Svi teoremi Flashcards
Definirajte kut između pravca i ravnine.
Kut između pravca p i ravnine π jednak je kutu između pravca p i njegove ortogonalne projekcije p’ na ravninu π.
Što je to pramen ravnina?
Pramen ravnina je skup svih ravnina prostora koje prolaze istim pravcem koji zovemo os pramena.
Što je to monoid?
Monoid je grupoid (G, ○) kod kojeg je binarna operacija ○ asocijativna i postoji neutralni element e€G takav da je:
e ○ a = a ○ e, za svaki a € G
Što je to polugrupa?
Polugrupa je grupoid (G,○) kod koje je binarna operacija ○ asocijativna, tj. vrijedi:
(a○b)○c = a○(b○c) za svaki a,b,c€G
Što je to grupoid?
Grupoid je uređeni par (G, ○) koji se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije ○ definirane na tom skupu.
Što je to snop ravnina?
Snop ravnina je skup svih ravnina prostora koje prolaze istom točkom T0 koju zovemo vrh snopa.
Što je to grupa, a što Abelova (komutativna) grupa?
Grupoid (G, ○) je grupa ako vrijedi:
- binarna operacija ○ je asocijativna
- postoji neutralni element e € G
- Svaki element iz G ima inverzni element:
- a^-1 ○ a = a ○ a^1 = e
- Ukoliko je binarna operacija još i komutativna - a ○ b = b ○ a - Abelova grupa.
Što je to prsten?
Prsten je uređena trojka (S, +, *) koja se sastoji od nepraznog skupa S i dviju binarnih operacija + i * na tom skupu koje zadovoljavaju sljedeća svojstva:
- (S, +) je komutativna grupa
- (S, *) je monoid
- Vrijede svojstva distributivnosti
- a(b+c) = ab + ac, za svaki a,b,c € S
Što je to polje?
Polje je uređena trojka (S, +, *) koja se sastoji od nepraznog skupa S i dviju binarnih operacija +, * na tom skupi koje zadovoljavaju sljedeća svojstva
- (S, +) je komutativna grupa
- (S \ {0}, *) je komutativna grupa
- Vrijede svojstva distributivnosti
- a(b+c) = ab + ac, za svaki a,b,c € S
Što je to tijelo?
Tijelo je uređena trojka (S, +, *) koja se sastoji od nepraznog skupa S i dviju binarnih operacija +, * na tom skupi koje zadovoljavaju sljedeća svojstva
- (S, +) je komutativna grupa
- (S \ {0}, *) je grupa
- Vrijede svojstva distributivnosti
- a(b+c) = ab + ac, za svaki a,b,c € S
Što je vektorski prostor?
Vektorski prostor je urešena četvorka (V, F, +, *) sastavljena od:
- Nepraznog skupa V čije elemente zovemo vektori
- Nepraznog skupa F čije elemente zovemo skalari
- Binarne operacije + : V x V -> V koju zovemo zbrajanje vektora
- Binarne operacije * : F x V -> V koju zovemo množenje vektora
Definirajte skup izvodnica.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i Y je podskup od V. Kažemo da je Y skup izvodnica za prostor V ako je svaki vektor iz V moguće prikazati kao linearnu kombinaciju vektora iz skupa Y.
Ukratko, Y je skup izvodnica za V ako je
…(Y)=V
Kako glasi teorem o egzistenciji baze?
Svaki netrivijalni vektorski prostor ima bazu!
(netrivijalni vektorski prostor - vektorski prostor koji sadrži barem 1 ne-nul vektor)
Kako glasi Steinitz teorem?
Svake dvije baze danog vektorsko prostora V su ekvipotentne, tj. imaju isti kardinalni broj.
Što je to retčana ešalonn forma matrice?
Kažemo da je matrica E € Mmn(F) u retčanoj ešalon formi ako vrijede sljedeći uvjeti:
- Svaki nulredak matrice E, ukoliko postoji nalazi se na dnu matrice
- Pivot svakog nenul retka matrice E mora se nalaziti strogo desno od pivota u retku iznad njega
+ Svaki pivot u nenul retku je jednak 1 i jedini je element različit od nule u tom stupcu u kojeme se nalazi - REDUCIRANA retčana ešalon forma matrice
Definirajte linearni operator.
Neka su U i V vektorski prostori nad istim poljem F. Kažemo da je preslikavanje f: U->V
linearni operator ako ima sljedeća svojstva:
- Aditivnost - f(a+b) = f(a) + f(b), za svaki a,b € U
- Homogenost - f(αa) = αf(a), za svaki α € F i za svaki a € U
Definirajte izomorfizam.
Neka su U i V vektorski prostori nad istim poljem F. Kažemo da je preslikavanje f: U->V
izomorfizam vektorski prostora ako vrijedi:
- f je linearni operator
- f je bijekcija
Definirajte izomorfni vektorski prostor.
