Section C

Question 1

Qu’est-ce qu’une courbe?

Answer 1

La trajectoire décrite par une particule qui se déplace

Question 2

Qu’est-ce qu’une courbe paramétrée?

Answer 2

Une fonction continue alpha : I –> Reels ^n, n=2, 3

Question 3

L’image de alpha(I)

Answer 3

Trajectoire ou la trace de alpha

Question 4

Trace de alpha

Answer 4

L’image de alpha(I)

Question 5

alpha est un paramétrage de C

Answer 5

lorsque sa trace est égale à C

Question 6

Vrai ou faux

une courbe dans R^2 peut etre vue comme une courbe dans R^3

Answer 6

Vrai avec z = 0

Question 7

Une courbe est simple si

Answer 7

alpha est injective

Question 8

Une courbe est fermée si

Answer 8

I = [a, b] et alpha(a) = alpha(b)

Question 9

Si alpha est fermée, peut-elle être simple?

Answer 9

oui, elle est simple si alpha est injective sur [a, b)

Question 10

Courbe de Jordan

Answer 10

Fermée et simple

Question 11

Droite

Answer 11

La droite passant par deux points de R^3 est

a (t) = p + t(q-p) avec t un réel

Question 12

Vecteur directeur d’une droite passant par p et q

Answer 12

u := q - p est ce vecteur

Question 13

Trace d’une droite passant par p et q

Answer 13

D:= alpha(Reel) est la trace

Question 14

Qu’elle est le segment pq d’une droite passant par p et q

Answer 14

alpha([1, 0])

Question 15

Deux paramétrages de D := alpha(réel)

Droite

Answer 15

a(t) := p + t(q-p)

B(s) := q + 2s(p-q)

Question 16

Paramétrage d’un cercle

Answer 16

a(t) := (cost, sint) où t est entre 0 et 2 pi

Question 17

Paramétrage d’une ellipse de centre c et de demi-axes u et v

Answer 17

α(t) − c = (|u| cost)f1 + (|v|sin t)f2.

f1 = u/|u| et f2 = v/|v|

IL FAUT QUE u prod. scal. v = 0

Question 18

Équation de la courbe dont le paramétrage est

a(t) = c + ucost + vsint

Answer 18

x^2/ |u|^2 + y^2/|v|^2 = 1 où x:= |u| cost et y:= |v| sint

Question 19

Qu’est-ce qu’un cycloïde

Answer 19

trajectoire d’un point sur un cercle qui roule en ligne droite

Question 20

Centre du cercle d’un cycloide

Answer 20

(0, rayon)

Question 21

Forme paramétrée d’un cycloide

Answer 21

alpha(t) = a(t-sint, 1-cost)

où a est le rayon du cercle et t est entre 0 et 2 pi

Question 22

lim alpha(t)

Answer 22

limite des composantes

Question 23

alpha’(t)

Answer 23

= (x’(t), y’(t), z’(t))

Question 24

(alpha + beta)’

Answer 24

alpha’ + beta’

Question 25

(falpha)’=

Answer 25

f’alpha + falpha’

Question 26

(alpha(g(t)))’=

Answer 26

g’(t)alpha’(g(t))

Question 27

(alpha produit vectoriel beta)’ =

Answer 27

alpha’ prod. vect beta + alpha prod. vect beta’

Question 28

(alpha x beta)’ =

Answer 28

alpha’ x beta + alpha x beta’

Question 29

Interprétation géométrique de alpha’(t)

Answer 29

C’est la tangente à la courbe en alpha(t)

Question 30

Interprétation cinématique de alpha’(t)

Answer 30

C'est la vitesse vectorielle
si alpha(t) représente la position au temps t

Question 31

Vitesse curviligne

Answer 31

|alpha’(t)|

déplacement par unité de temps

Question 32

Qu’est-ce que alpha’

Answer 32

vecteur tangent à alpha ou le vecteur vitesse de alpha

Question 33

alpha régulière en t

Answer 33

si alpha’(t) != 0

Question 34

alpha singulière en t

Answer 34

alpha’(t) = 0 en t

Question 35

alpha régulière

Answer 35

si alpha’ != 0 sur tout le domaine de definition de alpha

Question 36

Condition pour la droite tangente à alpha en t

Answer 36

alpha est régulière en t

Question 37

droite tangente à alpha en t est

Answer 37

Δ(λ) := alpha(t) + λalpha’(t) où λ est un réel

Question 38

Vecteur tangent unitaire à alpha en t

Answer 38

T(t) := alpha’(t) / |alpha’(t)|

Question 39

Condition pour le vecteur tangent unitaire à alpha en t

Answer 39

alpha est régulière en t

Question 40

Point de rebroussement en t

Answer 40

lim T(s) = -lim T(s)
 s→t−          s→t+

Question 41

Courbe paramétrée d’une hélice

Answer 41

alpha(t) = (acost, asint, bt)

Question 42

alpha est rectifiable

Answer 42

l(alpha) < infini

Question 43

longueur de alpha

Answer 43

=
b
l(alpha) ∫ |alpha’(t)| dt
a

Question 44

Interprétation de
b
l(alpha) ∫ |alpha’(t)| dt
a

Answer 44

distance parcourue entre t = a et t = b

Question 45

L’abscisse curviligne ou la longueur d’arc d’origine t0 est définie par

Answer 45

.
t
s(t):= ∫ |alpha’(t)| dt
t0