Séries

Question 1

Si il est dit que v1 et v2 engendrent v3 par combinaison linéaire, qu’est-ce que cela implique ?

Answer 1

On aura alors la matrice [v1 v2 v3] qui sera compatible, et x1 * v1 + x2 * v2 = v3.

Question 2

Comment vérifier qu’un vecteur soit compris dans le plan de R3 engendré par les colonnes de A ?

Answer 2

Il faut vérifier si v peut être écrit comme une combinaison linéaire des colonnes de A.

Question 3

Qu’implique une solution unique ?

Answer 3

Il n’y a pas de variable libre.

Question 4

Quand y a-t-il des variables libres ?

Answer 4

Quand il y a une ou plusieurs lignes de 0.

Question 5

Comment répondre à “Est.ce que A engendre R3 ?”

Answer 5

Il faut échelonner la matrice. Si elle a un pivot dans chaque ligne, elle engendre R3.

Question 6

Comment identifier a quel ensemble une matrice appartient ?

Answer 6

Si une matrice est nxm, alors elle appartient à Rn.

Question 7

Quel est le but global d’une forme paramétrique vectorielle ?

Answer 7

Il s’agit d’exprimer chaque variable principale d’une matrice en fonction de variables libres.

Question 8

Comment déterminer si trois vecteurs sont linéairement dépendants ?

Answer 8

Les colonnes d’une matrice sont lineairement independantes si et seulement si une forme echelonnee
de la matrice possede un pivot dans chaque colonne.

Question 9

Dans un ensemble de vecteurs linéairement dépendants, on peut trouver une relation de dépendance. Comment ?

Answer 9

On échechelonne la matrice [v1 v2 v3 0]. Les vecteurs v1 et v2 vont être exprimés en fonction de v4. On aura donc :

Question 10

Si l’equation Ax=0 admet que 0 pour solution, qu’en est-il de la dépendance linéaire de ses colonnes ?

Answer 10

Ses colonnes sont alors linéairement indépendantes.

Question 11

Comment savoir si une matrice est injective ?

Answer 11

Pivot dans chaque colonne de sa forme échelonnée.

Question 12

Comment savoir si une matrice est surjective ?

Answer 12

Pivot dans chaque ligne de sa forme échelonnée.

Question 13

Comment savoir si une matrice est bijective ?

Answer 13

Pivot dans chaque colonne ET chaque ligne de sa forme échelonnée.

Question 14

Quelle condition doivent remplir A et B dans le produit AB ?

Answer 14

Il doit y avoir autant de lignes dans A que de colonnes dans B.

Question 15

Peut-on développer un produit de matrice, du genre (A+B)(A-B) = AA - AB + BA -BB ?

Answer 15

Oui.

Question 16

Quelles sont les deux méthodes pour calculer une matrice inverse ?

Answer 16

On peut ou échelonner la matrice [M I] et on aura [I M^-1]

Ou on utilise le déterminant (Déterminant d’une matrice 2x2 : ad-bc).

Question 17

Si on connait l’inverse d’une matrice et qu’on cherche à trouver x dans Ax=b, que peut on faire ?

Answer 17

A^-1 B = x. (par produit matriciel)

Question 18

Qu’est-ce qu’une matrice élémentaire ? Comment raisonner lorsqu’on doit en trouver une ?

Answer 18

Une matrice élémentaire permet d’effectuer des opérations élémentaires sur une matrice lorsqu’on la multiplie avec elle.

Il suffit de raisonner avec la matrice identité : 1 0 0 correspondra a la première ligne, donc 8 0 0 correspondra a 8 fois la première ligne. Si on veut ajouter 6 fois la 2e ligne à la première, on aura la ligne correspondante : 1 6 0.

Question 19

A quelle condition une matrice est inversible en rapport avec les pivots ?

Answer 19

Une matrice nxn est inversible si elle a n pivots.

Question 20

Si une matrice A est inversible, qu’en est-il de sa transposée ?

Answer 20

Sa transposée est aussi inversible.

Question 21

Comment faire le produit colonnes lignes d’une matrice ?

Answer 21

Exemple matrice 3x2 * matrice 2*3 : On prend la première colonne, qu’on multiplie par la première ligne de l’autre matrice, formant une matrice 3*2. On prend la 2e colonne qu’on mutliplie par la 2e ligne, formant une autre matrice 2x2. Il suffit ensuite d’additionner ces deux matrices.

Bref : AB = coln(A)Lignn(B)+coln+1(A)lignn+1(B)

Question 22

Décrire la factorisation LU.

Answer 22

L est une matrice triangulaire inférieure. Elle a donc des 1 partout sur sa diagonale.

