quantique 1 (intra)

Question 1

Expliquer ce qu’est le postulat 1

Answer 1

A un instant t_0 fixé, l’état d’un système physique est défini par la donnée d’un ket |ψ (t_0)⟩ appartenant à
l’espace des états 𝐄 .

Question 2

Expliquer ce qu’est le postulat 2

Answer 2

Toute grandeur physique mesurable 𝐀 est décrite par un opérateur A agissant dans 𝐄 ; cet opérateur est une observable.

Question 3

Expliquer ce qu’est le postulat 3

Answer 3

La mesure d’une grandeur physique 𝐀 ne peut donner comme résultat qu’une des valeurs propres de l’observable A correspondante.

Question 4

Expliquer ce qu’est le postulat 4 (cas d’un spectre discret non-dénégéré)

Answer 4

Lorsqu’on mesure la grandeur physique 𝐀 sur un système dans l’état |ψ⟩ normé, la probabilité 𝒫 (𝑎ₙ) d’obtenir comme résultat la valeur propre
non-dégénérée an de l’observable A correspondante est :
𝒫 (𝑎ₙ) = |⟨𝑢ₙ | ψ⟩|^2
où |𝑢ₙ⟩ est le vecteur propre normé de A associé à la valeur propre 𝑎ₙ

Question 4

Expliquer ce qu’est le postulat 4 (cas d’un spectre discret)

Answer 4

Lorsqu’on mesure la grandeur physique 𝐀 sur un système
dans l’état |ψ⟩ normé, la probabilité P (an) d’obtenir comme résultat la valeur propre an de l’observable
A correspondante vaut :
P(𝑎ₙ) = Σ (i=1 to 𝑔ₙ) |⟨𝑢ₙⁱ, ψ⟩|^2
où 𝑔ₙ est le degré de dégénérescence de 𝑎ₙ, et { |𝑢ₙⁱ⟩ } (i=1,2, …, 𝑔ₙ) est un système orthonormé de vecteurs formant une base dans le sous-espace propre ℰₙ associé à la valeur propre 𝑎ₙ de A.

Question 5

Expliquer ce qu’est le postulat 4 (cas d’un spectre continu et non-dégénéré)

Answer 5

Lorsqu’on mesure la grandeur physique 𝐀 sur un système dans l’état |ψ⟩ normé, la probabilité d𝒫(α) d’obtenir un résultat compris entre α et α+dα vaut :
d𝒫(α) = |⟨𝑣_α, ψ⟩|^2 dα

où |𝑣_α⟩ est le vecteur propre, correspondant à la valeur propre α de l’observable A associée à 𝐀.

Question 6

Expliquer ce qu’est le postulat 5

Answer 6

Si la mesure de la grandeur physique ℰ𝐴 sur le système dans l’état |ψ⟩ donne le résultat 𝑎ₙ, l’état du système immédiatement après la mesure est la projection normée, (𝑃ₙ|ψ⟩) / √⟨ψ|𝑃ₙ|ψ⟩, de |ψ⟩ sur le sous-espace propre associé à 𝑎ₙ.

Question 7

Expliquer ce qu’est le postulat 6

Answer 7

L’évolution dans le temps du vecteur d’état |ψ(t)⟩ est régie par l’équation de Schrödinger :
iℏ d/dt |ψ(t)⟩ = H(t)|ψ(t)⟩

où H(t) est l’observable associée à l’énergie totale du système.

Question 8

Expliquer ce qu’est la relation de fermeture

Answer 8

La relation de fermeture consiste au fait que si l’on l’on forme une matrice dans la base des vecteurs propres d’un ket, alors la somme de tous les |uᵢ >< uᵢ| donne la matrice identité.

Question 9

Expliquer ce qu’est un opérateur hermitique

Answer 9

Un opérateur A est dit hermitique si
A† = A.

cette propriété impose que les valeurs propre soit réel (soit les mesure possible)

Preuve:
< e_i | A | e_j> † = < e_j | A | e_i> *
a_ij = a_ij † = a_ji *

Donc, a_ij = a_ji *
Pour la diagonale : a_ii = a_ii *
Ainsi, tous les éléments de la diagonale sont nécéssairement réels.

