Statistik, PF-Verwaltung Flashcards
Varianz (Zeichen, Bedeutung)
- δ^2
- Mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert
- für sich genommen kaum aussagekräftig; Ausgangsbasis für Standardabweichung Sigma
Standardabweichung (Zeichen, Bedeutung)
- δ
- Berechnung durch Wurzelziehung der Varianz
- aussagekräftig, da in derselben Einheit angegeben wie Beobachtungswert (Maß für absolute Streuung)
- Konfidenzintervalle:
1δ = 68%
2δ = 95%
3δ = 98%
Regressionsanalyse
Ziel = Beschreibung des Zusammenhangs durch eine Form (Ausgleichsgerade, Parabel…)
- Ausgleichsgerade, Steigungskoeffizient
Variationskoeffizient
- Maß für relative Streuung
- δ / X̅ x 100
- VC = gedankliches Gerüst für Vola
Nenne 3 Wege, um Verteilungen darzustellen!
- Wahrscheinlichkeitsfunktion (“1/6”)
- Verteilungsfunktion (kumulierte Wahrscheinlichkeit, “3 oder weniger”)
- Histogramm
Lagemaße
Mittelwert (arithmetisch, geometrisch)
Median
Alpha-Quantil (Schwellenwert)
Modus (häufigster Wert)
Geometrisches Mittel - Formel
nte Wurzel aus (x1 mal x2 mal …xn)
Geometrisches Mittel - Tips
A: kommen einige Werte häufiger vor, so werden diese mit der Anzahl ihrer Häufigkeit potenziert
A: wenn der Anfang und der Endwert bekannt sind: Shortcut = 1. Endwert / Anfangswert; 2. Vom Ergebnis die n-te Wurzel ziehen
Korrelationsanalyse
Ziel = Ermittlung der Stärke des Zusammenhangs
Kovarianz (Zeichen, Bedeutung)
- δXY (oder: Cov (xy))
- trifft nur Aussage darüber, ob ein ZSH zwischen zwei Variablen besteht, und wenn ja, ob dieser pos oder neg ist (d.h. Richtung des ZSH)
- = durchschnittliches Produkt der Abweichungen vom Mittelwert beider Realisationen
- Wichtig für Errechnung des Korrelationskoeffizienten
Korrelationskoeffizient (Zeichen, Bedeutung)
- ρXY (“Roh”)
- gibt (anders als Kovarianz) auch Aufschluss über die Stärke des ZSH
- liegt immer zwischen -1 und +1
Korrelationskoeffizient (Formel)
Kovarianz geteilt durch die miteinander multiplizierten Standardabweichungen der Variablen x und y
–> für die Errechnung der Nenner ist jeweils zuerst Varianz und sodann Sigma zu errechnen
Kovarianz (Berechnung)
δXY =…
(i) Differenz ermitteln zwischen der jeweiligen Beobachtung (z.B. xi) und dem jeweiligen arithmetischen Mittel (z.B. X̅)
(ii) Bei der anderen Variablen (z.B. y) wird entsprechend verfahren
(iii) Dann „päckchenweise” die Differenzbeträge multiplizieren
(iv) Die so ermittelten päckchenweisen Produkte addieren und dividieren durch die Anzahl der Beobachtungen (n)
Steigungskoeffizient
- Hängt zusammen mit der Bestimmung der Ausgleichsgerade (lineare Regression)
- Steigung = Kovarianz (x,y) / Varianz (x)
- = Beta-Faktor
Aus welchen Schritten besteht der Portfolio-Managementprozess?
- Planung
a) Anlegeranalyse (Risiko, Planungshorizont, Liquidität, Ethik, Steuern)
b) Finanzanalyse (anlagerelevante Umweltbedingungen) - Realisierung (PF-Entscheidungen)
- Kontrolle (insb. Performance-Messung, Rebalancing etc.)
Welche 3 Faktoren mindern die Rendite?
- Kosten
- Steuern
- Inflation
Aus welchen 3 Komponenten besteht eine Anlageentscheidung?
- Asset Allocation
- Stock Picking
- Timing
Welche Methoden zur Renditeermittlung gibt es?
- Dynamische Methoden
1a) ISMA
1b) Moosmüller
1c) US-Methode
- -> Abzinsung von Rückzahlungsgewinnen und -verlusten; Differenzierung von unterjährigen Zinszahlungen und -veränderungen - Statische Methoden
2a) Nominalzins
2b) Laufende Verzinsung
2c) Börsenformel
Laufende Verzinsung (Bedeutung, Formel)
Bedeutung
= bisher gezahlte Zinsen werden nicht mitverzinst
Formel
Kn = K0 • (1 + n • i)
Verwandt: Zinseszinsmethode
Zinseszinsmethode
Bedeutung
= bisher gezahlte Zinsen werden mitverzinst
Formel
Kn = K0 • (1 + i)^n
Verwandt: Laufende Verzinsung
Beispiel Renditeberechnung I Montag: Erwerb Aktie zu 50 Mittwoch: Dividende i.H.v. 3 Freitag: Aktie steht bei 48 --> Rendite p.a. nach Zinseszins-Formel Abwandlung: Rendite p.a. bei linearer Verzinsung
r = (“Vermögen neu” / “Vermögen alt”) - 1
r = ((48+ 3) / 50) -1
r = 1/50 = 2% pro Woche
–> Zinseszins:( 1,02^52) - 1 = 180,03% p.a.
