Suite dans espace vecto normé de dimension finie

Question 1

(Un) bornée sess

Answer 1

∃ M>=0/ ∀ n ∈ N, ║Un║<= M

Question 2

(Un) cvg vers a sess

Answer 2

∀E>0, ∃ Ne ∈ N/ ∀ n ∈ N, n >= Ne implique ║Un - a║=< E

Question 3

Une suite extraite est une suite (Un) où f

Answer 3

f est une injection ST croissante de N ds N

Question 4

soit (Un) ∈ E, (Un) si cvg alors

Answer 4

alors (Un) est bornée

Question 5

si (Un) cvg vers a alors

Answer 5

toute suite extraite cvg vers a aussi

Question 6

si 2 suites extraites cvg vers 2 limites diff

Answer 6

(Un) dvg

Question 7

U2n et U2n+1 cvg vers même limite a

Answer 7

(Un) cvg vers a

Question 8

notion de cvgence ne dépend pas de la norme

Answer 8

notion de cvgence ne dépend pas de la norme

N((Un) - a) tend vers 0 ⇔ N’((Un) - a) tend vers 0

Question 9

soit (An)= somme des Aj,n*Ej allant de j=1 à p ; (An) cvg vers a ⇔

Answer 9

les p suites de coordonnées (Aj,n) cvg vers Aj

Question 10

N et N’ 2 normes, et E eV normé de dim finie : ∃ K>0/

Answer 10

∃ K>0/ ∀ x ∈ E, N’(x) =< K N(x)

Question 11

soit An tend vers 0 et Bn bornée : An*Bn

Answer 11

An*Bn tend vers 0

Question 12

soit (An) suite croissante, (An) cvg ⇔

Answer 12

⇔ (An) majorée, et cvg vers a=supAk

Question 13

soit Cn une suite positive/pour tout n>=n0, ║An║=< Cn : Cn cvg vers 0 implique

Answer 13

An tend vers 0

Question 14

soit (Un)>0/ (Un+1)/(Un) tend vers λ :

Critère de d’Alembert

Answer 14

λ < 1 : (Un) cvg vers 0
λ > 1 : (Un) cvg vers + inf
λ = 1 : ON NE PEUT RIEN DIRE

Question 15

U est un ouvert ⇔

Answer 15

pour tout x∈U, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂U

Question 16

une réunion quelconque d’ouverts est

Answer 16

une réunion quelconque d’ouverts est un ouvert.

Question 17

une intersection finie d’ouverts est

Answer 17

une intersection finie d’ouverts est un ouvert.

Question 18

On dit qu’une partie F de E est un fermé de E si

Answer 18

son complémentaire est un ouvert de E

Pour toute suite d’élément (An) qui cvg vers a, a∈F

Question 19

Une réunion finie de fermés est

Answer 19

Une réunion finie de fermés est un fermé

Question 20

Une intersection quelconque de fermés est

Answer 20

Une intersection quelconque de fermés est un fermé.

Question 21

Soient (E,‖⋅‖), (F,‖⋅‖)
deux espaces vectoriels normés, et soit u∈(E,F)
une application linéaire. Alors u
est continue si et seulement si

Answer 21

il existe C>0 tel que, pour tout x∈E :

‖u(x)‖≤C‖x‖.

Question 22

On suppose que I est un intervalle stable (f(I)⊂I) et Uo ∈ I, alors le sens de variation de Un dépend

Answer 22

Alors le sens de variation de Un dépend du signe de ka fonction f(x) = g(x) - x

Question 23

f croissante sur I, stable par f, Uo∈I, alors

Answer 23

(Un) est monotone

Question 24

Une fonction f:I→R est dite k contractante sur I si :

Answer 24

si f est k-lipschitzienne avec k < 1

Question 25

Si f est k-contractante sur I, alors

Answer 25

elle admet au plus un point fixe sur I

Question 26

On suppose que f est k-contractante sur I, avec I stable par f, et que α est un (donc le) point fixe de f sur I, alors :

Answer 26

Si Uo∈I, alors Un converge vers α et |Un - α| =< k^n |Uo - α|