TATA 41

Question 1

Instängning (gränsvärde)

Answer 1

Kan användas vid case som (0/0) av typen lim f(x) / g(x), där f(x) och g(x) är polynom, att det finns en (x-a) som är en faktor till båda polynomet och därmed kan förkortas bort.

Question 2

Användning av standardgränsvärde

Answer 2

sint / t -> 1. då x-> 0 det kan vara att t = 3x
t / sint -> 1 då x-> 0 gäller också övriga också
viktigt att lägga till kommentar om vad som är std. grv

Question 3

Taktik mot std.grv uppgift med typ

√(A+x) - or + √(B + x)

Answer 3

Förläng med konjugat

Question 4

Variabelbyte

Answer 4

Gör det för att kunna ¨hitta¨ std.grv. som gäller då variabel -> 0

Question 5

Kontinuitet

Answer 5

Funktion är kontinuerlig i x=a gäller att gränsvärde är lika med funktions värde i denna punkt.

Question 6

Hur undersöker vi kontinuitet?

Answer 6

Undersök höger resp vänster gränsvärde i x=a om två är inte lika med varandra då är funktionen inte kontinuerlig i denna punkt.

Question 7

Derivera funktion av typ f(x) = h(x)g(x)

Answer 7

f’(x) = h’(x)g(x) + h(x)g’(x)

Question 8

Derivera funktion av typ f(x) = h(x)/g(x)

Answer 8

f’(x) = h’(x)g(x) - h(x)g’(x) / (g(x))^2

Question 9

Derivera funktion av typ f(x) = h(g(x))

Answer 9

f’(x) = h’(g(x)) * g’(x)

Question 10

Om vi få ett polynom efter derivering

Answer 10

derivera och faktorisera derivatan

Question 11

Deriverbarhet

Answer 11

Måste den vara definierad i en omgivning till den och är kontinuerlig där.
Gränsvärdet lim f(a+h) -f(a) / h existerar och är lika med en konstant

Question 12

∫ ( f(x) + g(x) ) dx = ?

Answer 12

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Question 13

∫d f(x) dx

Answer 13

d∫ f(x) dx

Question 14

Partiell integration och när ska använda

Answer 14

∫ f(x) * g(x) dx = F(x)g(x) - ∫ F(x)*g’(x) dx
Användas om man tror att den ny intergral är enklare.
PI funkar bra få ∫ p(x)h(x) dx ska beräknas då p(x) är polynom och h(x) är e - funktion, sin(kx) eller cos(kx). Om polynomet har gradtal n, får man köra PI n-gånger.

Question 15

PI trick 1

när ska användas?

Answer 15

∫ sin(x)cos(x) dx = sin(x)sin(x) - ∫ sin(x)cos(x) dx ⇌ ∫ sin(x)cos(x) dx + ∫ sin(x)cos(x) dx = sinx^2 + C ⇌
2∫ sin(x)cos(x) dx = sin^2 + C ⇌
∫ sin(x)cos(x) dx = ( sin^2 + C ) /2

Question 16

PI trick 2

när ska användas?

Answer 16

Om man blir ombed till att beräkna primitiv funktion till en std.primitiv så funkar det här oftast

∫ ln IxI dx = ∫ 1*ln IxI dx = x ln x - ∫x * 1/x = x ln x - ∫ 1 dx = x ln x - x + C

Question 17

Variabelbyte

Answer 17

(t) ska vara dominerade faktor / funktion
dt/dx är derivatan till t
Skriva dx i form dt
Måste komma ihåg att byta tillbaka till ursprungsvariabel

Question 18

Polynomdivision

när ska användas?

Answer 18

Om man ska integrera ∫ p(x) / g(x) där p(x) och g(x) är polynom och p(x) har högre gradtal än g(x)

Question 19

Partialbråksuppdelning
när ska användas?
steg till steg
2 typ av koefficienter

Answer 19

Om man ska integrera ∫ p(x) / g(x) där p(x) och g(x) är polynom och g(x) har högre gradtal än p(x)

Först faktorisera g(x)
sedan som exempel (x-2) /(x+4)(x+1) = A/(x+4) + B/(x+1)
sedan förläng med gemensam nämnare och identifiera koefficienter.
(n-a)^n ger A/(x-a) + … + An/(x-a)^n
x^2 + ax + b ger (Ax + B) / (x^2 + ax + b)

Question 20

Eulers former

när ska användas?

Answer 20

cos(kx) = (e^(ikx) + e^(-ikx)) / 2
sin(kx) = (e^(ikx) + e^(-ikx)) / 2i

Dessa formler kan användas för att skriva om produkter av trigfunktioner som summor av trigfunktioner istället.

Question 21

Magiska nollan

Answer 21

kolla antekningen

Question 22

Generaliserad integraler sats

Answer 22

om f är kontinuerlig på (a,b) så existerar ∫ f(x) dx

Question 23

Analysens huvudsats

Answer 23

Anta att f är kontinuerlig på ett intervall I. Bilda funktionen s(x) = ∫ f(t) dt (a to x) för x ∈ I, där a ∈ I är en konstant. Då är s en primitiv funktion til f

Question 24

Beräkna generaliserad integraler

Answer 24

Första beräkna den obestämda primitiv funktion
Beräkna sedan den generaliserad integralen F(x) istället för ∞ skriver jag b och islutet låter jag b -> 0
se anteckningen.