Tema 1 Límite de una función

Question 1

¿Cuál es la definición del límite de una función?

Answer 1

El límite de una función f_((x)) cuando x tiende a un número real a (x→a) es igual a un número real L. Esto se denota como lim┬(x→a)⁡〖f_((x)) 〗=L

Question 2

¿Cuál es la definción de límites laterales?

Answer 2

El límite de una función f, cuando x se aproxima por la derecha a un número real a es igual a L_1. Esto se denota como lim┬(x→a^+ )⁡〖f_((x)) 〗=L_1
El límite de una función f, cuando x se aproxima por la Izquierda a un número real a es igual a L_2. Esto se denota como lim┬(x→a^- )⁡〖f_((x)) 〗=L_2
lim┬(x→a)⁡〖f_((x) ) 〗=L si y solo si lim┬(x→a^+ )⁡〖f_((x) ) 〗=L y lim┬(x→a^- )⁡〖f_((x) ) 〗=L
Que ambos límites laterales sean iguales significara que el límite si existe

Question 3

Ejemplo 1 de calculo de límite de función algebraica
lim┬(x→2/3)⁡ (4x^3-(170x^2)/33+152x/99+8/99) / (3x^2-5x+2)

Answer 3

0

Question 4

Teoremas para calcular el límite de funciones algebraicas

Answer 4

Sea c∈R y además los límites de f_((x)) y g_((x)) de las funciones existen entonces:
1.-lim┬(x→a)⁡〖〖[f(x) )±g_((x) ) 〗]=lim┬(x→a)⁡〖f_((x) ) 〗±lim┬(x→a)⁡〖g_((x) ) 〗
2.- lim┬(x→a)⁡〖cf_((x) ) 〗=c lim┬(x→a)⁡〖f_((x) ) 〗
3.-lim┬(x→a)⁡〖〖[f〗((x) ) g((x) )] 〗=lim┬(x→a)⁡〖f_((x) ) 〗 lim┬(x→a)⁡〖g_((x) ) 〗
4.- lim┬(x→a)⁡[f_((x) )/g_((x) ) ]=lim┬(x→a)⁡〖f_((x) ) 〗/lim┬(x→a)⁡〖g_((x) ) 〗 cuando lim┬(x→a)⁡〖g_((x) ) 〗≠0
5.- lim┬(x→a)⁡〖[f_((x) ) ]^n 〗=[lim┬(x→a)⁡〖f_((x) ) 〗 ]^n

Question 5

Ejemplo 2 de calculo de límite de función algebraica
lim┬(x→6)⁡ (2-√(x-2)) / (x^2-36)

Answer 5

-1/48

Question 6

Ejemplo 3 de calculo de límite de función algebraica
lim┬(x→0)⁡ (√(x+4)-2) / (x)

Answer 6

1/4

Question 7

Ejemplo 4 de calculo de límite de función algebraica
lim┬(x→2)⁡ (3-√(4x+1)) / (x^2-2x)

Answer 7

-1/3

Question 8

Ejemplo 5 de calculo de límite de función algebraica
lim┬(x→1)⁡ (x^2+x-2) / (x^2-3x+2)

Answer 8

-3

Question 9

Ejemplo 1 de límite trigonométrico
lim┬(x→π/3)⁡〖sen3x/(1-2cosx)〗

Answer 9

-√(3)

Question 10

Ejmeplo 2
lim┬(x→0)⁡〖xsec(x)csc⁡(x)〗

Answer 10

1

Question 11

¿Qué condiciones se debe cumplir para que una función sea continua?

Answer 11

a) f(c) existe,es decir,c pertenece al dominio de f
b) lim┬(x→c)⁡ f(x) existe,es decir,los límites laterales son finitos e iguales
c) lim┬(x→c)⁡ f(x)=f(c)

Question 12

¿Qué tipos de discontinuidad existen?

Answer 12

a)Discontinuidad evitable o restringible
b)Discontinuidad infinita o asintótica
c)Discontinuidad de salto (finita o infinita)

Question 12

¿Qué es una discontinuidad evitable o restringible?

Answer 12

Cuando en un punto a
f(a) no existe o es diferente
y cuando lim┬(x→a) Existe
por lo que f(a) ≠ lim┬(x→a)

Question 13

¿Qué es una discontinuidad infinita o asintótica?

Answer 13

Cuando en un punto a
f(a) no esta definido
Y los límites laterales existen pero son infinitos
si son de mismo signo es infinita
si no lo son es asintótica

Question 14

¿Qué es una discontinuidad de salto finita e infinita?

Answer 14

Cuando en un punto a
f(a) no necesariamente esta definido
Y los límites laterales son distintos
si ambos limites son finitos entonces es un salto finito
y si existe un limite infinito es un salto infinito

Question 15

¿Qué es la continuidad de una función en un intervalo?

Answer 15

Una función y=f(x) es continua en un intervalo abierto (a,b) si lo es en todo valor del intervalo.
Una función y=f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en (a,b) y además lim┬(x→a^+ )⁡〖f(x) 〗=f(a) y lim┬(x→b^- )⁡f(x)=f(b). Es decir, es continua por la derecha de a, y continua por la izquierda de b.