Suite dans espace vecto normé de dimension finie Flashcards
(Un) bornée sess
∃ M>=0/ ∀ n ∈ N, ║Un║<= M
(Un) cvg vers a sess
∀E>0, ∃ Ne ∈ N/ ∀ n ∈ N, n >= Ne implique ║Un - a║=< E
Une suite extraite est une suite (Un) où f
f est une injection ST croissante de N ds N
soit (Un) ∈ E, (Un) si cvg alors
alors (Un) est bornée
si (Un) cvg vers a alors
toute suite extraite cvg vers a aussi
si 2 suites extraites cvg vers 2 limites diff
(Un) dvg
U2n et U2n+1 cvg vers même limite a
(Un) cvg vers a
notion de cvgence ne dépend pas de la norme
notion de cvgence ne dépend pas de la norme
N((Un) - a) tend vers 0 ⇔ N’((Un) - a) tend vers 0
soit (An)= somme des Aj,n*Ej allant de j=1 à p ; (An) cvg vers a ⇔
les p suites de coordonnées (Aj,n) cvg vers Aj
N et N’ 2 normes, et E eV normé de dim finie : ∃ K>0/
∃ K>0/ ∀ x ∈ E, N’(x) =< K N(x)
soit An tend vers 0 et Bn bornée : An*Bn
An*Bn tend vers 0
soit (An) suite croissante, (An) cvg ⇔
⇔ (An) majorée, et cvg vers a=supAk
soit Cn une suite positive/pour tout n>=n0, ║An║=< Cn : Cn cvg vers 0 implique
An tend vers 0
soit (Un)>0/ (Un+1)/(Un) tend vers λ :
Critère de d’Alembert
λ < 1 : (Un) cvg vers 0
λ > 1 : (Un) cvg vers + inf
λ = 1 : ON NE PEUT RIEN DIRE
U est un ouvert ⇔
pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U
une réunion quelconque d’ouverts est
une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert.
une intersection finie d’ouverts est
une intersection finie d’ouverts est un ouvert.
On dit qu’une partie F de E est un fermé de E si
son complémentaire est un ouvert de E
Pour toute suite d’élément (An) qui cvg vers a, a∈F
Une réunion finie de fermés est
Une réunion finie de fermés est un fermé
Une intersection quelconque de fermés est
Une intersection quelconque de fermés est un fermé.
Soient (E,‖⋅‖), (F,‖⋅‖)
deux espaces vectoriels normés, et soit u∈(E,F)
une application linéaire. Alors u
est continue si et seulement si
il existe C>0 tel que, pour tout x∈E :
‖u(x)‖≤C‖x‖.
On suppose que I est un intervalle stable (f(I)⊂I) et Uo ∈ I, alors le sens de variation de Un dépend
Alors le sens de variation de Un dépend du signe de ka fonction f(x) = g(x) - x
f croissante sur I, stable par f, Uo∈I, alors
(Un) est monotone
Une fonction f:I→R est dite k contractante sur I si :
si f est k-lipschitzienne avec k < 1
Si f est k-contractante sur I, alors
elle admet au plus un point fixe sur I
On suppose que f est k-contractante sur I, avec I stable par f, et que α est un (donc le) point fixe de f sur I, alors :
Si Uo∈I, alors Un converge vers α et |Un - α| =< k^n |Uo - α|
