Structures Algébriques Usuelles

Question 1

Loi de composition interne

Answer 1

Application * : ExE –> E, (x,y) –> x*y

Question 2

Associativité

Answer 2

(a×b)×c=a×(b×c)

Question 3

Commutativité

Answer 3

a×b=b×a

Question 4

loi * distributive par rapport à la loi +

Answer 4

[a×(b+c) = (a×b)+(a×c)] ET [(a+b)×c = (a×c)+(b×c)]

Question 5

Prop (def + prop + démonstration) de l’élément neutre

Answer 5

x×e=e×x=x
e est unique. En effet : e×e’=e’ et e×e’=e donc e=e’

Question 6

x est inversible si

Answer 6

il existe y dans E tq x×y=y×x=e
si loi notée additivement, y=-x
si loi notée multiplicativement, y=x^(-1)

Question 7

si x et y inversibles, donner 2 propriétés

Answer 7

x^(-1) inversible tq (x^(-1))^(-1)=x
(x×y) inversible tq (x×y)^(-1)=(y^(-1))×(x^(-1))

Question 8

E stable par * si

Answer 8

∀(x,y)∈E^2, x*y∈E

Question 9

Définition d’un groupe (G,*)

Answer 9

Un groupe (G,*) est un ensemble G muni d’une loi de composition INTERNE et ASSOCIATIVE et telle que :
- * possède un element neutre
- tout element de G admet un inverse dans G

Question 10

Definition du groupe produit depuis (G1,×1) et (G2,×2)

Answer 10

On définit × sur G=G1xG2 tel que :
∀(x1,x2),(y1,y2)∈G1xG2 :
(x1,x2)×(y1,y2)=(x1×1y1,x2×2y2)
Alors (G,×) groupe d’élément neutre (e1,e2) et :(x1,x2)^(-1)=(x1^(-1),x2^(-1))

Question 11

Soit (G,*) groupe et H partie de G. H sous-groupe de G si

Answer 11

• e∈H
• H stable par *
• H stable par inverse (qui existe)

Question 12

Caractérisation du sous-groupe

Answer 12

H sous groupe si et seulement si :
- H non vide
- ∀(x,y)∈H^2, x*(y^(-1))∈H

Question 13

Sous groupes de Z ?

Answer 13

nZ où n∈N

Question 14

Soit une famille de sous-groupes de G

Answer 14

Son intersection est un sous groupe de G

Question 15

Définition d’un anneau (A,+,*)

Answer 15

Un anneau est un ensemble muni de deux lois internes, associatives, en général notées + et × telles que :
- (A,+) est un groupe commutatif
- × possède un élément neutre
- × distributive par rapport à +
On notera souvent le neutre du + 0A et celui du × 1A. Ils seront supposés distincts. L’anneau est dit commutatif (ou abélien) si × est commutative.

Question 16

Propriétés d’un anneau (A,+,*)

Answer 16

∀a∈A, 0A×a=0A
∀(a,b)∈A^2, a×(-b)=(-a)×b=-(a×b)
∀n∈Z A FAIRE

Question 17

Formule du binôme pour a,b∈A. Donner une condition sur a et b, n∈N.

Answer 17

a et b commutent ie a×b=b×a
(a+b)^n = somme de k=0 à n de (k parmi n).(a^(n-k)×b^k)

Question 18

a^n-b^n avec a,b∈A ? Donner une condition sur a et b, n∈N.

Answer 18

a et b commutent ie a×b=b×a
a^n-b^n=(a-b)×somme de k=0 à n_1 de (a^((n-1)-k)×b^k)

Question 19

Définition du groupe des inversibles d’un anneau.

Answer 19

Soit (A,+,×) un anneau. l’ensemble des éléments inversibles de A (pour la loi ×) est un groupe pour la multiplication. Ce groupe multiplicatif est souvent noté A*

Question 20

Soit (A,+,*) anneau, a∈A. Définition d’un diviseur de 0 ?

Answer 20

a diviseur de 0 si il existe b∈A, b=!0A tel que :
a×b=0A ou b×a=0A

Question 21

Définition d’un anneau intègre

Answer 21

Un anneau (A,+,×) est intègre si il est commutatif et si il n’admet pas de diviseurs de 0, ie :
∀(a,b)∈A^2, a×b=0A => [a=0A ou b=0A]

Question 22

Soit (A,+,*) un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de A lorsque :

Answer 22

• B est un sous-groupe de (A,+)
• 1A∈B
• ∀(b1,b1)∈B^2, b1×b2∈B
  Si tel est le cas, (B,+,×) est un anneau

Question 23

Définition d’un corps

Answer 23

Un corps est un anneau tel que tout élément non nul est inversible pour *.

Question 24

Définition d’un corps commutatif

Answer 24

Un corps commutatif est un anneau commutatif non réduit à {0} tel que tout élément non nul est inversible.

Question 25

Propriété d’un corps (commutatif)?

Answer 25

Un corps est intègre (Un anneau (A,+,×) est intègre si il est commutatif et si il n’admet pas de diviseurs de 0, ie :
∀(a,b)∈A^2, a×b=0A => [a=0A ou b=0A])

Question 26

Soit (L,+,*) un corps, et K partie de L. On dit que K est un sous-corps de L lorsque :

Answer 26

• K est un sous-anneau de L
• ∀x∈K∖{0}, x^(-1)∈K
  Si tel est le cas, (K,+,×) est un corps.

Question 27

Définition d’un morphisme de groupes

Answer 27

Un morphisme de groupes est une application f : G --> G' entre deux groupes (G,*) et (G',*') vérifiant : ∀(x,y)∈G^2, f(x*y)=f(x)*'f(y)

Question 28

Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme ?

Answer 28

Isomorphisme si le morphisme est bèijectif
Endomorphisme si G=G’
Automorphisme si (endo et iso)morphisme

Question 29

Soit f un morphisme de groupes f : G –> G’. On appelle noyau de f l’ensemble noté ker f défini par :

Answer 29

ker f ={x∈G / f(x)=e(G’)} ou ker f=f^(-1)({e(G’)})

Question 30

propriétés d’un morphisme de groupes de (G1,×1) dans (G2,×2)

Answer 30

f(e1)=e2
∀x∈G1, f(x^(-1))=(f(x))^(-1)
∀x∈G1, ∀n∈Z, f(x^n)=f(x)^n

Question 31

Propriété du transport de structures, exemples remarquables, caractérisation de l’injectivité par le noyau.

Answer 31

Soit f un morphisme de (G1,×1) dans (G2,×2). Alors :
-L’image réciproque d’un sous-groupe de G2 est un sous-groupe de G1
-L’image directe d’un sous-groupe de G1 est un sous-groupe de G2
Corollaire : ker f est un sous-groupe de G
Im f est un sous-groupe de G’
Caractérisation de l’injectivité par le noyau :
f est injectif <=> ker f = {e1}

Question 32

Propriété des compositions de morphisme de groupes

Answer 32

• La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes
• La bijection réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes

Question 33

Définition d’un morphisme d’anneaux

Answer 33

On appelle morphisme d’anneaux toute application 𝜑 : A→B entre deux anneaux (A,+a,×) et (B,+b,⋆) vérifiant :
- ∀(x,y)∈A^2, 𝜑(x+ay)=𝜑(x)+b𝜑(y)
- ∀(x,y)∈A^2, 𝜑(x×y)=𝜑(x)⋆𝜑(y)
- 𝜑(1a)=1b, avec 1a et 1b les éléments neutres des anneaux respectifs A et B