Séries Flashcards
Qu’est-ce qu’une fonction paire ?
C’est une fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Qu’est-ce qu’une fonction impaire ?
C’est une fonction symétrique par rapport à l’origine.
Donner la formule de développement de l’identité cube.
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).
Comment interpréter numériquement une réflexion par rapport à l’axe des abcisses ?
f(x) -> -f(x)
Comment interpréter numériquement une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées ?
f(x) -> f(-x)
Définir une “one to one” function.
C’est une fonction injective. Il existe un seul x tq f(x)=y.
Comment obtenir le graphe de l’inverse d’une fonction ?
On fait une symétrie par rapport à la droit y=x.
En quoi consiste une fonction inverse ?
Par exemple, si f(x)=y, alors la fonction inverse sera g(y)=x.
Donner deux des propriétés générales des logarithmes.
log(a)+log(b)=log(ab). blog(a)=log(a^b).
Qu’est ce qu’un logarithme de base x ?
C’est la fonction inverse de la fonction x^n.. Du coup, on a log3(3^7) = 7.
Quand on demande d’étudier la convergence d’une suite, à quoi cela revient-il ?
Il faut calculer la limite de cette suite en + l’infini. Si 0 -> convergent et si pas 0 alors divergent.
Technique principale pour les limites ?
Toujours essayer de mettre sous forme de fraction pour faire une factorisation par n. Si c’est une diff de racines faire la fraction en multipliant par l’addition de racines.
Limite remarquable : limite de (1+a/n)^n quand n tend vers l’infini ?
= e(a).
Qu’est-ce qu’une removable discontinuity et comment les trouver ?
il s’agit des cas impossible pour une fonction qui peuvent être supprimés après développement ou simplification de l’expression. Il faut généralement factoriser les polynomes qu’on a pour s’en débarasser.
A quoi correspond lim quand h->0 de f(1+h)-f(1)/h ?
ça correspond à la dérivée de la fonction au point d’abccisse 1.
Que faut-il faire en cas de valeurs absolues ‘
Toujours analyser les différentes valeurs que prend la valeur absolue en fonction de xpositif ou négatif, il y en a touours plusieurs.
Dans le cas d’une question ou on a en données : f(x) = 4x-1 quand x!=1 { 4 quand x=1 comment résoudre ?
lim quand x tend vers 1 f(x) = lim(4x-1) = 4lim(x) -1 = 4*1-1 =3. PAS 4x4-1 !
Qu’est ce que le IVT ?
Si f est continue sur [a,b], et f(a)<f></f>
Quand on manipule les racines de x, à quoi faut il faire attention ?
sqrt(x)^2 = |x| et non x !
A quelle expression lim h-> 0 de f(a+h)-f(a)/h est égale ?
à f(x)-f(a)/(x-a).
Quelle est la dérivée de tan de x ?
C’est 1/(cos^2(x))
Quelle est la dérivée de cot x ?
C’est -1/(sin^2(x))
Limite remarquable : sin(ax)/(x) quand x->0 ?
= a!
Dans le cas ou on a des sin^2(x) et sin^2(ax) dans une même expression dont on cherche la limite en 0… que faut il faire ?
Il faut diviser en haut et en bas par x^2 ! Dans ce cas on pourra obtenir la limite sin(ax)/(x) =a et donc ici comme sin est au carré = a^2.
Quelle est l’expression de la tangente d’une fonction au point a ?
C’est y = f’(a)(x-a) + f(a).
Qu’est-ce que le théorème de Rolle ?
Si f(x) est continue sur [a,b] et dérivable alors il existe un c tq f’(c)= f(b)-f(a)/(b-a).
Qu’est-ce qu’un point critique ?
Il s’agit des valeurs de x tq f’(x)=0 ou f’(0) DNE.
Comment trouver un maximum absolu ?
Il se situe ou à une des bornes de l’intervalle ou à un point critique.
Quand est-ce qu’une fonction change de concavité ?
Quand f’‘(x) change de signe.
Quand est-ce qu’une série est convergente ?
Quand lim quand n tend vers l’infini de an est égale à 0.
Comment calculer an en connaissant Sn ?
an=Sn-S(n-1).
Comment peut on savoir si une série géométrique converge ?
Une série geometrique est de la forme E a*r^(n-n0), n0 étant le premier terme généralement égal à 0 1 ou 2. Elle converge si |r|1.
Lorsque l’on a un terme (cos n pi) dans une fonction, sous quoi peut on le réécrire ?
Sous la forme de (-1)^n.
Qu’est-ce que le LCT?
On choisit une série bn avec bn qui ressemble a an au niveau du terme en n, et dont on connait la convergence. Alors, si lim quand n tend vers l’infini de an/bn = c, avec c>0, alors les deux séries ont la même convergence.
Limite remarquable : lim de ln(x)/x quand x tend vers 0 ?
= - l’infini.
Qu’est-ce que la convergence conditionelle ?
C’est quand E an converge mais pas E |an|.
Qu’est-ce que le alternating series test ?
Si on a une serie de la forme E(-1)^n an, si an décroit et lim an=0 quand n tend vers l’infini., alors la série converge.
Qu’est-ce que le ratio test ?
Si lim quand n tend vers l’infini de |(an+1)/an| >1, an diverge.
Test de la racine ?
: Si lim |an|^(1/n) = 0, converge.
Qu’est-ce que le test de la P-series ?
Si E (1/n^p), alors converge si p>1 et diverge si p<=1 INFERIEUR OU EGAL HEIN
En quoi consiste un test de l’intégrale ?