Kažemo da je prostor U izomorfan s prostorom V akko postoji barem jedan izomorfizam f: U->V. U tom slučaju pišemo U ~= V
Definirajte sliku i jezgru linearnog operatora.
Neka je f: U -> V linearni operator!
Slika od f je skup Im f = {f(x) | x € U}
Jezgra od f je skup Ker f = { x € U | f(x) = ~V}
Definirajte rang i defekt linearnog operatora.
Neka je f: U -> V linearni operator.
Rang od f je broj r(f) = dim(Im f)
Defekt od f je broj d(f) = dim(Ker f)
Kako glasi TEOREM O RANGU I DEFEKTU!?
Neka su U i V konačnodimenzionalni vektorski prostori nad istim poljem F, a
f: U –> V linearni operator. Tada je suma ranga i defekta od f jednaka dimenziji prostora U, tj. r(f) + d(f) = dim U
Kako glasi HAMILTON-CAYLEY TEOREM!?
Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom, tj. kA(A) = 0
Definirajte svojstvene vrijednosti i svojstveni vektor!
Neka je V vektorski prostor na poljem F, a
f: V–>V linearni operator
- Skalar λ € F zovemo svojstvena vrijednost operatora f ako postoji vektor a € V različit od nulvektora takav da vrijedi f(a) = λa
- Svaki vektor a € V različit od nulvekora koji zadovoljava navedeni uvjet f(a) = λa naziva se svojstveni vektor operatora f pridružen svojstvenoj vrijednosti λ
Što je to spektar linearnog operatora?
Spektar linearnog operatora f je skup svih svojstvenih vrijednosti operatora f
Što je to algebarski zatvoreno polje?
Za polje F kažemo da je algebarski zatvoreno ako svaki polinom p(λ) s koeficijentima iz tok polja ima nultočku u polju F.
Što je to polinom s realnim koeficijentima.
Polinom u jednoj varijabli x s realnim koeficijentima je funkcija f: R–> R oblika
f(x) = anx^n + …. a0
an -> vodeći koeficijent
n -> stupanj polinoma
a0 -> slobodni član
Napišite sigma zapis polinoma
f(x) = suma, gore n dole k=0, akx^k
Što je to normirani polinom?
Normirani polinom je polinom čiji je vodeći koeficijent (an) jednak 1
Što je to nulpolinom!
Nulpolinom je polinom čiji su svij koeficijenti jednaki 0. Stupanj polinoma se ne definira
Kako glasi TEOREM O NULPOLINOMU!?
Polinom f(x) = anx^n + an-1x^n-1 + … + a0
s realnim ili kompleksnim koeficijentima je nulfunkcija akko je f nulpolinom!
Kako glasi teorem o jednakosti polinoma?
Polinomi s realnim ili kompleksnim koeficijentima
f(x) = anx^n + … a0
g(x) = bmx^m + … + b0
su funkcijski jednaki akko vrijedi
n=m i ai = bi za svaki i = 0, 1, …, n
Kako glasi teorem o dijeljenju polinoma?
Neka je F polje. Za svaka dva polinoma f, g € F[x] , g!=0, postoje jedinstveni polinomi q, r € F[x] takvi da je
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
pri čemu je deg r < deg g
Kako glasi DESCARTESOV TEOREM!?
Neka je F polje. a € F je nultočka polinoma f €F[x] akko je f djeljiv s polinomom x - a
Definirajte najveću zajedničku mjeru polinoma.
Najveća zajednička mjera polinoma f i g je normirani polinom najvećeg stupnja koji dijeli polinome f i g.
Ona se označava kao M(f, g)
Kako glasi osnovni teorem algebre?
Svaki polinom P € C[x] stupnja >= 1 ima barem jednu nultočku u polju C, tj. C je algebarski zatvoreno polje.
Definirajte funkciju s n varijabli.
Neka su x1, x2, …, xn, xn+1 neprazni skupovi. Svako preslikavanje f : x1 x x2 x … x xn –> xn+1 zovemo funkcijom n varijabli i označavamo relacijom xn+1 = f(x1, x2, …, xn)
Definirajte nivo-linije.
Nivo-linija funkcije z = f(x, y) za vrijednost z = z0 je skup svih točaka (x, y) € R^2 za koje je f(x, y) = z0
Definirajte nivo-plohe.
Nivo-ploha funkcije u = f(x, y, z) za vrijednost u = u0 je skup svi točaka (x, y, z) € R^2 za koje je f(x, y, z) = u0
Što je to kompaktan skup u ravnini.
Kompaktan skup u ravnin je omeđen i zatvoren skup u R^3
Kako glasi teorem - nužan uvjet za postojanje ekstrema
Ako funckija z = f(x,y) im lokalni ekstrem u točki (x0, y0) i ako postoje parcijalne derivacije fx i fy u toj točki, tada su one jednake 0, tj.
▽f(x0, y0) = (0,0)
