Sistema de ecuaciones lineales Flashcards
ECUACIÓN LINEAL - ¿Qué es?¿Cómo se escribe? y ¿Qué representa?
- Es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una o más variables a la primera potencia.
- Una ecuación lineal de primer grado se escribe de la siguiente forma: a1.x1 + a2.x2 +…..+ an.xn = b1
- Donde los coeficientes desde a1 hasta an y b1 son constantes y las variables o incógnitas se identifican como x1, x2, xn.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES - ¿Qué es? y ¿Qué representa?
- Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.
- En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales al reemplazar, deben dar la solución de todas las ecuaciones.
- A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones.
FORMA ESCALAR Y MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES - ¿?
- Los sistemas de ecuaciones se pueden representar en forma matricial, ya que, con el álgebra de matrices es más fácil la solución de los mismos. Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones escrito en forma escalar. Dicho sistema se puede escribirse en forma matricial.
- El sistema se puede expresar como el producto de las matrices A.X = B, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de incógnitas o variables y B es la matriz de los términos independientes.
- La matriz de coeficientes combinada con la matriz de términos independientes, se denomina matriz ampliada y se simboliza de la siguiente manera (A│B).
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES - ¿?
- Encontrar el conjunto solución de una ecuación lineal, es encontrar los valores de las incógnitas de n-tuplas (x1, x2, ….. xn) que resuelven la ecuación a1.x1+ a2.x2 + …..+ an.xn = b1. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema.
- Una tupla es una lista ordenada finita de elementos. Una n-tupla es una secuencia de n elementos, donde n es un número entero no negativo.
COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS DE ECUACIONES - ¿?
- En un sistema de ecuaciones lineales A.X = B, donde la matriz A es una matriz m x n. Existen tres posibles soluciones a dicho sistema:
SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO - En este caso el sistema tiene solución única. El número de filas no nulas de la matriz de coeficientes reducida es igual al número de filas no nulas de la matriz ampliada reducida y a su vez es igual al número de variables o incógnitas. La representación son dos rectas que se cortan en un punto.
SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO - En este caso el sistema tiene infinitas soluciones. El número de filas no nulas de la matriz de coeficientes reducida es igual al número de filas no nulas de la matriz ampliada reducida y menor al número de variables. La representación son dos rectas que coinciden.
- En este caso se obtiene la solución en forma paramétrica, en la que el número de parámetros se obtiene de la diferencia entre el número de variables del sistema y el número de filas no nulas de la matriz ampliada reducida por filas.
SISTEMA INCOMPATIBLE - El sistema no admite solución. El número de filas no nulas de la matriz de coeficientes reducida es menor que el número de filas no nulas de la matriz ampliada reducida. La representación son dos rectas paralelas.
SISTEMAS EQUIVALENTES - ¿?
- Realizar operaciones elementales de filas sobre una matriz nos permite encontrar otra matriz equivalente que tiene el mismo conjunto solución que el sistema original. Ambos sistemas se denominan sistemas equivalentes.
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES. RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE GAUSS Y MÉTODO DE GAUSS - JORDAN - ¿?
MÉTODO DE GAUSS O ELIMINACIÓN GAUSSIANA
- Este método consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales en una matriz ampliada, en la que pondremos los coeficientes de las variables en un lado y los términos independientes en el otro (separados por una recta). En esta realizaremos operaciones elementales de filas de manera que se pueda lograr un sistema equivalente en el que la matriz de coeficientes adquiera la forma escalonada (triangular superior o triangular inferior), para que el cálculo de las incógnitas se pueda realizar por medio de sustitución hacia delante o hacia atrás respectivamente.
MÉTODO DE GAUSS JORDAN
- Consiste en encontrar otro sistema de ecuaciones equivalente, de manera que la matriz ampliada, en la forma (A|B), mediante operaciones elementales de matrices, se convierta en una matriz escalonada reducida. O, lo que es lo mismo, que la parte izquierda, de la matriz A, o matriz de coeficientes, se transforme en una matriz identidad. El sistema queda resuelto directamente.
