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Algèbre - notions utiles > Séries > Flashcards

Séries Flashcards

1
Q

Si il est dit que v1 et v2 engendrent v3 par combinaison linéaire, qu’est-ce que cela implique ?

A

On aura alors la matrice [v1 v2 v3] qui sera compatible, et x1 * v1 + x2 * v2 = v3.

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2
Q

Comment vérifier qu’un vecteur soit compris dans le plan de R3 engendré par les colonnes de A ?

A

Il faut vérifier si v peut être écrit comme une combinaison linéaire des colonnes de A.

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3
Q

Qu’implique une solution unique ?

A

Il n’y a pas de variable libre.

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4
Q

Quand y a-t-il des variables libres ?

A

Quand il y a une ou plusieurs lignes de 0.

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5
Q

Comment répondre à “Est.ce que A engendre R3 ?”

A

Il faut échelonner la matrice. Si elle a un pivot dans chaque ligne, elle engendre R3.

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6
Q

Comment identifier a quel ensemble une matrice appartient ?

A

Si une matrice est nxm, alors elle appartient à Rn.

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7
Q

Quel est le but global d’une forme paramétrique vectorielle ?

A

Il s’agit d’exprimer chaque variable principale d’une matrice en fonction de variables libres.

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8
Q

Comment déterminer si trois vecteurs sont linéairement dépendants ?

A

Les colonnes d’une matrice sont lineairement independantes si et seulement si une forme echelonnee
de la matrice possede un pivot dans chaque colonne.

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9
Q

Dans un ensemble de vecteurs linéairement dépendants, on peut trouver une relation de dépendance. Comment ?

A

On échechelonne la matrice [v1 v2 v3 0]. Les vecteurs v1 et v2 vont être exprimés en fonction de v4. On aura donc :

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10
Q

Si l’equation Ax=0 admet que 0 pour solution, qu’en est-il de la dépendance linéaire de ses colonnes ?

A

Ses colonnes sont alors linéairement indépendantes.

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11
Q

Comment savoir si une matrice est injective ?

A

Pivot dans chaque colonne de sa forme échelonnée.

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12
Q

Comment savoir si une matrice est surjective ?

A

Pivot dans chaque ligne de sa forme échelonnée.

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13
Q

Comment savoir si une matrice est bijective ?

A

Pivot dans chaque colonne ET chaque ligne de sa forme échelonnée.

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14
Q

Quelle condition doivent remplir A et B dans le produit AB ?

A

Il doit y avoir autant de lignes dans A que de colonnes dans B.

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15
Q

Peut-on développer un produit de matrice, du genre (A+B)(A-B) = AA - AB + BA -BB ?

A

Oui.

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16
Q

Quelles sont les deux méthodes pour calculer une matrice inverse ?

A

On peut ou échelonner la matrice [M I] et on aura [I M^-1]

Ou on utilise le déterminant (Déterminant d’une matrice 2x2 : ad-bc).

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17
Q

Si on connait l’inverse d’une matrice et qu’on cherche à trouver x dans Ax=b, que peut on faire ?

A

A^-1 B = x. (par produit matriciel)

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18
Q

Qu’est-ce qu’une matrice élémentaire ? Comment raisonner lorsqu’on doit en trouver une ?

A

Une matrice élémentaire permet d’effectuer des opérations élémentaires sur une matrice lorsqu’on la multiplie avec elle.

Il suffit de raisonner avec la matrice identité : 1 0 0 correspondra a la première ligne, donc 8 0 0 correspondra a 8 fois la première ligne. Si on veut ajouter 6 fois la 2e ligne à la première, on aura la ligne correspondante : 1 6 0.

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19
Q

A quelle condition une matrice est inversible en rapport avec les pivots ?

A

Une matrice nxn est inversible si elle a n pivots.

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20
Q

Si une matrice A est inversible, qu’en est-il de sa transposée ?

A

Sa transposée est aussi inversible.

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21
Q

Comment faire le produit colonnes lignes d’une matrice ?

A

Exemple matrice 3x2 * matrice 2*3 : On prend la première colonne, qu’on multiplie par la première ligne de l’autre matrice, formant une matrice 3*2. On prend la 2e colonne qu’on mutliplie par la 2e ligne, formant une autre matrice 2x2. Il suffit ensuite d’additionner ces deux matrices.

Bref : AB = coln(A)Lignn(B)+coln+1(A)lignn+1(B)

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22
Q

Décrire la factorisation LU.

