T01 - Divisibilidad y enteros Flashcards
Múltiplo
Un número es múltiplo de otro si es el resultado de multiplicar el segundo por algún número natural.
A·B=C C es múltiplo de A y B.
Divisor
Un número es divisor de otro si se puede dividir el segundo entre el primero de forma exacta.
A entre B da C y de resto 0 (B es divisor de A).
Factor
Un número A es factor de C si al multiplicar A por otro natural B nos da C.
Divisible
Un número A es divisible entre otro B si al hacer la división de A entre B nos da exacto.
Criterios de divisibilidad 2
Un número es divisible entre 2 si es par (acaba en 0, 2, 4, 6 u 8).
Criterios de divisibilidad 3
Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
Criterios de divisibilidad 5
Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 o 5.
Criterios de divisibilidad 11
Un número es divisible entre 11 si:
1) Se suman las cifras que ocupan posiciones pares.
2) Se suman las cifras que ocupan posiciones impares.
3) Restamos los dos números calculados anteriormente.
4) Si obtenemos 0 o un múltiplo de 11.
Número primo
Un número es primo si solo tiene dos divisores, el 1 y él mismo.
Número compuesto
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
Lista de números primos menores que 100
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Descomponer un número en factores primos
1) Se busca un divisor primo del número. Conviene empezar por los números primos más pequeños.
2) Se divide el número entre el divisor primo encontrado.
3) Se repite el proceso hasta que el cociente que obtengamos sea 1.
Expresamos el resultado como producto de potencias.
Número de divisores de un natural
Para calcular el número total de divisores de un número, se suma una unidad a cada uno de los exponentes de su descomposición en factores primos y se multiplican los resultados.
¿Qué es el máximo común divisor?
El máximo común divisor (MCD) de varios números es el mayor de sus divisores comunes.
¿Cómo se calcula el MCD?
El máximo común divisor de varios números es igual al producto de sus factores primos comunes elevados a los menores exponentes.
¿Qué es el mínimo común múltiplo?
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor de sus múltiplos comunes.
¿Cómo se calcula el mcm?
El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de todos sus factores primos comunes y no comunes, elevados a los mayores exponentes.
Dos razones por las que los números enteros son necesarios
1) Existen situaciones en la vida diaria en donde la utilización de los números naturales no es suficiente.
2) Hay operaciones que no se puede hacer con números naturales (1-3 o 3/2)
¿Qué es ℤ?
El conjunto de todos los números enteros se representa con la letra ℤ.
ℤ = {… −4, −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, +4…}
Los números enteros comprenden:
1) Los números enteros positivos: +1, +2, +3, +4…
2) Los números enteros negativos: −1, −2, −3, −4…
3) El cero.
El cero y los positivos, expresados sin signo, corresponden con los naturales.
Valor absoluto de un entero
El valor absoluto de un número entero a,
|a|, representa su distancia al 0 y es igual al número natural que se obtiene al eliminar el signo.
Ejemplo: |+5| = 5
Opuesto de un número entero
El opuesto de un número entero a, op(a), es otro número entero con el mismo valor absoluto y signo contrario.
Ejemplo: -(+4) = -4
Ordenación de números enteros
Un número entero es mayor que otro (a>b) si está situado más a la derecha en la recta numérica.
Casos:
1) Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.
2) El 0 es menor que cualquier número entero positivo y mayor que cualquier número entero negativo.
3) Dados dos números enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
4) Dados dos números enteros negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto.
Suma de números enteros
A) Para sumar números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y se deja el mismo signo.
B) Para sumar números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y se deja el signo del sumando que tenga mayor valor absoluto.
Propiedad conmutativa de la suma de enteros
El orden de los sumandos con varía el resultado de la suma de enteros.
Propiedad asociativa de la suma de enteros
Cuando hay dos o más sumas, el orden en que las resolvemos no cambia el resultado.
Elemento neutro de la suma de enteros
Cualquier entero sumado con el neutro de la suma (cero) no cambia.
Elemento simétrico de la suma de enteros
Cualquier entero sumado con su opuesto nos da el neutro.
Ejemplo: (+8) + (-8) = 0
Resta de números enteros
Para restar dos números enteros se suma al primero (minuendo) el opuesto del segundo (sustraendo).
Multiplicación de números enteros
Para multiplicar dos números enteros, se multiplican sus valores absolutos.
a) Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
b) Si tienen signos opuestos, el resultado es negativo.
Propiedad conmutativa de la multiplicación de enteros
El orden de los factores no varía el resultado de la multiplicación.
Propiedad asociativa de la multiplicación de enteros
Cuando hay dos o más multiplicaciones, el orden en que las resuelvo no cambia el resultado.
Elemento neutro de la multiplicación de enteros
Cualquier entero multiplicado con el neutro del producto (+1) no cambia.
División de números enteros
Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos.
a) Si los dos números tienen el mismo signo, el resultado es positivo.
b) Si tienen signos opuestos, el resultado es negativo.
Jerarquía de operaciones
1) Primero resolvemos las operaciones que hay dentro de paréntesis, corchetes y llaves. Si hay dos paréntesis anidados, resolvemos primero el que es más interior. Si hay dos paréntesis no anidados, podemos resolverlos a la vez.
2) Potencias y raíces.
3) Multiplicaciones y divisiones. En caso de duda, resolvemos de izquierda a derecha.
4) Sumas y restas. En caso de duda, resolvemos de izquierda a derecha.
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma
El producto de un número entero por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada sumando.
Extraer factor común
Extraer factor común consiste en expresar en forma de producto una suma o resta en la que hay un factor que se repite en todos los sumandos.
