Quantica Questoes teóricas

Question 1

Enuncie os postulados da Relatividade Especial proposta por Einstein em 1905 e discuta suas consequências.

Answer 1

Os postulados da relatividade são:
• As leis da física são as mesmas em todos os sistemas de referencia inercial.
• A velocidade da luz no vácuo (c) é a mesma para todos os observadores.
O primeiro postulado já estava presente na relatividade de Galileu, ele apenas diz que as leis da física não mudam de acordo com o referencial. Isso é bastante razoável, caso contrario teríamos uma lei diferente para cada observador.
O segundo postulado, por outro lado, é uma ruptura com a física tradicional, em que existe a lei de composição de velocidades: a velocidade de um objeto se soma a velocidade do referencial para um observador externo. Como a velocidade é uma relação entre espaço e tempo esse postulado implica que o tempo deixa de ser absoluto e a velocidade da luz passa a ter esse papel. Dessa forma
deve existir uma relação de transformação que mistura espaço e tempo: são as transformações de Lorentz.

Question 2

O que é um corpo negro e quais são as características da radiação por ele emitida?

Answer 2

Um corpo negro é um objeto que absorve toda radiação incidente sobre ele. As suas características são: A radiação emitida em equilíbrio térmico é determinada somente pela temperatura; a radiação é isotrópica e um corpo negro é um emissor ideal, ou seja, ele emite mais radiação que outros corpos na mesma temperatura.

Question 3

Comente os resultados experimentais que levaram Stefan a propor que a energia total emitida por um corpo negro é proporcional a quarta potência da temperatura absoluta.
Enuncie e explique qual foi a contribuição de Boltzmann para a assim chamada Lei de Stefan-Boltzmann.

Answer 3

Experimentalmente verifica-se que um corpo negro emite mais radiação com o aumento da temperatura. A lei diz que RT = σTˆ4, o que comprova a observação anterior. Stefan obteve essa lei experimentalmente, alguns anos depois Boltzmann a deduziu a partir da termodinâmica.

Question 4

Porque a lei de deslocamento de Wien recebeu este nome?

Answer 4

A lei de Wien diz que νmax ∝ T, ou seja, a frequência máxima vai se deslocando conforme a temperatura aumenta, por isso ´e chamada de lei de deslocamento de Wien

Question 5

Explique (qualitativamente) como Rayleigh chegou a ”Lei Clássica da Radiação” e o que ´e a catástrofe do ultravioleta.

Answer 5

Considere uma cavidade esférica a temperatura T que esta emitindo como um corpo negro. Dentro dessa cavidade existem ondas eletromagnéticas estacionarias com nós nas superfícies metálicas. Usando um argumento geométrico podemos contar o numero de ondas no intervalo ν, ν + dν. Usando um resultado de teoria cinética podemos calcular a energia média dessas ondas, que só depende de T. Multiplicando o número de ondas pela energia média e dividindo pelo volume da cavidade nos da o resultado de Rayleigh:
ρT (ν)dν = (8πν2/cˆ3) kT dν (1)
Esse resultado contém o que é chamado a catástrofe do ultravioleta: conforme a frequência aumenta, a densidade de energia aumenta. Como não há limites para a frequência a energia emitida seria infinita, o que esta em desacordo com os resultados experimentais.

Question 6

Quais foram os argumentos de Planck que o levaram a introduzir o quanta(h)?

Answer 6

Para resolver o problema da catástrofe do ultravioleta Planck assumiu que a energia das ondas não é uma variável continua. mas sim discreta. Ele assumiu também que esses quantas de energia são proporcionais a frequência: δ = hν, onde h é uma constante chamada de constante de Planck.

Question 7

Que características experimentais do efeito fotoelétrico podem ser explicadas classicamente? Quais não podem?

Answer 7

O efeito fotoelétrico ocorre quando luz (ou radiação) eletromagnética incide sobre um metal e elétrons são emitidos. Classicamente esperamos que esse efeito
ocorra, porém observamos algumas características que não são explicadas sem a mecânica quântica.
Não importa a intensidade da radiação, o efeito só depende da frequência do fóton incidente. Existe uma frequência de corte tal que abaixo dela não ocorre o fenômeno. A energia cinética dos elétrons também só depende da frequência. Classicamente também esperamos existir um intervalo de tempo entre a incidência da luz e o surgimento dos elétrons, o que tambem não ocorre.