Question 10

Expliquer ce qu’est un conjugué hermitique

Answer 10

[A, B]† = [B†, A†]

Question 11

Expliquer ce qu’est un observable

Answer 11

Une observable comme un opérateur hermitique dont les valeurs propre sont les mesure possible et les vecteurs propres forment une base.

Question 12

Expliquer ce qu’est une décomposition spectral

Answer 12

la décomposition spectrale d’un opérateur:
A = 𝐼A𝐼 = Σₙ Σ(ᵢ=₁ to gₙ) aₙ|ψₙⁱ⟩⟨ψₙⁱ| .

pour pour une valeur propre dégénérée gₙ fois . Cette relation n’exprime rien d’autre que le fait qu’un opérateur est diagonal dans la base de ses états propres.

Question 13

Expliquer ce qu’est un bon nombre quantique

Answer 13

En mécanique quantique, étant donné un hamiltonien particulier H et un opérateur O avec les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants donnés par O|𝑞ⱼ⟩ = 𝑞ⱼ|𝑞ⱼ⟩, les 𝑞ⱼ sont dits de bons nombres quantiques si chaque vecteur propre |𝑞ⱼ⟩ reste un vecteur propre de O avec la même valeur propre au fur et à mesure que le temps évolue.

Autrement dit, les valeurs propres 𝑞ⱼ
sont de bons nombres quantiques si l’opérateur correspondant Ô est une constante de mouvement. De bons nombres quantiques sont souvent utilisés pour étiqueter les états initiaux et finaux dans les expériences.

Question 14

Expliquer ce qu’est la fréquence de Bohr

Answer 14

La fréquence de Bohr se trouve par le calcul de la valeur moyenne d’un opérateur qu’on pose indépendante du temps explicitement. Ce faisant, on obtient une exponentielle qui dépend du temps.

Plus précisément ν = |En-Em|/h

Question 15

Expliquer le théorème d’Ehrenfest

Answer 15

d/dt ⟨A⟩ = (1/iℏ)⟨ψ|[A, H]|ψ⟩ + ⟨ψ|∂A/∂t|ψ⟩.

Appliqué à l’opérateur X:
d/dt ⟨X⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[X, H]|ψ⟩ + ⟨ψ|∂X/∂t|ψ⟩
d/dt ⟨X⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[X, P^2/2m + V(X)]|ψ⟩ + 0
d/dt ⟨X⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[X, P^2/2m ]|ψ⟩ + 0 , car X commute avec V(X)
d/dt ⟨X⟩ = (1/2miℏ) ⟨|P[X, P ]+[X,P]P|⟩
d/dt ⟨X⟩ = (1/2miℏ) ⟨|P[X, P ]+[X,P]P|⟩
d/dt ⟨X⟩ = (1/2miℏ) ⟨2P iℏ⟩
d/dt ⟨X⟩ = ⟨P⟩ /m
,ce qui concorde avec l’équation classique mx’’ = dp/dt = f
en quantique : ⟨X⟩ ‘’= ⟨P⟩’/ m = < F>/m

Appliquée à l’opérateur P:
d/dt ⟨P⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[P, H]|ψ⟩ + ⟨ψ|∂P/∂t|ψ⟩
d/dt ⟨P⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[P, H]|ψ⟩ + 0
d/dt ⟨P⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[P, P^2/2m + V(X)]|ψ⟩
d/dt ⟨P⟩ = (1/iℏ) ⟨ψ|[P,V(X)]|ψ⟩ , car P commute avec P^2
d/dt ⟨P⟩ = (1/iℏ) ⟨[P,V(X)]⟩
d/dt ⟨P⟩ = (1/iℏ) ⟨- iℏ ∂V(X)/∂x⟩ , car [P,G(X)] = -iℏ G’(X)
d/dt ⟨P⟩ = - ⟨∂V(X)/∂x⟩
, ce qui concorde avec l’équation classique dp/dt = -grad(V) = -∂V(x)/∂x
en quantique: d/dt ⟨P⟩ = - ⟨∂V(X)/∂x⟩ = -⟨F⟩

Question 16

Expliquer ce qu’est la fluctuation quantique

Answer 16

une fluctuation quantique est un changement aléatoire et temporaire de la quantité d’énergie en un point de l’ espace tel que prescrit par le principe d’incertitude d’Heisenberg .