Si la suite est positive est décroissante, alors si son intégrale impropre est convergente ou divergente, alors la suite l’est aussi.
Qu’est-ce qu’une intégrale impropre ?
C’est la limite de l’intégrale de 0 à t quand t tend vers l’infini.
Admettons que l’on aie une série avec un cas ou on doit utiliser le LCT. Comment choisir sa série de comparaison ?
C’est généralement le rapport entre les deux plus grandes puissances du numérateur et dénominateur.
Admettons que l’on aie une série avec (-1)^n An. Quel test utiliser ?
On va d’abord utiliser un test des séries alternatives avec un first derivative test pour prouver sa décroissance.Si nécessaire, coupler avec un autre test pour prouver que la limite est 0.
Admettons que l’on aie une série avec des nombres avec des puissances de variables. Quel test utiliser ?
On va essayer d’exprimer la suite de sorte à avoir une série géométrique. Cela peut aussi être achevé grâce au LTC.
Admettons que l’on aie une série avec (expression)^n quel test utiliser ?
On va utiliser le root test, pour virer la puissance. la limite du reste est en généralement facilement calculable.
Admettons que l’on aie une série avec un nombre au dénominateur puissance n que faire ?
On va aussi utiliser le ratio test.
Si on a un nombre du genre A/(srqt(ln n)) que faire ?
Généralement dans ces cas plus compliqués, un test de l’intégrale sera préférable.
Admettons que l’on aie une série avec des factorielles. Quel test utiliser ?
Le ratio test ! An+1 / An est pratique pour se débarasser des factorielles.
Admettons que l’on aie une série avec des exponentielles ?
On va utiliser plutôt le LCT et l’intégrale test.
Admettons que l’on aie une série avec des sinus ?
On va essayer de faire apparaître lim (sin a/ a) en l’infini, qui est égale à a. Pour cela, utiliser un LCT.
Admettons que l’on aie une série avec des puissances k ?
Le test de la divergence, couplé avec un peu d’algèbre, est généralement suffisant.
Admettons que l’on aie une série avec (n^2+3)/(n^3+8) ?
On prend les plus grosses puissanceset on simplifie. Puis, LCT !
Admettons que l’on aie une série avec des racines ?
P-Series test !
Qu’est-ce qui est pratique pour évaluer la décroissance d’une suite ?
Transformation en fonction semblable et calcul de dérivée.
Selon ce bon vieux Riehmann… A quoi est égale l’intégrale de a à b de f(x) dx ?
= lim (x->infini) de E(1àn) f(xk) * 1/n.
A quoi est égale l’intégrale de x^n ?
(x^(n+1))/(n+1)
A quoi correspond la dérivée de (a à g(x)) f(t) d(t) ?
à f(g(x))g’(x).
Est-ce que la somme des intégrales est l’intégrale de la somme ? Cela marche-t-il pour les racines ? Pour les produits ?
Oui, non, et non.
Dans les vrais/faux à quoi faire attention ?
Au strictements positifs ou négatifs, ces saligauds en abusent.
Si on a 0<bn></bn>
An est aussi convergente !
Comment trouver les rayons de convergence ?
On utilise le ratio test, puis on étudie pour quelles valeurs de x la limite de la suite est comprise entre 0 et 1. x sera en valeur absolue ! Quand on a trouvé ces valeurs de x, elles forment l’intervalle de convergence [a,b]. Le rayon de convergence est (b-a)/2.
Comment trouver l’intervalle de convergence ?
On peut le trouver précisément en étudiant la convergence aux deux bornes de l’intervalle. Si la suite y est divergente, la borne sera exclue ! sinon, inclue.
Intégration : si g(x) = int a->x f(t) dt, alors g’(x)?
= f(x). En gros, on remplace les t par x. Si jamais les bornes de l’intégrale sont dans le mauvais ordre, on les retourne en utilisant -. Si ce n ‘est pas x mais tanx par exemple en borne, alors on remplace par tan (x) mais dx sera égal à d(tan x) !
Que peut-on faire si les bornes d’une intégrale sont chiantes ?
On peut la casser en deux bornes différentes. Par exemple si on a intégrale de tanx à x^2, on peut la casser en intégrale de tanx à 0 + inégrale de 0 à x^2 !
est-ce qu’une fonction continue à forcément une primitive ?
Oui !
Prenons E f(n) et E f’(n). Que se passe-t-il au niveau des intervalles/rayons de convergence ?
Même intervalle de convergence mais pas même rayon de divergence.
Qu’est-ce qu’une série de taylor ?
En gros chaque fonction continue et infiniment dérivable peut s’écrire sous la forme d’une série appelée série de taylor, sous la forme :
(remarquons que les seuls calculs à faire sont : f(a) et les f(n’) (a). a est déjà donné et x reste le même !
De quoi faut-il se rappeler ?
PAS DE CONNERIES ! RESTE CONCENTRE !
et surtout
ARRETER LES CONNERIES D’UTILISER LE TEST DE DIVERGENCE POUR DIRE QU’UNE SERIE EST CONVERGENTE
Cos (0) ?
1.
sin(0) ?
0.
cos(pi) ?
-1.
cos(pi/2) ?
0.
sin(pi) ?
0 aussi.
sin(pi/2) ?
1.
cos^2+sin^2 ?
1.
tan ?
sin/cos.
cotan = cos/sin
cos(2a) ?
cos’2(a)-sin^2(a)
sin(2a) ?
2sinacosa