Etape 1 : la première colonne de L correspond à la première colonne de la matrice A divisée par son premier élément.

Etape 2 : On échelonne A pour placer des 0 sous la première colonne, puis on s’arrête et on biffe la première ligne et première colonne. Puis, on applique a nouveau l’étape 1 pour la 2e colonne de L.

La matrice U est la forme échelonnée de A.

Question 23

Comment se calculer le déterminant d’une matrice triangulaire ?

Answer 23

C’est le produit des éléments diagonaux.

Question 24

Quelle est la formule générale de calcul d’un déterminant ?

Answer 24

det A = A1n det (A1n) (-1)^(1+n)

A1n étant la matrice biffée de la première ligne et la nième colonne.

Question 25

Dans le calcul d'un déterminant, on peut choisir la ligne à partir de laquelle on calcule le déterminant. Comment la choisir ?

Answer 25

Il faut choisir celle avec le plus de 0, ce qui limitera grandement le nombre d'opérations à effectuer.

Question 26

Dans certains cas en algèbre, si une démonstration ne vient pas a l'esprit, que faire ?

Answer 26

Penser à utiliser des contre-exemples !

Question 27

Peut on appliquer le déterminant comme une fonction ? C'est à dire : AC=CA \<=\> det(AC)=det(CA) ?

Answer 27

Non !

Question 28

est-ce que det(A)det(C)\<=\>det(AC) ?

Answer 28

Oui.

Question 29

Quelle est la méthode pour calculer l'inverse de n'importe quelle matrice avec un déterminant ?

Answer 29

1/(det A) \* (Com A)T

Question 30

Qu'est-ce que la comatrice A ?

Answer 30

Il s'agit de la matrice ayant pour coeff. Cji = (-1)^(i+j)\*det(Aji).

Question 31

Comment calculer rapidement un coeff précis d'une matrice inverse ?

Answer 31

Question 32

est-ce que le déterminant d'une forme échelonnée (sans échange sur les lignes ?) est égal au déterminant de la matrice complète ?

Answer 32

Il semblerait ?

Question 33

Comment calculer le volume d'une parallélépipède dont les sommets sont définis par les colonnes d'une matrice 3x3 a?

Answer 33

Il suffit de calculer la valeur absolue du déterminant de cette matrice.

Question 34

Définir le noyau d'une matrice.

Answer 34

Le noyau d'une matrice est l'ensemble des solutions de l'équation Ax=0.

Question 35

Comment vérifier qu'un vecteur appartient à Ker A ?

Answer 35

Si Aw=0 (par produit matriciel) alors w appartient à Ker A.

Question 36

Pour une matrice nxm, Ker A est un sous espace de ..? Et Col A ?

Answer 36

Ker A est un sous-espace de Rm. ColA est un sous espace de Rn.

Question 37

SI il y a un pivot dans la dernière colonne, le système est-il compatible ?

Answer 37

Non.

Question 38

Quand les colonnes d'une transformation linéaire n'engendrent pas l'espèace d'arrivée, cette transformation n'est pas... ?

Answer 38

Surjective !

Question 39

Si le résultat d'une transformation linéaire n'admet que la solution triviale à l'équation Cx=0, C étant son résultat, alors cette transformation n'est pas...?

Answer 39

Injective.

Question 40

Qu'est-ce que T(x) ?

Answer 40

T(x) est une transformation linéaire, mais aussi un vecteur ! Une transformation linéaire peut donc avoir un noyau ou une image...

Question 41

Comment prouver qu'une application est linéaire ?

Answer 41

Il faut prouver que : T(A+B)=T(A)+T(B) et cT(A)=T(aC)

Question 42

Quand est-ce que les colonnes d'une matrice forment une base de Rn ?

Answer 42

SI il y n'y a **pas que** des colonnes pivot (ensemble l.i) Si ces colonnes engendrent Rn (chaque ligne est pivot).

Question 43

Comment trouver une base engendrée par les vecteurs v1 v2 v3 v4 ?

Answer 43

Il faut échelonner la matrice correspondante, puis vérifier que toutes les lignes sont pivot et que toutes les colonnes ne sont pas pivot. La base sera formée par les vecteurs correspondants aux colonnes pivot de la matrice échelonnée. Si une colonne peut s'écrire sous combinaison linéaire d'une autre, on peut l'enlever pour avoir un ensemble linéairement dépendant.

Question 44

Quelle est la méthode pour trouver une matrice de changement de coordonnées ?

Answer 44

Si on a une base B [b1 b2 b3], alors on a [b1 b2 b3 x] = [x]b. Bx=[X]b.

