Rel et Fct Flashcards
Relation
Une relation d’un ensemble A vers un ensemble B établit un lien entre certains éléments de l’ensemble A, appelés antécédents et certains éléments de l’ensemble B appelés images.
Relation Numérique
Une relation numérique est une relation de l’ensemble IR vers l’ensemble IR qui établit en lien entre les réels.
Fonction numérique
Une fonction numérique d’une variable réelle est une relation de IR dans IR qui à chaque réel de l’ensemble de départ, fait correspondre au plus un réel de l’ensemble d’arrivé.
Propriété 1 : injectivité
Soit ƒ une fonction, alors : ƒ injective <=> pour tout a, b appartenant au domaine de ƒ : a différent de b → ƒ(a) différent de ƒ(b)
Propriété 2 : Bijectivité
si une fonction ƒ est injective et définie du domaine de ƒ vers l’image de ƒ alors ƒ est une fonction bijective du domaine de ƒ vers l’image de ƒ
Propriété 3 : contraposée de l’injectivité
soit ƒ une fonction alors : Si pour tout a, b du domaine de ƒ : ƒ(a) = ƒ(b) → a = b => ƒ injective
Théorème 1 : Injectivité et monotonie
Si une fonction ƒ est continue sur un intervalle I et strictement monotone sur I alors ƒ est injective
Propriété 4 : Composée d’une fonction et sa réciproque
Si f est une fonction injective alors sa réciproque et une fonction g et g(f(x)) = f(g(x)) = x
Propriété 5 : domaine et image de la réciproque
Si f est une fonction bijective de dom f vers Im f alors sa réciproque est une fonction de Im f vers dom f
Propriété 6 : Graphe de la réciproque
Dans un repère orthonormé, les graphes de f et de sa relation réciproque sont symétrique par rapport à la 1re bissectrice des axes de coordonnées, c-à-d la droite d’équation y = x.
Théorème 3 : Injectivité et croissance
Si une fonction f est continue sur un intervalle I est strictement croissante (respectivement décroissante) sur I alors f admet une fonction réciproque f-1 continue strictement croissante (respectivement décroissante)
Théorème 4 : Dérivée de la fonction réciproque
Soit f une fonction de IR → IR, injective et soit x appartenant à dom f-1. Si f’(f-1(x)) existe et est différente de 0 alors (f-1)’(x) = 1/f’(f-1(x))
