Séries Flashcards

1
Q

Qu’est-ce qu’une fonction paire ?

A

C’est une fonction symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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Q

Qu’est-ce qu’une fonction impaire ?

A

C’est une fonction symétrique par rapport à l’origine.

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3
Q

Donner la formule de développement de l’identité cube.

A

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

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4
Q

Comment interpréter numériquement une réflexion par rapport à l’axe des abcisses ?

A

f(x) -> -f(x)

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5
Q

Comment interpréter numériquement une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées ?

A

f(x) -> f(-x)

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6
Q

Définir une “one to one” function.

A

C’est une fonction injective. Il existe un seul x tq f(x)=y.

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7
Q

Comment obtenir le graphe de l’inverse d’une fonction ?

A

On fait une symétrie par rapport à la droit y=x.

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8
Q

En quoi consiste une fonction inverse ?

A

Par exemple, si f(x)=y, alors la fonction inverse sera g(y)=x.

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9
Q

Donner deux des propriétés générales des logarithmes.

A

log(a)+log(b)=log(ab). blog(a)=log(a^b).

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10
Q

Qu’est ce qu’un logarithme de base x ?

A

C’est la fonction inverse de la fonction x^n.. Du coup, on a log3(3^7) = 7.

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11
Q

Quand on demande d’étudier la convergence d’une suite, à quoi cela revient-il ?

A

Il faut calculer la limite de cette suite en + l’infini. Si 0 -> convergent et si pas 0 alors divergent.

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12
Q

Technique principale pour les limites ?

A

Toujours essayer de mettre sous forme de fraction pour faire une factorisation par n. Si c’est une diff de racines faire la fraction en multipliant par l’addition de racines.

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13
Q

Limite remarquable : limite de (1+a/n)^n quand n tend vers l’infini ?

A

= e(a).

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14
Q

Qu’est-ce qu’une removable discontinuity et comment les trouver ?

A

il s’agit des cas impossible pour une fonction qui peuvent être supprimés après développement ou simplification de l’expression. Il faut généralement factoriser les polynomes qu’on a pour s’en débarasser.

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15
Q

A quoi correspond lim quand h->0 de f(1+h)-f(1)/h ?

A

ça correspond à la dérivée de la fonction au point d’abccisse 1.

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16
Q

Que faut-il faire en cas de valeurs absolues ‘

A

Toujours analyser les différentes valeurs que prend la valeur absolue en fonction de xpositif ou négatif, il y en a touours plusieurs.

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17
Q

Dans le cas d’une question ou on a en données : f(x) = 4x-1 quand x!=1 { 4 quand x=1 comment résoudre ?

A

lim quand x tend vers 1 f(x) = lim(4x-1) = 4lim(x) -1 = 4*1-1 =3. PAS 4x4-1 !

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18
Q

Qu’est ce que le IVT ?

A

Si f est continue sur [a,b], et f(a)<f></f>

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19
Q

Quand on manipule les racines de x, à quoi faut il faire attention ?

A

sqrt(x)^2 = |x| et non x !

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20
Q

A quelle expression lim h-> 0 de f(a+h)-f(a)/h est égale ?

A

à f(x)-f(a)/(x-a).

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21
Q

Quelle est la dérivée de tan de x ?

A

C’est 1/(cos^2(x))

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22
Q

Quelle est la dérivée de cot x ?

A

C’est -1/(sin^2(x))

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23
Q

Limite remarquable : sin(ax)/(x) quand x->0 ?

A

= a!

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24
Q

Dans le cas ou on a des sin^2(x) et sin^2(ax) dans une même expression dont on cherche la limite en 0… que faut il faire ?

A

Il faut diviser en haut et en bas par x^2 ! Dans ce cas on pourra obtenir la limite sin(ax)/(x) =a et donc ici comme sin est au carré = a^2.

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25
Q

Quelle est l’expression de la tangente d’une fonction au point a ?

A

C’est y = f’(a)(x-a) + f(a).

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26
Q

Qu’est-ce que le théorème de Rolle ?

A

Si f(x) est continue sur [a,b] et dérivable alors il existe un c tq f’(c)= f(b)-f(a)/(b-a).