–> Lfd. Verzinsung: 2% x 52 = 104% p.a.
Beispiel Renditeberechnung II (Stock Split)
60 Aktien á EUR 50. Nach 6 Monaten Stock Split im Verhältnis 2:3. Aktienkurs nach 7 Monaten: EUR 35
–> Wie viele Aktien halte ich?
–> Wie hoch ist die Rendite p.a.? (Zinsezins; lfd. Verzinsung)
Verhältnis von 2:3 bedeutet: 2 alte werden zu 3 neuen (Anm.: Bei reverse stock split wäre das Verhältnis 3:2, d.h. drei alte würden zu zwei neuen)
–> Neue Gesamtanzahl = Alte Aktien x (3/2) = 90
r = (“Vermögen neu” / “Vermögen alt”) - 1
r = (90 x 35) / (60 x 50) - 1
r = 5% (nach 7 Monaten)
–> Zinseszins = (7/12)√1,05 - 1 (Anm.: die 7/12te Wurzel aus 1,05; Ergebnis dann -1) = 8,72%
–> lineare Verzinsung = 0,05 x (12/7) = 8,57%
Dividendenrendite (Formel)
„Wie hoch ist die Ausschüttung je Aktie in Relation zu ihrem Börsenwert?”
–> (Dividende x 100) / Aktienkurs
Verwandt: KGV, Aktienrendite
KGV (Formel)
price-earnings-ratio)
= „Mit dem Wievielfachen des Gewinns pro Aktie wird eine Aktie derzeit an der Börse bewertet?
–> Aktienkurs / Gewinn pro Aktie
Verwandt: Dividendenrendite, Aktienrendite
Aktienrendite (Formel)
= Berücksichtigt neben der Dividende auch den Kursgewinn
–> (Dividende +- Kursveränderung) / Aktienkurs
Verwandt: KGV, Dividendenrendite, Aktienrendite
Was besagt das Bezugsverhältnis?
Wie viele Altaktien brauche ich, um eine junge Aktie zu beziehen?
= Altes Grundkapital / Kapitalerhöhung
Beispiel Bezugsverhältnis
Erhöhung des Grundkapitals von 20 auf 30 Aktien; Investor hat 10 - für wie viele Neuaktien bekommt er ein Bezugsrecht?
Bezugsverhältnis = 2:1
(Altes GK = 20, Erhöhung um 10)
–> Investor erhält je 2 alte 1 neue –> 10 + 5
Wert des Bezugsrechts (Beispiel)
Kapitalerhöhung von 20 auf 30; Investor hält vor der KapErh 10 Aktien. Was sind seine Bezugsrechte wert, wenn der Aktienkurs vorher 50 war und der Bezugspreis bei 30 liegt?
Formel Wert des Bezugsrechts
= [Kurs (alt) - Bezugspreis Jungaktie] / Bezugsverhältnis + 1
- -> Investor hat Bezugsrecht für 5 Aktien (BZV = 2:1)
- -> Wert BZR = [50-30] / [2+1] = EUR 6,66
Was bedeutet “μ”?
“Müh” = Erwartungswert, z.B. erwartete Rendite
Was bedeutet “δ”?
“Sigma” = Standardabweichung (Volatilität)
Was bedeutet “ρxy”?
“Roh” = Korrelation zwischen den Wertpapieren x und y
Portfoliorendite (Beispiel)
Anleger legt an: 12.000 Euro in Anleihe (2% Rendite) und 18.000 Euro in Aktien (8% Rendite). Wie hoch ist die Rendite (μ) des PF?
Formel = [“Vermögen neu” / “Vermögen alt”] - 1
- -> Vermögen neu = (12.000 x 1,02) + (18.000 x 1,08) = EUR 31.680
- -> μ = [31.680 / 30.000] -1 = 5,6%
Wie lautet die Formel zur Bestimmung der Varianz der Rendite eines Portfolios?