Question 8

Quais foram os argumentos de Einstein para introduzir o conceito de fótons e como ele explicava as falhas na teoria clássica?

Answer 8

Para explicar esse fenômeno Einstein introduziu os fótons, cuja energia só depende da frequência. Dessa forma se explica todos os efeitos mencionados anteriormente: Se a energia de cada fóton estiver abaixo do corte não importa aumentar a quantidade de fótons (intensidade), o efeito não vai ocorrer. O efeito é instantâneo pois os elétrons absorvem rapidamente o fóton com a energia adequada, não precisa esperar juntar a energia conforme a descrição clássica.

Question 9

Explique o que é a dualidade onda-partícula das ondas eletromagnéticas

Answer 9

Ondas eletromagnéticas podem apresentar tanto propriedades de ondas como de partículas. Alguns resultados experimentais indicam que fótons são partículas e outros que são, por cauda disso falamos em dualidade. Dependendo da situação é mais conveniente tratar a luz como onda ou como partícula.

Question 10

Comente, suscintamente, quais são as características da radiação emitida por um gás excitado e como elas influenciaram os modelos atômicos propostos posteriormente

Answer 10

Gases excitados emitem radiação com um espectro de linha, diferentes gases apresentam diferentes espectros. Para explicar esses espectros foi preciso modificar a visão sobre os átomos, nessa época surgiu o modelo de Bohr que consegue explicar muito bem os dados experimentais. Ele assume que os elétrons dos átomos ocupam níveis de energia discretos, sendo que as linhas observadas correspondem a transições entre esses diferentes níveis.

Question 11

Descreva o modelo de Thomson para o átomo.

Answer 11

O modelo de Thomson consiste em uma substancia que concentra toda a carga positiva e grande parte da massa com os elétrons distribuídos uniformemente. O tamanho da substancia corresponde ao tamanho do átomo. Esse
modelo, apesar de adequado para explicar reações químicas, não consegue explicar os espectros observados

Question 12

Descreva a experiência de espalhamento de Rutherford e o modelo por ele proposto para o átomo, apresentando seus méritos e falhas. Discuta, ainda, como os resultados obtidos por Geiger e Marsden evidenciaram a falha do modelo de Thomson para o átomo e forneceram uma indicação grosseira para o tamanho do átomo.

Answer 12

Rutherford e seus alunos emitiram partículas α numa chapa fina de ouro. A maioria dessas partículas α passam pela chapa com uma pequena deflexão, porém algumas poucas tiveram ângulos de espalhamento muito grandes, até 90 graus ou mais. Com esses resultados eles concluíram que o modelo de Thomson estava incorreto, pois uma carga uniformemente distribuída no átomo no poderia ser responsável por ângulos de espalhamento tão grandes. Eles concluíram que a carga positiva esta concentrada em uma região muito pequena no
átomo, no chamado núcleo atômico.

Question 13

Enuncie os postulados de Bohr e discuta
o modelo por ele proposto para o átomo
comparando-o com o modelo proposto por
Rutherford.

Answer 13

Os postulados de Bohr são:
1. Os elétrons se movem em orbitas circulares ao redor do núcleo sem emitir radiação.
2. O átomo emite radiação quando um elétron passa de uma orbita para outra. A frequência dessa radiação é dada pela formula de Planck: Ei − Ef = hν.
No modelo de Bohr foi usado o resultado de Rutherford sobre o núcleo atômico, alem disso esse modelo descreve como os elétrons se comportam, algo que
Rutherford não fez. Alem disso Bohr incorporou as ideias de Planck sobre quantização de energia no seu modelo. As dificuldades encontradas foram explicadas
através dos postulados. Por exemplo: sabia-se que cargas aceleradas emitem radiação, por isso Bohr introduziu o primeiro postulado.

Question 14

Enuncie e discuta as consequências do princípio da correspondência.

Answer 14

O principio da correspondência diz: No limite de orbitas e energias grandes, os resultados da teoria quântica devem coincidir com os resultados clássicos.
A ideia é que a teoria clássica explica muito bem os fenômenos cotidianos, então a quântica deve fornecer os mesmos resultados nessas situações. Esse principio é usado até hoje para todo tipo de teoria (relatividade geral, teoria quântica de campos, etc).