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27
Q

Qu’est-ce qu’un point critique ?

A

Il s’agit des valeurs de x tq f’(x)=0 ou f’(0) DNE.

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28
Q

Comment trouver un maximum absolu ?

A

Il se situe ou à une des bornes de l’intervalle ou à un point critique.

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29
Q

Quand est-ce qu’une fonction change de concavité ?

A

Quand f’‘(x) change de signe.

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30
Q

Quand est-ce qu’une série est convergente ?

A

Quand lim quand n tend vers l’infini de an est égale à 0.

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31
Q

Comment calculer an en connaissant Sn ?

A

an=Sn-S(n-1).

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32
Q

Comment peut on savoir si une série géométrique converge ?

A

Une série geometrique est de la forme E a*r^(n-n0), n0 étant le premier terme généralement égal à 0 1 ou 2. Elle converge si |r|1.

33
Q

Lorsque l’on a un terme (cos n pi) dans une fonction, sous quoi peut on le réécrire ?

A

Sous la forme de (-1)^n.

34
Q

Qu’est-ce que le LCT?

A

On choisit une série bn avec bn qui ressemble a an au niveau du terme en n, et dont on connait la convergence. Alors, si lim quand n tend vers l’infini de an/bn = c, avec c>0, alors les deux séries ont la même convergence.

35
Q

Limite remarquable : lim de ln(x)/x quand x tend vers 0 ?

A

= - l’infini.

36
Q

Qu’est-ce que la convergence conditionelle ?

A

C’est quand E an converge mais pas E |an|.

37
Q

Qu’est-ce que le alternating series test ?

A

Si on a une serie de la forme E(-1)^n an, si an décroit et lim an=0 quand n tend vers l’infini., alors la série converge.

38
Q

Qu’est-ce que le ratio test ?

A

Si lim quand n tend vers l’infini de |(an+1)/an| >1, an diverge.

39
Q

Test de la racine ?

A

: Si lim |an|^(1/n) = 0, converge.

40
Q

Qu’est-ce que le test de la P-series ?

A

Si E (1/n^p), alors converge si p>1 et diverge si p<=1 INFERIEUR OU EGAL HEIN

41
Q

En quoi consiste un test de l’intégrale ?

A

Si la suite est positive est décroissante, alors si son intégrale impropre est convergente ou divergente, alors la suite l’est aussi.

42
Q

Qu’est-ce qu’une intégrale impropre ?

A

C’est la limite de l’intégrale de 0 à t quand t tend vers l’infini.

43
Q

Admettons que l’on aie une série avec un cas ou on doit utiliser le LCT. Comment choisir sa série de comparaison ?

A

C’est généralement le rapport entre les deux plus grandes puissances du numérateur et dénominateur.

44
Q

Admettons que l’on aie une série avec (-1)^n An. Quel test utiliser ?

A

On va d’abord utiliser un test des séries alternatives avec un first derivative test pour prouver sa décroissance.Si nécessaire, coupler avec un autre test pour prouver que la limite est 0.

45
Q

Admettons que l’on aie une série avec des nombres avec des puissances de variables. Quel test utiliser ?

A

On va essayer d’exprimer la suite de sorte à avoir une série géométrique. Cela peut aussi être achevé grâce au LTC.

46
Q

Admettons que l’on aie une série avec (expression)^n quel test utiliser ?

A

On va utiliser le root test, pour virer la puissance. la limite du reste est en généralement facilement calculable.

47
Q

Admettons que l’on aie une série avec un nombre au dénominateur puissance n que faire ?

A

On va aussi utiliser le ratio test.

48
Q

Si on a un nombre du genre A/(srqt(ln n)) que faire ?

A

Généralement dans ces cas plus compliqués, un test de l’intégrale sera préférable.

49
Q

Admettons que l’on aie une série avec des factorielles. Quel test utiliser ?

A

Le ratio test ! An+1 / An est pratique pour se débarasser des factorielles.

50
Q

Admettons que l’on aie une série avec des exponentielles ?

A

On va utiliser plutôt le LCT et l’intégrale test.

51
Q

Admettons que l’on aie une série avec des sinus ?