= δ^2PF
= x1^2 • δ1^2 + x2^2 • δ2^2 + 2 • x1 • x2 • ρ(1,2) • δ1 • δ2
- -> in Worten:
a) der Anteil WP1 quadriert mal der Varianz von WP1
b) + Anteil WP2 quadriert mal Varianz WP2
c) + 2 mal den Anteil WP1 • Anteil WP2 • Sigma WP 1 • Sigma WP2 • Korrelationskoeffizient beider WP
A: Durch Wurzelziehung erhält man das Sigma des PF, d.h. δPF
Portfoliorendite (Formel)
μ PF = x1 • μ1 + x2 • μ2
= x • μ1 + (1-x) • μ2
wobei “x1” = Gewichtung von WP1 am Portfolio usw.
Ab welcher Korrelation stellt sich ein Diversifikationseffekt ein?
Wenn die Korrelation kleiner ist als (Vola 1 / Vola 2), wobei Vola 1 das WP mit der geringeren der beiden Volas ist.
–> selbst bei hoher Korrelation lohnt sich i.d.R. noch die Beimischung des weiteren WP
z. B.: δ1 = 20%, δ2 = 22%, ρ(1,2) = 0,7
- -> 20/22 = 0,9%
- -> da Korrelation (0,7) kleiner ist als 0,9 lohnt sich die Beimischung!
Welche 3 Aussagen werden üblicherweise bei einem Portfolio errechnet und grafisch dargestellt?
- Erwartete Rendite (μ)
- Standardabweichung (δ)
- Rendite-Risiko-Kombination (μ-δ) –> Hyperbeln (x-Achse = Sigma; y-Achse = Müh)
Was ist die Kernaussage der modernen Porfolio-Theorie?
Bei der Auswahl von einzelnen WP sind nicht nur die einzelnen Rendite-Risiko-Erwartungen zu betrachten, sondern v.a. die Korrelation der WP miteinander, da sich ein Teil des Gesamtrisikos wegdiversifizieren lässt.
Was sind die beiden Kernaussagen des CAPM?
- CAPM ergänzt die PFS um die Komponente des systematischen Risikos
- -> Return = Zeitwert des Geldes + Prämie für systematisches Risiko - CAPM erklärt, wie Investoren ihre risikobehaftete Anlage bewerten können
Was besagt die Kapitalmarktlinie (Capital Market Line) im CAPM? Womit ist die CML nicht zu verwechseln?
Die CML ist die Tangente zwischen der risikolosen Anlage und der Effizienzlinie der möglichen PFs.
Alle effizienten PFs setzen sich zusammen aus den beiden Komponenten (i) risikofreier Anlage und (ii) Marktportfolio (Tobin-Separation); konkrete Gewichtung beider Funds je nach individuellem Risikoappetit.
Alle effizienten PFs befinden sich auf der CML.
A: Nicht mit der Security Market Line (SML) verwechseln!
Wie lassen sich nach der modernen Portfolio-Theorie die Effekte einer Diversifikation grafisch darstellen? Welche Form entsteht hierbei - welche Bereiche sind zu differenzieren?
Rendite-Risiko-Kombinationen in Form von Hyperbeln (Wurzeln aus quadratischer Funktion), Y-Achse = μ (erwartete Rendite), X-Achse = δ (Standardabweichung = Risiko).
Es ist bei den Hyperbeln die Effizienzlinie zu beachten.
Was besagt das Beta-Risiko? Wie verhält sich Beta im Verhältnis zur Vola?
Vola zerfällt gedanklich in
1. Systematisches Risiko
= Beta • δ(Markt)
- Unternehmensspezifische Risiko
= wegdiversifizierbar (nach Sharpe/CAPM)
Der Beta-Faktor gibt die Höhe des systematischen Risikos an –> “Wie hoch ist der Risikobeitrag von Aktie i zum Markt-/Tangentialportfolio?”
–> je höher das Beta, desto höher das Risiko des jeweiligen WP mit Blick auf das PF (und vice versa)
Wie lautet die Formel des CAPM?
rf + Beta • (μm - rf)
“erwartete Rendite eines WP ist gleich risikoloser Zins + Beta mal (Marktrendite minus risikoloser Zins)”
Erklärung:
“rf” = risikofreier Zins
“Beta • (μm - rf)” = Systematisches Risiko
–> keine Kompensation für das unternehmensspezifische Risiko! (arg.: dieses kann wegdiversifiziert werden)
Was beschreibt die Tobin-Separation?
… dass keine Abhängigkeit zwischen der Risikoeinstellung und der Zusammenstellung des PF besteht - alle Anleger wählen dasselbe effiziente Marktportfolio aus.
Formel für Beta-Faktor eines WP
Kovarianz von WP zum Markt (z.B. DAX) geteilt durch Varianz des WP
= Steigungskoeffizient
Schwächen des CAPM
- Problematische Annahmen (Keine Transaktionkosten, keine Steuern, effizienter Kapitalmarkt)
- Erfasst keine Tail Risks
- Schätzfehler aufgrund von Ableitung historischer Daten
- Berücksichtigt nicht behavioral finance
- kann nicht den Value-, Size- oder Momentum-Effekt erklären
Nenne beliebte Smart Beta-Strategien
o Size o Value vs. Growth o Momentum o Quality o Low Vola
Beta oder Vola - was ist wann entscheidend?