Question 15

Discuta a experiência de Moseley dos espectros de raio X.

Answer 15

Moseley mediu o espectro em raios-x de vários elementos diferentes, observando que os espectros variam de forma regular de elemento para elemento. Ele
concluiu que esse espectro é devido as transições mais internas dos átomos, pois os elétrons nesses níveis são blindados de influencias externas como a interação com outros átomos ou com elétrons mais externos, dessa forma o espectro fica mais regular e não se modifica muito de átomo para átomo.

Question 16

Descreva a experiência de Frank-Hertz e

discuta seus resultados.

Answer 16

O experimento de Frank-Hertz é o seguinte: Um catodo aquecido emite elétrons até uma grade numa região com diferença de potencial V0. Os elétrons passam por essa grade e são desacelerados até uma placa P, numa região com diferença de potencial um pouco menor, V0 − ∆V , onde são medidos como uma corrente elétrica. Todo o sistema é preenchido com um gás a ser estudado e a experiencia consiste em variar o valor de V0. Observa-se que em um certo potencial a corrente medida em P cai bruscamente, voltando a subir e cair de novo no dobro desse valor e assim por diante. A explicação é que nesse potencial os elétrons tem energia suficiente para excitar o primeiro nível de energia dos átomos do gás (com o dobro de energia eles podem excitar dois átomos diferentes), dessa forma os elétrons perdem energia e não conseguem chegar em P. Essa experiencia é uma forma direta de verificar que átomos possuem níveis de
energia.

Question 17

Discuta os sucessos e as falhas da velha mecânica quântica.

Answer 17

A velha mecânica quântica é um conjunto de teorias desenvolvidas para explicar alguns fenômenos observados no começo do séc XX que a teoria clássica
não explicava, como, por exemplo, efeito fotoelétrico, radiação de corpo negro…
A velha mecânica quântica obteve muito sucesso para explicar esses fenômenos, porém ela era incompleta e não conseguia explicar todas as observações. Isso
mudou com o desenvolvimento da mecânica quântica nos anos 20 com Schrodinger e Heisenberg.

Question 18

Enuncie as relações de de Broglie para a frequência e comprimento de onda das ondas de elétrons e mostre que, juntamente com a condição de onda estacionária, elas são coerentes com a quantização do momento angular no átomo de hidrogênio.

Answer 18

De Broglie propôs que a frequência e o comprimento de onda de eletrons são dadas por
f = E/h, (1)
λ = h/p. (2)
Para uma onda ser estacionaria num círculo seu comprimento de onda deve ser um múltiplo inteiro da circunferência, 2πr = nλ. Dessa forma, usando a
relação anterior:
2πr = nh/p → rp = n¯h. (3)
O momento angular (rp) é quantizado, de acordo com a hipótese de Bohr.

Question 19

Discuta os experimentos de Davisson e Germer e de Thomson que mostraram o caráter ondulatório dos elétrons

Answer 19

Davisson e Germer foram os primeiros a verificar experimentalmente a difração de elétrons, um efeito típico de ondas. O experimento deles consistia em um feixe de elétrons espalhando por um alvo cristalino de níquel, sendo que foi observado um padrão de máximos e mínimos de acordo com o ângulo de espalhamento. O ângulo de espalhamento pode ser identificado com o comprimento de onda incidente de acordo com a relação de Bragg, nλ = D sin φ, onde n é o número do pico de espalhamento, D é o espaçamento na rede cristalina
e φ o ângulo de espalhamento. Usando seus dados, Davisson e Germer obteram λ = 0.165 nm, um valor bem próximo do predito por de Broglie, λ = 0.167 nm. O experimento de Thomson também observou padrões de interferência, porem para elétrons relativísticos. Ele observou o padrão de difração de elétrons emitidos sobre uma lamina metálica.

Question 20

Como podemos justificar o fato de que o quadrado da função de onda de um elétron é proporcional `a probabilidade de detecção de um elétron na unidade de volume?

