Structures Algébriques Usuelles Flashcards
Loi de composition interne
Application * : ExE –> E, (x,y) –> x*y
Associativité
(a×b)×c=a×(b×c)
Commutativité
a×b=b×a
loi * distributive par rapport à la loi +
[a×(b+c) = (a×b)+(a×c)] ET [(a+b)×c = (a×c)+(b×c)]
Prop (def + prop + démonstration) de l’élément neutre
x×e=e×x=x
e est unique. En effet : e×e’=e’ et e×e’=e donc e=e’
x est inversible si
il existe y dans E tq x×y=y×x=e
si loi notée additivement, y=-x
si loi notée multiplicativement, y=x^(-1)
si x et y inversibles, donner 2 propriétés
x^(-1) inversible tq (x^(-1))^(-1)=x
(x×y) inversible tq (x×y)^(-1)=(y^(-1))×(x^(-1))
E stable par * si
∀(x,y)∈E^2, x*y∈E
Définition d’un groupe (G,*)
Un groupe (G,*) est un ensemble G muni d’une loi de composition INTERNE et ASSOCIATIVE et telle que :
- * possède un element neutre
- tout element de G admet un inverse dans G
Definition du groupe produit depuis (G1,×1) et (G2,×2)
On définit × sur G=G1xG2 tel que :
∀(x1,x2),(y1,y2)∈G1xG2 :
(x1,x2)×(y1,y2)=(x1×1y1,x2×2y2)
Alors (G,×) groupe d’élément neutre (e1,e2) et :(x1,x2)^(-1)=(x1^(-1),x2^(-1))
Soit (G,*) groupe et H partie de G. H sous-groupe de G si
- e∈H
- H stable par *
- H stable par inverse (qui existe)
Caractérisation du sous-groupe
H sous groupe si et seulement si :
- H non vide
- ∀(x,y)∈H^2, x*(y^(-1))∈H
Sous groupes de Z ?
nZ où n∈N
Soit une famille de sous-groupes de G
Son intersection est un sous groupe de G
Définition d’un anneau (A,+,*)
Un anneau est un ensemble muni de deux lois internes, associatives, en général notées + et × telles que :
- (A,+) est un groupe commutatif
- × possède un élément neutre
- × distributive par rapport à +
On notera souvent le neutre du + 0A et celui du × 1A. Ils seront supposés distincts. L’anneau est dit commutatif (ou abélien) si × est commutative.
Propriétés d’un anneau (A,+,*)
∀a∈A, 0A×a=0A
∀(a,b)∈A^2, a×(-b)=(-a)×b=-(a×b)
∀n∈Z A FAIRE
Formule du binôme pour a,b∈A. Donner une condition sur a et b, n∈N.
a et b commutent ie a×b=b×a
(a+b)^n = somme de k=0 à n de (k parmi n).(a^(n-k)×b^k)
a^n-b^n avec a,b∈A ? Donner une condition sur a et b, n∈N.
a et b commutent ie a×b=b×a
a^n-b^n=(a-b)×somme de k=0 à n_1 de (a^((n-1)-k)×b^k)
Définition du groupe des inversibles d’un anneau.
Soit (A,+,×) un anneau. l’ensemble des éléments inversibles de A (pour la loi ×) est un groupe pour la multiplication. Ce groupe multiplicatif est souvent noté A*
Soit (A,+,*) anneau, a∈A. Définition d’un diviseur de 0 ?
a diviseur de 0 si il existe b∈A, b=!0A tel que :
a×b=0A ou b×a=0A
Définition d’un anneau intègre
Un anneau (A,+,×) est intègre si il est commutatif et si il n’admet pas de diviseurs de 0, ie :
∀(a,b)∈A^2, a×b=0A => [a=0A ou b=0A]
Soit (A,+,*) un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de A lorsque :
- B est un sous-groupe de (A,+)
- 1A∈B
- ∀(b1,b1)∈B^2, b1×b2∈B
Si tel est le cas, (B,+,×) est un anneau
Définition d’un corps
Un corps est un anneau tel que tout élément non nul est inversible pour *.
Définition d’un corps commutatif
Un corps commutatif est un anneau commutatif non réduit à {0} tel que tout élément non nul est inversible.
Propriété d’un corps (commutatif)?
Un corps est intègre (Un anneau (A,+,×) est intègre si il est commutatif et si il n’admet pas de diviseurs de 0, ie :
∀(a,b)∈A^2, a×b=0A => [a=0A ou b=0A])
Soit (L,+,*) un corps, et K partie de L. On dit que K est un sous-corps de L lorsque :
- K est un sous-anneau de L
- ∀x∈K∖{0}, x^(-1)∈K
Si tel est le cas, (K,+,×) est un corps.
Définition d’un morphisme de groupes
Un morphisme de groupes est une application f : G --> G' entre deux groupes (G,*) et (G',*') vérifiant :
∀(x,y)∈G^2, f(x*y)=f(x)*'f(y)
Isomorphisme, endomorphisme, automorphisme ?
Isomorphisme si le morphisme est bèijectif
Endomorphisme si G=G’
Automorphisme si (endo et iso)morphisme
Soit f un morphisme de groupes f : G –> G’. On appelle noyau de f l’ensemble noté ker f défini par :
ker f ={x∈G / f(x)=e(G’)} ou ker f=f^(-1)({e(G’)})
propriétés d’un morphisme de groupes de (G1,×1) dans (G2,×2)
f(e1)=e2
∀x∈G1, f(x^(-1))=(f(x))^(-1)
∀x∈G1, ∀n∈Z, f(x^n)=f(x)^n
Propriété du transport de structures, exemples remarquables, caractérisation de l’injectivité par le noyau.
Soit f un morphisme de (G1,×1) dans (G2,×2). Alors :
-L’image réciproque d’un sous-groupe de G2 est un sous-groupe de G1
-L’image directe d’un sous-groupe de G1 est un sous-groupe de G2
Corollaire : ker f est un sous-groupe de G
Im f est un sous-groupe de G’
Caractérisation de l’injectivité par le noyau :
f est injectif <=> ker f = {e1}
Propriété des compositions de morphisme de groupes
- La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes
- La bijection réciproque d’un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes
Définition d’un morphisme d’anneaux
On appelle morphisme d’anneaux toute application 𝜑 : A→B entre deux anneaux (A,+a,×) et (B,+b,⋆) vérifiant :
- ∀(x,y)∈A^2, 𝜑(x+ay)=𝜑(x)+b𝜑(y)
- ∀(x,y)∈A^2, 𝜑(x×y)=𝜑(x)⋆𝜑(y)
- 𝜑(1a)=1b, avec 1a et 1b les éléments neutres des anneaux respectifs A et B
