Svi teoremi

Question 1

Definirajte kut između pravca i ravnine.

Answer 1

Kut između pravca p i ravnine π jednak je kutu između pravca p i njegove ortogonalne projekcije p’ na ravninu π.

Question 2

Što je to pramen ravnina?

Answer 2

Pramen ravnina je skup svih ravnina prostora koje prolaze istim pravcem koji zovemo os pramena.

Question 3

Što je to monoid?

Answer 3

Monoid je grupoid (G, ○) kod kojeg je binarna operacija ○ asocijativna i postoji neutralni element e€G takav da je:
e ○ a = a ○ e, za svaki a € G

Question 3

Što je to polugrupa?

Answer 3

Polugrupa je grupoid (G,○) kod koje je binarna operacija ○ asocijativna, tj. vrijedi:
(a○b)○c = a○(b○c) za svaki a,b,c€G

Question 4

Što je to grupoid?

Answer 4

Grupoid je uređeni par (G, ○) koji se sastoji od nepraznog skupa G i binarne operacije ○ definirane na tom skupu.

Question 4

Što je to snop ravnina?

Answer 4

Snop ravnina je skup svih ravnina prostora koje prolaze istom točkom T0 koju zovemo vrh snopa.

Question 5

Što je to grupa, a što Abelova (komutativna) grupa?

Answer 5

Grupoid (G, ○) je grupa ako vrijedi:
- binarna operacija ○ je asocijativna
- postoji neutralni element e € G
- Svaki element iz G ima inverzni element:
- a^-1 ○ a = a ○ a^1 = e
- Ukoliko je binarna operacija još i komutativna - a ○ b = b ○ a - Abelova grupa.

Question 6

Što je to prsten?

Answer 6

Prsten je uređena trojka (S, +, *) koja se sastoji od nepraznog skupa S i dviju binarnih operacija + i * na tom skupu koje zadovoljavaju sljedeća svojstva:
- (S, +) je komutativna grupa
- (S, *) je monoid
- Vrijede svojstva distributivnosti
- a(b+c) = ab + ac, za svaki a,b,c € S

Question 7

Što je to polje?

Answer 7

Polje je uređena trojka (S, +, *) koja se sastoji od nepraznog skupa S i dviju binarnih operacija +, * na tom skupi koje zadovoljavaju sljedeća svojstva
- (S, +) je komutativna grupa
- (S \ {0}, *) je komutativna grupa
- Vrijede svojstva distributivnosti
- a(b+c) = ab + ac, za svaki a,b,c € S

Question 8

Što je to tijelo?

Answer 8

Tijelo je uređena trojka (S, +, *) koja se sastoji od nepraznog skupa S i dviju binarnih operacija +, * na tom skupi koje zadovoljavaju sljedeća svojstva
- (S, +) je komutativna grupa
- (S \ {0}, *) je grupa
- Vrijede svojstva distributivnosti
- a(b+c) = ab + ac, za svaki a,b,c € S

Question 9

Što je vektorski prostor?

Answer 9

Vektorski prostor je urešena četvorka (V, F, +, *) sastavljena od:
- Nepraznog skupa V čije elemente zovemo vektori
- Nepraznog skupa F čije elemente zovemo skalari
- Binarne operacije + : V x V -> V koju zovemo zbrajanje vektora
- Binarne operacije * : F x V -> V koju zovemo množenje vektora

Question 10

Definirajte skup izvodnica.

Answer 10

Neka je V vektorski prostor nad poljem F i Y je podskup od V. Kažemo da je Y skup izvodnica za prostor V ako je svaki vektor iz V moguće prikazati kao linearnu kombinaciju vektora iz skupa Y.
Ukratko, Y je skup izvodnica za V ako je
…(Y)=V

Question 11

Kako glasi teorem o egzistenciji baze?

Answer 11

Svaki netrivijalni vektorski prostor ima bazu!
(netrivijalni vektorski prostor - vektorski prostor koji sadrži barem 1 ne-nul vektor)

Question 12

Kako glasi Steinitz teorem?

Answer 12

Svake dvije baze danog vektorsko prostora V su ekvipotentne, tj. imaju isti kardinalni broj.

Question 13

Što je to retčana ešalonn forma matrice?

Answer 13

Kažemo da je matrica E € Mmn(F) u retčanoj ešalon formi ako vrijede sljedeći uvjeti:
- Svaki nulredak matrice E, ukoliko postoji nalazi se na dnu matrice
- Pivot svakog nenul retka matrice E mora se nalaziti strogo desno od pivota u retku iznad njega
+ Svaki pivot u nenul retku je jednak 1 i jedini je element različit od nule u tom stupcu u kojeme se nalazi - REDUCIRANA retčana ešalon forma matrice

Question 14

Definirajte linearni operator.

Answer 14

Neka su U i V vektorski prostori nad istim poljem F. Kažemo da je preslikavanje f: U->V
linearni operator ako ima sljedeća svojstva:
- Aditivnost - f(a+b) = f(a) + f(b), za svaki a,b € U
- Homogenost - f(αa) = αf(a), za svaki α € F i za svaki a € U

Question 15

Definirajte izomorfizam.

Answer 15

Neka su U i V vektorski prostori nad istim poljem F. Kažemo da je preslikavanje f: U->V
izomorfizam vektorski prostora ako vrijedi:
- f je linearni operator
- f je bijekcija

Question 16

Definirajte izomorfni vektorski prostor.

