TEORÍA Flashcards
FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL
Una función f es una ley o regla que asigna a cada elemento del conjunto de partida (o dominio) X un único elemento del conjunto de llegada (o codominio) Y. Decimos que estamos ante una función real de variable real cuando tanto el primer conjunto como el segundo está formados por números reales.
DOMINIO
Es el conjunto de valores para los cuales es aplicable la ley o el subconjunto de X que consiste en todas las x para las cuales f(x) está definida.
CONJUNTO IMAGEN
Es el conjunto contenido en Y formado por todos los valores de la forma f(x) que puede llegar a tomar la función. Es el subconjunto de Y formado por los valores que le corresponde a cada x del dominio.
GRÁFICA
La gráfica de una función f es la representación en unos ejes de coordenadas de todos los pares de la forma (x,f(x)), siendo x un elemento del dominio de f.
FUNCIÓN PAR - ejemplo
Es aquella función en la que elementos opuestos del dominio tienen igual imagen, gráficamente es simétrica con respecto al eje y. Ejemplos: función potencial (f(x)=x2), función de valor absoluto (f(x)=|x|), función constante (f(x)=c).
FUNCIÓN IMPAR - ejemplo
Es aquella función en la que elementos opuestos del dominio tienen imagen opuesta, gráficamente es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplos: función potencial (f(x)=x3), función identidad (f(x)=x), función recíproca (f(x)=1/x)
ASÍNTOTA HORIZONTAL Y ASÍNTOTA VERTICAL - ejemplos
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Horizontales: cuando la función se acerca indefinidamente a una recta del tipo x=a o al eje de las abscisas (eje x). Ejemplo: Función exponencial (ax).
Verticales: cuando la función se acerca indefinidamente a una recta del tipo y=a o al eje de las ordenadas (eje y). Ejemplo: Función logarítmica (log x).
FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO x=a - ejemplo
Función que en su gráfica no presenta saltos, cortes o agujeros. Una función f es continua en x=a si a pertenece al dominio de f, si el limite cuando x tiende a a de f(x) existe y es finito y si este límite da como resultado un número.
Ejemplos de funciones continuas en su dominio: Función polinómica, racionales, raíces, exponenciales y logarítmicas.
DERIVADA EN UN PUNTO
La derivada de una función f es la función denotada como f’ (se lee “f prima”) y es el límite: lim h-0 f(x+h) – f(x)/h cuyo cálculo parte de encontrar la pendiente de la recta tangente en un punto situado sobre una curva, siempre que este límite exista y el cual resulta en una indeterminación que debe romperse.
Si f’(a) puede encontrarse, se dice que f es derivable o diferenciable en a y a f’(a) se le llama derivada de f en a o derivada de f con respecto a x en a.
Aplicaciones de la derivada
- aplicación geométrica: f’(a) representa la pendiente de la recta tangente a f en P (a, f(a)).
- aplicación económica: funciones de costo (C = f(q) –> CMg = C’(q))
- indica cómo cambia una función instantáneamente en cuanto tiempo o cantidades (razón de cambio, tasa de variación, velocidad de cambio).
FUNCIÓN DERIVADA
Es la resolución del límite mencionado anteriormente, donde al reemplazar x por un número resulta en la tangente de α (el ángulo que forma la tangente de f(x) en ese número x) con respecto al eje x.
Continuidad y diferenciación
Se dice que la derivada en un punto implica continuidad en dicho punto. Si una función no es continua en un punto, entonces no puede tener una derivada ahí ya que la curva no tiene tangente en ese punto.
Por otro lado, la función, por ejemplo, f(x) = |x| es continua en x = 0 y al no existir una recta tangente en x=0, no existe derivada allí. Esto muestra que la continuidad no implica diferenciabilidad.
Por último, mientras que la diferenciabilidad de f en a implica continuidad de f en a, la función derivada f’ no es necesariamente continua en a.
FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE (def., en térm. de gráfica y de derivada)
Se dice que una función f es creciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera dos números x1, x2 incluidos en I, si x1 < x1, entonces f (x1) < f (x2).
Una función f es decreciente en el intervalo I cuando, para cualesquiera dos números x1, x2 incluidos en I, si x1 < x2, entonces f (x1) > f (x2).
En términos de la gráfica de la función, f es creciente en I si la curva se eleva hacia la derecha y f es decreciente en I si la curva cae hacia la derecha. Recordando que una línea recta con pendiente positiva se eleva hacia la derecha y una recta con pendiente negativa cae hacia la derecha.
Con respecto a la derivada, en el caso de las funciones crecientes, la recta tangente a cualquier punto de la misma también es creciente, por lo que la pendiente es positiva y al ser ésta la derivada de f si la función es creciente la derivada es positiva. Lo mismo ocurre para funciones decrecientes, pero a la inversa, es decir, la derivada es negativa.
MÁXIMO Y MÍNIMO RELATIVO
En x=a hay un máximo relativo (o local) si para cualquier x cercano a a la función f es menor a la función evaluada en a [f(x) ≤ f(a)].
En x=a hay un mínimo relativo (o local) si para cualquier x cercano a a la función f es mayor a la función evaluada en a [f(x) ≥ f(a)].
PUNTO CRÍTICO - ejemplo
Para una a en el dominio de f, si f’(a) = 0 o bien f’(a) no existe, entonces a se denomina valor crítico, por lo que el punto (a;f(a)) es un punto crítico. En un punto crítico puede haber un máximo, un mínimo o ninguno de estos. Por ejemplo, si f(x) = x3, entonces f’(x) = 3x2. Como f’(0) = 0, 0 es un valor crítico. Pero si x<0, entonces 3x2 > 0 y, si x > 0, entonces 3x2 > 0. Como f’(x) no cambia de signo en 0, no existe un extremo relativo ahí.
