Szabalyok

Question 1

Reflexivitás szabálya

Answer 1

Ha x ⊇ y, akkor x → y

Question 2

Augmentivitás szabálya

Answer 2

X→y, akkor xz→yz

Question 3

Tranzitivitás szabálya

Answer 3

X→y, y→z, akkor x→z

Question 4

Dekompozíció szabálya

Answer 4

X→yz, akkor x→y

Question 5

Additivitás szabálya

Answer 5

X→y, x→z, akkor x→yz

Question 6

Pszeudotranzitivitás szabálya

Answer 6

X→y, wy→z, akkor wx→z

Question 7

Armstrong axiómák

Answer 7

A reflexitás, az augmentivitás és a tranzitivitás szabályait együtt Armstrong axiómáknak nevezzük

Question 8

A reflexivitás bizonyítása

Answer 8

Tegyük fel, hogy X ⊇ Y , és hogy léteznek t1 és t2 rekordok R valamely r relációjában úgy, hogy t1[X ] = t2[X ]. Ekkor t1[Y ] = t2[Y ], mivel X ⊇ Y ; ezért X → Y -nak teljesülnie kell r -ben.

Question 9

Az augmentivitás bizonyítása (indirekt módon)

Answer 9

Tegyük fel, hogy X → Y fennáll R egy r relációjában, de
XZ → YZ nem áll fenn. Ekkor léteznie kell t1 és t2 rekordoknak
úgy, hogy
1. t1[X ] = t2[X ],
2. t1[Y ] = t2[Y ],
3. t1[XZ ] = t2[XZ ] és
4. t1[YZ ] /= t2[YZ ].
Ez nem lehetséges, mert (3)-ból kapjuk, hogy
5. t1[Z ] = t2[Z ],
míg (2)-bol és (5)-bol kapjuk, hogy
6. t1[YZ ] = t2[YZ ],
ami ellentmond (4)-nek.

Question 10

A tranzitivitás bizonyítása

Answer 10

Tegyük fel, hogy
1. X → Y és
2. Y → Z
fennáll egy r relációban. Ekkor tetszoleges t1 és t2 r -beli rekordokra, melyekre igaz, hogy t1[X ] = t2[X ], (1) miatt kapjuk, hogy
3. t1[Y ] = t2[Y ];
így (3)-ból és a (2)-es feltevésünkbol azt is kapnunk kell, hogy
4. t1[Z ] = t2[Z ];
ezért X → Z -nek fenn kell állnia r -ben

Question 11

A dekompozíció bizonyítása

Answer 11

1. X → YZ adott.
2. YZ → Y , felhasználva a reflexivitás szabályát, és tudva,
   hogy YZ ⊇ Y .
3. X → Y , alkalmazva a tranzitivitás szabályát (1)-re és (2)-re.

Question 12

Az additivitás bizonyítása

Answer 12

1. X → Y adott.
2. X → Z adott.
3. X → XY , alkalmazva az augmentivitás szabályát (1)-re, azt X -szel bovítve; megjegyezve, hogy XX = X .
4. XY → YZ , alkalmazva az augmentivitás szabályát (2)-re, azt Y -nal bovítve.
5. X → YZ , alkalmazva a tranzitivitás szabályát (3)-ra és (4)-re.

Question 13

A pszeudotranzitivitás bizonyítása

Answer 13

1. X → Y adott.
2. WY → Z adott.
3. WX → WY , alkalmazva az augmentivitás szabályát (1)-re,
   azt W -vel bovítve.
4. WX → Z , alkalmazva a tranzitivitás szabályát (3)-ra és
   (2)-re.