A

On va essayer de faire apparaître lim (sin a/ a) en l’infini, qui est égale à a. Pour cela, utiliser un LCT.

52
Q

Admettons que l’on aie une série avec des puissances k ?

A

Le test de la divergence, couplé avec un peu d’algèbre, est généralement suffisant.

53
Q

Admettons que l’on aie une série avec (n^2+3)/(n^3+8) ?

A

On prend les plus grosses puissanceset on simplifie. Puis, LCT !

54
Q

Admettons que l’on aie une série avec des racines ?

A

P-Series test !

55
Q

Qu’est-ce qui est pratique pour évaluer la décroissance d’une suite ?

A

Transformation en fonction semblable et calcul de dérivée.

56
Q

Selon ce bon vieux Riehmann… A quoi est égale l’intégrale de a à b de f(x) dx ?

A

= lim (x->infini) de E(1àn) f(xk) * 1/n.

57
Q

A quoi est égale l’intégrale de x^n ?

A

(x^(n+1))/(n+1)

58
Q

A quoi correspond la dérivée de (a à g(x)) f(t) d(t) ?

A

à f(g(x))g’(x).

59
Q

Est-ce que la somme des intégrales est l’intégrale de la somme ? Cela marche-t-il pour les racines ? Pour les produits ?

A

Oui, non, et non.

60
Q

Dans les vrais/faux à quoi faire attention ?

A

Au strictements positifs ou négatifs, ces saligauds en abusent.

61
Q

Si on a 0<bn></bn>

A

An est aussi convergente !

62
Q

Comment trouver les rayons de convergence ?

A

On utilise le ratio test, puis on étudie pour quelles valeurs de x la limite de la suite est comprise entre 0 et 1. x sera en valeur absolue ! Quand on a trouvé ces valeurs de x, elles forment l’intervalle de convergence [a,b]. Le rayon de convergence est (b-a)/2.

63
Q

Comment trouver l’intervalle de convergence ?

A

On peut le trouver précisément en étudiant la convergence aux deux bornes de l’intervalle. Si la suite y est divergente, la borne sera exclue ! sinon, inclue.

64
Q

Intégration : si g(x) = int a->x f(t) dt, alors g’(x)?

A

= f(x). En gros, on remplace les t par x. Si jamais les bornes de l’intégrale sont dans le mauvais ordre, on les retourne en utilisant -. Si ce n ‘est pas x mais tanx par exemple en borne, alors on remplace par tan (x) mais dx sera égal à d(tan x) !

65
Q

Que peut-on faire si les bornes d’une intégrale sont chiantes ?

A

On peut la casser en deux bornes différentes. Par exemple si on a intégrale de tanx à x^2, on peut la casser en intégrale de tanx à 0 + inégrale de 0 à x^2 !

66
Q

est-ce qu’une fonction continue à forcément une primitive ?

A

Oui !

67
Q

Prenons E f(n) et E f’(n). Que se passe-t-il au niveau des intervalles/rayons de convergence ?

A

Même intervalle de convergence mais pas même rayon de divergence.

68
Q

Qu’est-ce qu’une série de taylor ?

A

En gros chaque fonction continue et infiniment dérivable peut s’écrire sous la forme d’une série appelée série de taylor, sous la forme :

(remarquons que les seuls calculs à faire sont : f(a) et les f(n’) (a). a est déjà donné et x reste le même !

69
Q

De quoi faut-il se rappeler ?

A

PAS DE CONNERIES ! RESTE CONCENTRE !
et surtout
ARRETER LES CONNERIES D’UTILISER LE TEST DE DIVERGENCE POUR DIRE QU’UNE SERIE EST CONVERGENTE

70
Q

Cos (0) ?

A

1.

71
Q

sin(0) ?

A

0.

72
Q

cos(pi) ?

A

-1.

73
Q

cos(pi/2) ?

A

0.

74
Q

sin(pi) ?

A

0 aussi.

75
Q

sin(pi/2) ?

A

1.

76
Q

cos^2+sin^2 ?

A

1.

77
Q

tan ?

A

sin/cos.

cotan = cos/sin

78
Q

cos(2a) ?

A

cos’2(a)-sin^2(a)

79
Q

sin(2a) ?

A

2sinacosa