Question 17

Expliquer ce qu’est un mélange statistique

Answer 17

Un mélange statistique c’est lorsqu’il y a présence d’un certain pourcentage de |ψᵢ⟩. Par exemple, on pourrait avoir 50% de |ψ₁⟩ et 50% de |ψ₂⟩. Les kets sont définis; ils sont distincts dans le mélange.

Question 18

Expliquer ce qu’est une superposition d’état

Answer 18

À l’opposition avec le mélange statistique, la superposition implique que |ψ⟩ est une combinaison linéaire de d’autres kets, par exemple |ψ⟩ = ½|φ₁⟩ + ½|φ₂⟩. Donc, quand on trouve la probabilité d’avoir aₙ, on a la somme |½ + ½|^2, ce qui va engendrer des interférences. VS dans le cas de mélange statistique, on a plutôt pour P(aₙ) = |½|^2 + |½|^2 où il n’y a pas d’interférence.

Question 19

Expliquer ce qu’est une base de fonction

Answer 19

Une base de fonction de l’espace des états respecte la relation d’orthogonalité et la relation de fermeture. Les éléments de la base sont linéairement indépendants et suffisants pour que la combinaison linéaire de ceux-ci engendre n’importe quel vecteur de l’espace d’hilbert

Question 20

Expliquer ce qu’est une base dégénérée

Answer 20

Une base est dégénérée lorsque plusieurs vecteurs propres formant la base sont associés à une même valeur propre dite dégénérée, soit plusieurs états propres associés à une même valeur propre d’un opérateur.

Question 21

Expliquer ce qu’est un opérateur unitaire

Answer 21

Un opérateur U est dit unitaire si son inverse est égal à son adjoint:
U† = U⁻¹ ⟹ U†U = UU† = 𝐼.

Les opérateurs unitaires préservent le produit scalaire et donc la norme. Considérons en effet:
|ψ̃₁⟩ = U|ψ₁⟩ et |ψ̃₂⟩ = U|ψ₂⟩.

Le produit scalaire de ces kets est:
⟨ψ̃₁|ψ̃₂⟩ = ⟨ψ̃₁|U†U|ψ̃₂⟩ = ⟨ψ₁|ψ₂⟩.

Question 22

Expliquer ce qu’est l’évolution de |ψ(t)⟩

Answer 22

postulat 6?

Question 23

Expliquer ce qu’est une constante du mouvement

Answer 23

Si l’observable A commute avec l’hamiltonien H, ses mesure possible n’évolue pas dans le temps. On dira alors que cette observable est une constante du mouvement.

Question 24

Expliquer ce qu’est la valeur moyenne

Answer 24

Considérons un système dont l’état |ψ(t)⟩ évolue dans le temps. La valeur moyenne, au temps t, de l’observable A est donnée par:
⟨A⟩(t) = ⟨ψ(t)|A|ψ(t)⟩.

Question 25

Expliquer ce qu’est l’état de polarisation d’un photon

Answer 25

Considérons maintenant un seul photon. On choisit comme état de base les polarisations linéaires horizontales et verticales:
|→⟩ ; |↑⟩.

Ces états sont définis physiquement par le fait que si le photon est dans l’état de polarisation |→⟩, il passe dans un polariseur d’axe horizontal avec probabilité 1 et est absorbé par un polariseur vertical (il est transmis avec probabilité 0). Ces états sont donc orthogonaux ⟨↑|→⟩ = 0. L’état d’un photon peut être la superposition |ψ_θ, φ⟩ quelconque de ces deux états de base. Par exemple:
|θ⟩ = cos(θ)|→⟩ + sin(θ)|↑⟩.

(faire des numero dans les anciens exam)

Question 26

Expliquer ce qu’est un ensemble complet d’observables qui commutent ( ECOC )

Answer 26

Un ensemble d’observables A, B, C, . . . qui commutent toutes deux à deux forment
un ECOC si la donnée des valeurs propres de chacune des observables de l’ensemble détermine
uniquement autant de vecteurs propres communs.