A

L est une matrice triangulaire inférieure. Elle a donc des 1 partout sur sa diagonale.

Etape 1 : la première colonne de L correspond à la première colonne de la matrice A divisée par son premier élément.

Etape 2 : On échelonne A pour placer des 0 sous la première colonne, puis on s’arrête et on biffe la première ligne et première colonne. Puis, on applique a nouveau l’étape 1 pour la 2e colonne de L.

La matrice U est la forme échelonnée de A.

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23
Q

Comment se calculer le déterminant d’une matrice triangulaire ?

A

C’est le produit des éléments diagonaux.

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24
Q

Quelle est la formule générale de calcul d’un déterminant ?

A

det A = A1n det (A1n) (-1)^(1+n)

A1n étant la matrice biffée de la première ligne et la nième colonne.

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25
Q

Dans le calcul d’un déterminant, on peut choisir la ligne à partir de laquelle on calcule le déterminant. Comment la choisir ?

A

Il faut choisir celle avec le plus de 0, ce qui limitera grandement le nombre d’opérations à effectuer.

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26
Q

Dans certains cas en algèbre, si une démonstration ne vient pas a l’esprit, que faire ?

A

Penser à utiliser des contre-exemples !

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27
Q

Peut on appliquer le déterminant comme une fonction ? C’est à dire : AC=CA <=> det(AC)=det(CA) ?

A

Non !

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28
Q

est-ce que det(A)det(C)<=>det(AC) ?

A

Oui.

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29
Q

Quelle est la méthode pour calculer l’inverse de n’importe quelle matrice avec un déterminant ?

A

1/(det A) * (Com A)T

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30
Q

Qu’est-ce que la comatrice A ?

A

Il s’agit de la matrice ayant pour coeff. Cji = (-1)^(i+j)*det(Aji).

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31
Q

Comment calculer rapidement un coeff précis d’une matrice inverse ?

A
32
Q

est-ce que le déterminant d’une forme échelonnée (sans échange sur les lignes ?) est égal au déterminant de la matrice complète ?

A

Il semblerait ?

33
Q

Comment calculer le volume d’une parallélépipède dont les sommets sont définis par les colonnes d’une matrice 3x3 a?

A

Il suffit de calculer la valeur absolue du déterminant de cette matrice.

34
Q

Définir le noyau d’une matrice.

A

Le noyau d’une matrice est l’ensemble des solutions de l’équation Ax=0.

35
Q

Comment vérifier qu’un vecteur appartient à Ker A ?

A

Si Aw=0 (par produit matriciel) alors w appartient à Ker A.

36
Q

Pour une matrice nxm, Ker A est un sous espace de ..? Et Col A ?

A

Ker A est un sous-espace de Rm. ColA est un sous espace de Rn.

37
Q

SI il y a un pivot dans la dernière colonne, le système est-il compatible ?

A

Non.

38
Q

Quand les colonnes d’une transformation linéaire n’engendrent pas l’espèace d’arrivée, cette transformation n’est pas… ?

A

Surjective !

39
Q

Si le résultat d’une transformation linéaire n’admet que la solution triviale à l’équation Cx=0, C étant son résultat, alors cette transformation n’est pas…?

A

Injective.

40
Q

Qu’est-ce que T(x) ?

A

T(x) est une transformation linéaire, mais aussi un vecteur !

Une transformation linéaire peut donc avoir un noyau ou une image…

41
Q

Comment prouver qu’une application est linéaire ?

A

Il faut prouver que :

T(A+B)=T(A)+T(B)

et cT(A)=T(aC)

42
Q

Quand est-ce que les colonnes d’une matrice forment une base de Rn ?

A

SI il y n’y a pas que des colonnes pivot (ensemble l.i)

Si ces colonnes engendrent Rn (chaque ligne est pivot).

43
Q

Comment trouver une base engendrée par les vecteurs v1 v2 v3 v4 ?

A

Il faut échelonner la matrice correspondante, puis vérifier que toutes les lignes sont pivot et que toutes les colonnes ne sont pas pivot. La base sera formée par les vecteurs correspondants aux colonnes pivot de la matrice échelonnée.

Si une colonne peut s’écrire sous combinaison linéaire d’une autre, on peut l’enlever pour avoir un ensemble linéairement dépendant.

44
Q

Quelle est la méthode pour trouver une matrice de changement de coordonnées ?

A

Si on a une base B [b1 b2 b3], alors on a

[b1 b2 b3 x] = [x]b.

Bx=[X]b.