Answer 16

Kažemo da je prostor U izomorfan s prostorom V akko postoji barem jedan izomorfizam f: U->V. U tom slučaju pišemo U ~= V

Question 17

Definirajte sliku i jezgru linearnog operatora.

Answer 17

Neka je f: U -> V linearni operator!
Slika od f je skup Im f = {f(x) | x € U}
Jezgra od f je skup Ker f = { x € U | f(x) = ~V}

Question 18

Definirajte rang i defekt linearnog operatora.

Answer 18

Neka je f: U -> V linearni operator.
Rang od f je broj r(f) = dim(Im f)
Defekt od f je broj d(f) = dim(Ker f)

Question 19

Kako glasi TEOREM O RANGU I DEFEKTU!?

Answer 19

Neka su U i V konačnodimenzionalni vektorski prostori nad istim poljem F, a
f: U –> V linearni operator. Tada je suma ranga i defekta od f jednaka dimenziji prostora U, tj. r(f) + d(f) = dim U

Question 20

Kako glasi HAMILTON-CAYLEY TEOREM!?

Answer 20

Svaka kvadratna matrica poništava svoj karakteristični polinom, tj. kA(A) = 0

Question 21

Definirajte svojstvene vrijednosti i svojstveni vektor!

Answer 21

Neka je V vektorski prostor na poljem F, a
f: V–>V linearni operator
- Skalar λ € F zovemo svojstvena vrijednost operatora f ako postoji vektor a € V različit od nulvektora takav da vrijedi f(a) = λa
- Svaki vektor a € V različit od nulvekora koji zadovoljava navedeni uvjet f(a) = λa naziva se svojstveni vektor operatora f pridružen svojstvenoj vrijednosti λ

Question 22

Što je to spektar linearnog operatora?

Answer 22

Spektar linearnog operatora f je skup svih svojstvenih vrijednosti operatora f

Question 23

Što je to algebarski zatvoreno polje?

Answer 23

Za polje F kažemo da je algebarski zatvoreno ako svaki polinom p(λ) s koeficijentima iz tok polja ima nultočku u polju F.

Question 24

Što je to polinom s realnim koeficijentima.

Answer 24

Polinom u jednoj varijabli x s realnim koeficijentima je funkcija f: R–> R oblika
f(x) = anx^n + …. a0
an -> vodeći koeficijent
n -> stupanj polinoma
a0 -> slobodni član

Question 25

Napišite sigma zapis polinoma

Answer 25

f(x) = suma, gore n dole k=0, akx^k

Question 26

Što je to normirani polinom?

Answer 26

Normirani polinom je polinom čiji je vodeći koeficijent (an) jednak 1

Question 27

Što je to nulpolinom!

Answer 27

Nulpolinom je polinom čiji su svij koeficijenti jednaki 0. Stupanj polinoma se ne definira

Question 28

Kako glasi TEOREM O NULPOLINOMU!?

Answer 28

Polinom f(x) = anx^n + an-1x^n-1 + … + a0
s realnim ili kompleksnim koeficijentima je nulfunkcija akko je f nulpolinom!

Question 29

Kako glasi teorem o jednakosti polinoma?

Answer 29

Polinomi s realnim ili kompleksnim koeficijentima
f(x) = anx^n + … a0
g(x) = bmx^m + … + b0
su funkcijski jednaki akko vrijedi
n=m i ai = bi za svaki i = 0, 1, …, n

Question 30

Kako glasi teorem o dijeljenju polinoma?

Answer 30

Neka je F polje. Za svaka dva polinoma f, g € F[x] , g!=0, postoje jedinstveni polinomi q, r € F[x] takvi da je
f(x) = g(x)q(x) + r(x)
pri čemu je deg r < deg g

Question 31

Kako glasi DESCARTESOV TEOREM!?

Answer 31

Neka je F polje. a € F je nultočka polinoma f €F[x] akko je f djeljiv s polinomom x - a

Question 32

Definirajte najveću zajedničku mjeru polinoma.

Answer 32

Najveća zajednička mjera polinoma f i g je normirani polinom najvećeg stupnja koji dijeli polinome f i g.
Ona se označava kao M(f, g)

Question 33

Kako glasi osnovni teorem algebre?

Answer 33

Svaki polinom P € C[x] stupnja >= 1 ima barem jednu nultočku u polju C, tj. C je algebarski zatvoreno polje.

Question 34

Definirajte funkciju s n varijabli.

Answer 34

Neka su x1, x2, …, xn, xn+1 neprazni skupovi. Svako preslikavanje f : x1 x x2 x … x xn –> xn+1 zovemo funkcijom n varijabli i označavamo relacijom xn+1 = f(x1, x2, …, xn)

Question 35

Definirajte nivo-linije.

Answer 35

Nivo-linija funkcije z = f(x, y) za vrijednost z = z0 je skup svih točaka (x, y) € R^2 za koje je f(x, y) = z0

Question 36

Definirajte nivo-plohe.

Answer 36

Nivo-ploha funkcije u = f(x, y, z) za vrijednost u = u0 je skup svi točaka (x, y, z) € R^2 za koje je f(x, y, z) = u0

Question 37

Što je to kompaktan skup u ravnini.

Answer 37

Kompaktan skup u ravnin je omeđen i zatvoren skup u R^3

Question 38

Kako glasi teorem - nužan uvjet za postojanje ekstrema

Answer 38

Ako funckija z = f(x,y) im lokalni ekstrem u točki (x0, y0) i ako postoje parcijalne derivacije fx i fy u toj točki, tada su one jednake 0, tj.
▽f(x0, y0) = (0,0)