Question 27

Expliquer ce qu’est la propriété des observables avec [G,F] = iℏ

Answer 27

Lorsque les opérateurs ne commutent pas, on ne peut pas mesurer leurs valeurs simultanément, comme l’ordre dans lequel on effectue la mesure change le résultat. Cela concorde avec le principe d’incertitude de Heisenberg qui dit qu’il est impossible de connaître précisément la valeur de l’impulsion ainsi que la position d’une particule en même temps.

La relation d’indétermination de Heisenberg peut se calculer comme ΔG⋅ΔF ≥ ℏ/2, où:
ΔF = √(⟨F²⟩ - ⟨F⟩²)
ΔG = √(⟨G²⟩ - ⟨G⟩²)

⟨F⟩ = ⟨ψ|F|ψ⟩
⟨G⟩ = ⟨ψ|G|ψ⟩

De manière plus directe on a:
ΔG· ΔF ≥ 1/2|⟨[G, F]⟩|
ΔG· ΔF ≥ 1/2|⟨iℏ⟩|
ΔG· ΔF ≥ ℏ/2

Question 28

Expliquer ce qu’est l’équation de ⟨A⟩(t)

Answer 28

⟨ψ|A|ψ⟩(t) , c’est la valeur moyenne de A.

Question 29

Expliquer ce qu’est la quantification

Answer 29

La quantification vient du fait que toutes les mesures physiques en quantique sont représentées par des opérateurs qui agissent sur une fonction d’onde. De plus, selon les postulats de la mécanique quantique, les mesures physiques associées à ses opérateurs ne peuvent uniquement être les valeurs propres réelles de ses opérateurs hermitiques et ces valeurs propres étant quantifiées, il en résulte que les mesures physiques sont quantifiées en quantique

Question 30

Supplément:
Quels sont les états de polarisation dans la base {|e_i⟩}….
Pour la polarisation Circulaire ?
Linéaire ?

Answer 30

Linéaire avant: 1/√2 (e_x + e_y)
Linéaire arrière: 1/√2 (e_x - e_y)

Circulaire droite: 1/√2 (e_x + i e_y)
Circulaire gauche: 1/√2 (e_x - i e_y)

Question 31

Supplément 2:

Comment dériver les fréquences de Bohr à l’aide de la formule de la moyenne d’un opérateur? Nommez la signification de chaque terme de l’expression obtenue.

Quels sont les critères de sélection des fréquences de Bohr ?

Answer 31

Si on prend un ket dans son état stationnaires et qu’on prend la moyenne d’un opérateur qui ne dépend pas du temps, on obtient l’expression suivante:
⟨B⟩ = ⟨ψ|B|ψ⟩
= ΣₙΣₙ’ΣtΣt’ cnt(0) cn’t’(0) exp(i (En-En’)(t-to)/ℏ) ⟨φnt|B|φn’t’⟩
Ici,
cnt(0) cn’t’(0) : Exprime le poids des fréquences de Bohr en fonction de l’état initial

exp(i (En-En’)(t-to)/ℏ) : Exprime les termes oscillants en fonction de la fréquence de Bohr

⟨φnt|B|φn’t’⟩ : Une matrice qui possède des éléments nuls et non nuls qui vont déterminer les n n’ soit les fréquences qui seront considérés ou non. C’est l’origine des critères de sélection.

Question 32

Supplément 3:

Quelle est l’importance de la notion d’amplitude de probabilité?

Answer 32

1. Les prédictions probabilistes de la quantique sont toujours obtenus à partir d’amplitude de probabilité dont on prend le module au carré. (apparition d’interférence)
2. Lorsqu’on ne fait aucune mesure sur un stade intermédiaire ex. A, B, C où on mesure sur juste A et C (initial final sans connaître ce qu’il se passe à B), alors il n’y a pas de réduction du paquet d’onde en B; l’onde passe par toutes les possibilités. En probabilité, on a:
   Pa(c) = |Σₙ ⟨ai|bn⟩ ⟨bn|cj⟩|^2 = |⟨ai|cj⟩|^2 , par la relation de fermeture.
   C’est comme si B n’existait pas.
3. Le fait qu’un état physique soit linéairement superposables implique qu’une amplitude de probabilité se présente souvent comme une somme d’amplitudes partielles. Comme la probabilité est le module au carré d’une somme de terme, il en résulte que les amplitudes partielles interfèrent entre elles , par les termes croisés.