45
Q

Qu’est-ce que la matrice de changement de coordonnées Pb ?

A

Il s’agit de la matrice dont les colonnes correspondent aux vecteurs de la base.

D’ou Pb[x]b=x donc x*Pb^(-1)=[x]b

46
Q

Définir une matrice canonique associée à une transformation linéaire.

A

?

47
Q

A quoi est égale le rang d’une matrice ?

A

Au nombre de colonnes pivot de sa forme échelonnée.

48
Q

Comment former une base de Col A ?

A

En cherchant les vecteurs correspondants aux colonnes pivots de sa forme échelonnée.

49
Q

Comment former une base de ligne A ?

A

Elle correspondra aux lignes non-nulles de sa forme échelonnée.

50
Q

Quelle relation lie col A et lign A ?

A

Col A^T = Lign A et Lign A^T = Col A

51
Q

Comment trouver les coefficients de la combinaison linéaire v = c1v1 + cpvp ?

A

Cj = (y . uj)/(uj . uj)

52
Q

Qu’est-ce qu’unematrice diagonale ?

A

C’est une matrice avec seulement des éléments diagonaux.

53
Q

Quand est-ce qu’une matrice est diagonalisable ?

A

Elle doit avoir n valeurs propres distinctes, et n vecteurs propres linéairement indépendants. La dimension du sous espace propre doit être égale à la multiplicité algébrique de la valeur propre associée.

54
Q

Si il y a plusieurs vecteurs propres pour une valeur propre comment les trouver ?

A

En utilisant la forme paramétrique vectorielle pour exprimer la solution générale du système.

55
Q

Comment trouver une base d’un ensemble de vecteurs ?

A

On forme la matrice augmentée de 0, on échelonnes, et les colonnes pivot forment la base.

56
Q

Comment trouver une base dans laquelle une transformation T est diagonale ?

A

On cherche les valeurs et vecteurs propres de A pour savoir si elle peut être diagonale. Si A est diagonalisable alors la base dans laquelle T:x est diagonalisable est onstituée des vecteurs propres de A.

57
Q

Quand on cherche des vecteurs propres, comment les représenter ?

A

On évite de mettre un signe négatif en haut, et de laisser des fractions (quitte a multiplier le vecteur par deux).

58
Q

Quelle propriété a une matrice 2x2 admettant une valeur propre complexe, avec v le vecteur propre associé ?

A

Alors on a A= PCP^-1 avec P[Re v Im v]

C[a -b]

[b a]

59
Q

A quoi revient un produit scalaire ?

A

A faire uTu.

60
Q

Comment caractériser un espace orthogonal au plan w engendré par u et v ?

A
61
Q

Qu’est ce qu’une norme ?

A

C’est sqrt(u . u)

62
Q

Comment normaliser un vecteur ?

A

C’est le vecteur divisé par la norme.

63
Q

Comment trouver une base de Ker A ?

A

On échelonne A 0.

64
Q

Dans Ax = b comment trouver une base de Ker AT orthogonale ?

A

On trouve la base de At 0 puis b appartient a cette base si b . cette base = 0.

65
Q

Ker AT = ?

A

Col A

66
Q

Qu’est-ce que la dimension ?

A

C’est le nombre de vecteurs linéairement indépendants d’unefamille.

67
Q

Qu’est-ce que la multiplicité géonétrique ?

A

C’est le nombre de vecteurs propres linéairement indépendants associés à iune valeur propre.

68
Q

Quand est-ce que les colonnes d’une matrice sont orthonormées ?

A

Quand UTU=I

69
Q

Quand est-ce que les colonnes d’une matrice sont orthogonales ?

A

Quand UTU diagonale

70
Q

Les lignes d’une matrice sont orthonormées quand …

A

UUT = I

71
Q

Quand est-ce que les lignes d’une matrice sont orthogonales ?

A

Quand UUT diago

72
Q

Si les lignes et les colonnes d’une matrice sont orthogonales est-ce que la matrice est orthogonale ?

A

Non pas forcément.

73
Q

Comment calculer la projection de b sur (u1 … up) qui est une base orthogonale ?

A

bproj = (b . u1)/(u1 . u1) * u1 + …. up

74
Q

Qu’est-ce qu’est la plus proche distance entre a et col U ?

A

C’est le projeté de A sur col U.

75
Q

A quoi est égale le projeté de y sur Col U ?

A

égal à yproj = UUTy

76
Q
A

Algèbre - notions utiles (1 decks)

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