- El método de Gauss requiere, para matrices grandes, un número menor de operaciones que el método de Gauss – Jordan. Esto es importante desde el punto de vista computacional.
3.1 TEOREMA DE CRAMER - ¿?
- En un sistema de ecuaciones en forma matricial. Donde La matriz de coeficientes A es cuadrada y no singular (invertible). A.X = B
- El vector de incógnitas X se puede obtener como el producto de la inversa de la matriz A por la matriz de términos independientes B. X = A-1B
3.2 REGLA DE CRAMER - ¿?
- En un sistema de ecuaciones A.X = B, donde A es una matriz no singular (invertible). El valor de cada una de las variables xi se calcula de la siguiente manera:
- Siendo Ai la matriz que se obtiene de sustituir la columna i de la matriz de coeficientes por el vector de términos independientes.
3.3 SISTEMAS DE ECUACIONES HOMOGÉNEOS - ¿?
- Los sistemas de ecuaciones homogéneos son aquellos cuyos términos independientes son nulos.
- Este tipo de sistema es siempre compatible ya que admite al menos la solución trivial. Resta determinar si el sistema es determinado o indeterminado. En este último caso el sistema admite además soluciones distintas de la trivial.
- La solución trivial es aquella donde todas las incógnitas son nulas (x1 = 0, x2 = 0,……..,xn = 0).
4.1 MÉTODOS ITERATIVOS - ¿?
- Estos métodos consisten en aproximar una solución al sistema, valores que se usan para encontrar una segunda aproximación y estos valores se obtienen para encontrar una tercera aproximación a la solución del sistema, y así sucesivamente hasta aproximar una solución con un error menor que el tolerable.
- Estos métodos requieren matrices de coeficientes del sistema A, bien condicionadas, y que el sistema tenga solución única.
4.2 MÉTODO DE GAUSS SEIDEL - ¿?
- Este método es muy útil para matrices de coeficientes bandeadas, es decir con elementos no nulos en su diagonal principal y diagonales adyacentes a la principal y valores nulos en el resto.
- El método de Gauss Seidel consiste en despejar de la ecuación primera del sistema la variable x1, de la segunda la variable x2 y así sucesivamente hasta que de la variable enésima despejamos xn. Seguidamente se calcula x1 de la primera ecuación asignando cero a las otras variables, luego se calcula x2 utilizando el valor de x1 calculado y cero a las otras, luego x3 utilizando los valores de x1 y x2 y asi sucesivamente.
- Cuando se repite el cálculo de x1, x2, x3,… xN, ya se utilizan todos los valores de las variables calculados.
- En la segunda iteración se repite el procedimiento utilizando los valores de x1, x2, x3,… xN ya calculados en la iteración anterior. Para el segundo cálculo de x1, se utilizan los valores de x2 y x3 calculados anteriormente. Para el segundo cálculo de x2 se utilizan el último valor de x1 y x3 calculados, y para el segundo cálculo de x3 se utilizan los ultimos valores de x1 e x2 calculados últimamente.
- El proceso termina cuando el error en dos iteraciones sucesivas es menor que la tolerancia propuesta o cuando dos iteraciones sucesivas son iguales.
- Una variante de este método es calcular inicialmente todas las variables considerando cero a las restantes. Con este valor obtenido en la primera iteración se calcula los valores correspondientes a la segunda iteración y así sucesivamente.
5.1 PROPOSICIONES EQUIVALENTES. TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES - ¿?
- Sea A una matriz no singular de n x n. Las siguientes proposiciones son equivalentes:
1. A es invertible.
2. La forma reducida por filas de A es In.
3. A es un producto de matrices elementales.
4. El sistema A.X = 0 tiene solución única
5. El sistema A.X = B tiene solución única para todo B en Rn.