Gesamtportfolio: Vola
Beimischung: Beta (Treynor-Ratio)
Was besagt die Treynor-Ratio; wie sieht die Formel aus?
Misst die Überschussrendite im Verhältnis zum systematischen Risiko
–> (Rendite PF - risikoloser Zinssatz) geteilt durch Beta PF
–> je höher, desto attraktiver ist WP als Beimischung
Was besagt die Sharpe-Ratio; wie sieht die Formel aus?
SR misst die Überrendite des Fonds pro Einheit des übernommenen GESAMT-Risikos –> “Reward-to-Variability-Reward”
Rendite abzüglich des risikolosen Zinssatzes wird durch das Gesamtrisiko (Vola) geteilt
–> (Rendite PF - risikoloser Zinssatz) wird geteilt durch Sigma PF
–> Ein höherer Wert der Kennzahl indiziert, dass die Rendite mit einem niedrigeren Schwankungsrisiko erreicht wurde
Was besagt das Jensen’s Alpha? Wie sieht die Formel aus?
Misst die risikoadjustierte Überrendite (Alpha), d.h. die erreichte Überrendite über das aufgrund des systematischen Risikos zu erwartende Niveau
α = (μ(PF) - rf) - Beta(P) x [μ(Benchmark) - rf]
Von meiner Gesamtrendite ziehe ich den risikofreien Teil ab und den Teil, der auf die allgemeine Marktentwicklung zurückzuführen ist.
–> Das Alpha drückt also die Überrendite aus, die nicht mit der allgemienen Marktentwicklung oder meinem Beta zu erklären ist.
Wenn α > 0, dann Überperformance
Wenn α < 0, dann Underperformance
Was drückt das Beta aus?
Maß für das systematische Risiko
Risikomaß für die Beimischung (Treynor-Ratio!)
Steigungskoeffizient der Regressionslinie
Wie unterscheiden sich die Treynor und die Sharpe Reatio? Welches Maß ist für welchen Anleger relevant?
Die TR gibt die Überschussrendite zum Beta an, die SR die Überschussrendite zum Gesamtrisiko
Die SR ist nur für Anleger relevant, die ihr gesamtes Vermögen in einen einzigen Fonds investieren. Die TR eignet sich gut für die Beurteilung von Anlagealternativen, die nur einen geringen Anteil am Gesamt-PF ausmachen.
Nenne Maße für die Messung der Performance eines PF
Gesamtrisiko des PF: Sharpe Ratio
Systematisches Risiko des PF: Treynor Ratio, Jensen-Alpha, Appraisal-Ratio
Weitere Maße: Tracking Error, Information Ratio, Maximum Drawdown
Was ist die Appraisal Ratio?
Überrendite (Jensen’s Alpha) geteilt durch unsystematisches Risiko
(mit Jensen’s Alpha wird Überrendite ins über das aufgrund des systematischen Risikos zu erwartende Niveau beurteilt)
Was ist der Conditional Value at Risk?
CVaR = die zu erwartende Verlusthöhe für den Fall, dass VaR unterschritten wird, d.h. gewichteter Mittelwert der Renditen, die unterhalb des VaR liegen.
Was ist die Security Market Line des CAPM? Worin unterscheidet sie sich von der CML?
Die SML gibt die Rendite-Risiko-Kombination einzelner WP des Marktportfolios wieder, während die CML die Rendite-Risiko-Kombination des gesamten Marktportfolios anzeigt.
D.h. anders als bei der CML wird bei der SML nun auf das Beta des einzelnen WP geschaut
–> je höher das Beta eines WP, desto mehr Rendite muss es erwirtschaften
Was ist die “Risk-Adjusted Performance (RAP)”?
Modgilani/Modigliani
- -> Ausgangspunkt = Feststellung, dass die in praxi gebräuchlichen eindimensionalen Performance-Maße das Risiko nicht berücksichtigen und die zweidimensionalen Maße schwer verständlich sind.
- -> Vergleich mit risikoangepasstem Vergleichs-PF, dessen Risiko mit dem des Marktindex übereinstimmt. Alle Fonds w zunächst auf Marktrisiko gebracht (je nach Fonds durch gedanklichen Abverkauf und Anlage in rf (“un-leveraging”) bzw zusätzlichen Leverage).
Welche grundsätzlichen Arten gibt es, eine Rendite zu berechnen?
- Total Return, Durchschnittsrendite, Rendite p.a.
- BVI-Methode
- Money-weighted vs. time-weighted return
- relative Performance