Question 45

Qu'est-ce que la matrice de changement de coordonnées Pb ?

Answer 45

Il s'agit de la matrice dont les colonnes correspondent aux vecteurs de la base. D'ou Pb[x]b=x donc x\*Pb^(-1)=[x]b

Question 46

Définir une matrice canonique associée à une transformation linéaire.

Answer 46

?

Question 47

A quoi est égale le rang d'une matrice ?

Answer 47

Au nombre de colonnes pivot de sa forme échelonnée.

Question 48

Comment former une base de Col A ?

Answer 48

En cherchant les vecteurs correspondants aux colonnes pivots de sa forme échelonnée.

Question 49

Comment former une base de ligne A ?

Answer 49

Elle correspondra aux lignes non-nulles de sa forme échelonnée.

Question 50

Quelle relation lie col A et lign A ?

Answer 50

Col A^T = Lign A et Lign A^T = Col A

Question 51

Comment trouver les coefficients de la combinaison linéaire v = c1v1 + cpvp ?

Answer 51

Cj = (y . uj)/(uj . uj)

Question 52

Qu'est-ce qu'unematrice diagonale ?

Answer 52

C'est une matrice avec seulement des éléments diagonaux.

Question 53

Quand est-ce qu'une matrice est diagonalisable ?

Answer 53

Elle doit avoir n valeurs propres distinctes, et n vecteurs propres linéairement indépendants. La dimension du sous espace propre doit être égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.

Question 54

Si il y a plusieurs vecteurs propres pour une valeur propre comment les trouver ?

Answer 54

En utilisant la forme paramétrique vectorielle pour exprimer la solution générale du système.

Question 55

Comment trouver une base d'un ensemble de vecteurs ?

Answer 55

On forme la matrice augmentée de 0, on échelonnes, et les colonnes pivot forment la base.

Question 56

Comment trouver une base dans laquelle une transformation T est diagonale ?

Answer 56

On cherche les valeurs et vecteurs propres de A pour savoir si elle peut être diagonale. Si A est diagonalisable alors la base dans laquelle T:x est diagonalisable est onstituée des vecteurs propres de A.

Question 57

Quand on cherche des vecteurs propres, comment les représenter ?

Answer 57

On évite de mettre un signe négatif en haut, et de laisser des fractions (quitte a multiplier le vecteur par deux).

Question 58

Quelle propriété a une matrice 2x2 admettant une valeur propre complexe, avec v le vecteur propre associé ?

Answer 58

Alors on a A= PCP^-1 avec P[Re v Im v] C[a -b] [b a]

Question 59

A quoi revient un produit scalaire ?

Answer 59

A faire uTu.

Question 60

Comment caractériser un espace orthogonal au plan w engendré par u et v ?

Question 61

Qu'est ce qu'une norme ?

Answer 61

C'est sqrt(u . u)

Question 62

Comment normaliser un vecteur ?

Answer 62

C'est le vecteur divisé par la norme.

Question 63

Comment trouver une base de Ker A ?

Answer 63

On échelonne A 0.

Question 64

Dans Ax = b comment trouver une base de Ker AT orthogonale ?

Answer 64

On trouve la base de At 0 puis b appartient a cette base si b . cette base = 0.

Question 65

Ker AT = ?

Answer 65

Col A

Question 66

Qu'est-ce que la dimension ?

Answer 66

C'est le nombre de vecteurs linéairement indépendants d'unefamille.

Question 67

Qu'est-ce que la multiplicité géonétrique ?

Answer 67

C'est le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants associés à iune valeur propre.

Question 68

Quand est-ce que les colonnes d'une matrice sont orthonormées ?

Answer 68

Quand UTU=I

Question 69

Quand est-ce que les colonnes d'une matrice sont orthogonales ?

Answer 69

Quand UTU diagonale

Question 70

Les lignes d'une matrice sont orthonormées quand ...

Answer 70

UUT = I

Question 71

Quand est-ce que les lignes d'une matrice sont orthogonales ?

Answer 71

Quand UUT diago

Question 72

Si les lignes et les colonnes d'une matrice sont orthogonales est-ce que la matrice est orthogonale ?

Answer 72

Non pas forcément.

Question 73

Comment calculer la projection de b sur (u1 ... up) qui est une base orthogonale ?

Answer 73

bproj = (b . u1)/(u1 . u1) \* u1 + .... up

Question 74

Qu'est-ce qu'est la plus proche distance entre a et col U ?

Answer 74

C'est le projeté de A sur col U.

Question 75

A quoi est égale le projeté de y sur Col U ?

Answer 75

égal à yproj = UUTy