que la pendiente es positiva y al ser ésta la derivada de f si la función es creciente la derivada es positiva. Lo mismo ocurre para funciones decrecientes, pero a la inversa, es decir, la derivada es negativa.
MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO
En x=a hay un máximo relativo (o local) si para cualquier x cercano a a la función f es menor a la función evaluada en a [f(x) ≤ f(a)].
En x=a hay un mínimo relativo (o local) si para cualquier x cercano a a la función f es mayor a la función evaluada en a [f(x) ≥ f(a)].
PUNTO CRÍTICO - ejemplo
Para una a en el dominio de f, si f’(a) = 0 o bien f’(a) no existe, entonces a se denomina valor crítico, por lo que el punto (a;f(a)) es un punto crítico. En un punto crítico puede haber un máximo, un mínimo o ninguno de estos. Por ejemplo, si f(x) = x3, entonces f’(x) = 3x2. Como f’(0) = 0, 0 es un valor crítico. Pero si x<0, entonces 3x2 > 0 y, si x > 0, entonces 3x2 > 0. Como f’(x) no cambia de signo en 0, no existe un extremo relativo ahí.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Se llama progresión aritmética a toda sucesión tal que la diferencia entre dos términos consecutivos es constante. A esa constante se la llama diferencia común y la notamos con d. Entonces, una progresión aritmética de primer término a y diferencia común d, es una sucesión de término general:
Tn = a+(n-1)d; n=1, 2, 3, …
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Se llama progresión geométrica a toda sucesión en la que el cociente entre dos términos consecutivos es constante. A esa constante se la llama razón de la progresión geométrica y la indicaremos con r. Con a como el primer término, el término general de esta progresión es:
Tn = arn-1; n=1, 2, 3, …
ANTIDERIVADA O PRIMITIVA
Una antiderivada de f es una función F cuya derivada es f. [F es antiderivada de f, si F’(x) es igual a f(x)].
Todas las antiderivadas de una misma función difieren en una constante y todas ellas forman una familia de funciones (todas las antiderivadas de una función serán la familia de funciones, las cuales son el resultado de la integral definida de la función).
INTEGRAL DEFINIDA
Sea f una función continua en [a;b] y F una antiderivada de f llamaremos integral definida entre a y b de f(x) diferencial de x a la diferencia entre la antiderivada F evaluada en b y la antiderivada F evaluada en a. A diferencia de las integrales indefinidas que la solución era una familia de funciones, las integrales definidas dan como solución un número. Los números a y b son los extremos de la integración, siendo a el extremo inferior y b el extremo superior
PROPIEDADES INTEGRALES DEFINIDAS
- El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
- Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
- Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
- La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales.
- La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Es la derivada con respecto a cada una de las dos variables manteniendo las otras como constantes. En términos de límites para z = f(x,y).
MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Se dice que una función z = f (x, y) tiene un máximo relativo en el punto (a, b) si, para todos los puntos (x, y) en el plano que están lo suficientemente cerca de (a, b), se tiene que f (a, b) ≥ f (x, y). Mientras que, para un mínimo relativo, se tiene que f (a, b) ≤ f (x, y).
PUNTO CRÍTICO PARA FUNCIONES DE DOS VARIABLES - teorema
Un punto (a, b) para el cual fx(a, b) = fy(a, b) = 0 se llama punto crítico de f. Para localizar extremos relativos de una función, se deben examinar sus puntos críticos.
Para facilitar el procedimiento de encontrar si los puntos críticos son extremos se utiliza el siguiente teorema:
Suponiendo que z = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas fxx, fyy y fxy en todo punto (x, y) cercano al punto crítico (a, b). Sea H la función Hessiano definida por:
H(x, y) = fxx(x, y) . fyy(x, y) − (fxy(x, y))2
Entonces:
1. si H(a, b) > 0 y fxx(a, b) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (a, b);
2. si H(a, b) > 0 y fxx(a, b) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (a, b);
3. si H(a, b) < 0, entonces f tiene un punto silla en (a, b);
4. si H(a, b) = 0, no puede obtenerse ninguna conclusión con respecto a extremos
en (a, b) y es necesario hacer un análisis adicional.