Answer 20

Interpretar o modulo quadrado da função de onda como a densidade de probabilidade da partícula é o conhecido postulado de Born. Devemos notar que essa interpretação é consistente pois, apesar da função de onda ser uma função complexa, seu modulo quadrado é sempre real e positivo. Além disso, ao se normalizar, garantimos que essa função esta sempre entre zero e um.
Essas duas propriedades são fundamentais para se definir uma densidade de probabilidade.
Podemos justificar essa interpretação aplicamos o principio de de Broglie: O movimento de partículas esta associado a uma onda, dessa forma, como essas
duas descrições estão associadas, a função de onda deve ter um valor apreciável na região onde a partícula tem maior probabilidade de se encontrar, caso contrario a teoria não faria muito sentido. Por causa disso Born postulou que o modulo quadrado da função de onda é a densidade de probabilidade.

Question 21

Enuncie o princípio da incerteza de Heisenberg e discuta suas consequências.

Answer 21

Princípio de incerteza de Heisemberg: O produto das incertezas do momento e da posição deve obedecer ∆p∆x ≥ ¯h/2. Analogamente temos ∆E∆t ≥ ¯h/2.
Essas incertezas não são experimentais, são incertezas intrínsecas a teoria.
Esse princípio é uma consequência do caráter ondulatório das partículas. Dessa forma, se for de interesse aumentar a precisão na medida do momento, por exemplo, a precisão na posição vai ser necessariamente diminuída, de tal forma que no limite ∆p → 0 temos ∆x → ∞.

Question 22

Discuta a dualidade onda partícula dos elétrons.

Answer 22

Os elétrons, bem como todas os outros objetos quânticos, apresentam comportamento tanto de onda como de partículas, isso significa que dependendo
do experimento é mais conveniente usar o modelo de onda ou de partícula. Os objetos fundamentais da natureza, que normalmente chamamos de partículas,
não são ondas nem partículas, mas algo além, de tal forma que dependendo do fenômeno nossa percepção clássica classifica estes objetos nessas duas categorias,
por isso é útil o conceito de dualidade: assim podemos entender os fenômenos quânticos suando a visão macroscópica do mundo.

Question 23

Discuta o conceito de spin a partir do experimento de Stern-Gerlach.

Answer 23

Spin é uma propriedade fundamental de todas as partículas. E um efeito de momento angular intrínseco que não depende de rotações externas. Quanticamente sabemos que os spins são quantizados e possuem valores semi-inteiros, por exemplo, o elétron tem spin 1/2.
O experimento de Stern-Gerlach consiste em produzir um campo magnético com um gradiente na direção z, por exemplo, então, dependendo do valor do momento magnético (µ) da partícula haverá uma deflexão na trajetória, pois a força é dada por µ (dB/dz) . O momento magnético é proporcional ao momento angular da partícula, então podemos o experimento pode ser feito para partículas sem momento angular externo, onde seria esperado nenhuma deflexão. Stern e Gerlach realizaram o experimento para elétrons emitidos por átomos de prata e hidrogênio, que eles sabiam não ter momento angular externo. Eles observaram duas linhas (que corresponde a deflexões positiva e negativa), o que indica que os elétrons possuem um momento angular intrínseco, chamado de spin.

Question 24

Explique como ocorre o fenômeno de tunelamento.

Answer 24

O fenômeno de tunelamente ocorre quando uma onda consegue penetrar e atravessar uma barreira de potencial mesmo que classicamente ela não tenha energia para superar essa barreira. Resolvendo a equação de Schrodinger vemos que a possibilidade do efeito túnel ocorrer diminui com a largura da barreira,
pois na região classicamente proibida há uma supressão exponencial na função de onda e consequentemente na probabilidade. Notamos também que esse efeito
é essencial para explicar vários fenômenos em física de partículas, por exemplo, a emissão de particular α por núcleos atômicos.

Question 25

Discuta qualitativamente os fenômenos de reflexão e transmissão de ondas quando na barreira de potencial e no potencial de poço quadrado.

Answer 25

Reflexão e transmissão de ondas ocorrem para sistemas em estados livres, onde a energia da onda é maior que o potencial. Diferentemente dos estados ligados, nesses sistemas as energias não são quantizadas e as funções de onda não são normalizáveis.
Vamos começar considerando a barreira de potencial do tipo degrau, onde
na região x < 0 o potencial é nulo e em x > 0 o potencial vale V0 > 0. As
soluções da equação de Schrodinger são ondas planas na forma eˆ±ikx, onde k =raiz(2m(E − V )/¯h) esta relacionado com a energia da partícula e o sinal da
exponencial indica a direção de propagação da onda. Temos que para ondas incidentes pela esquerda, mesmo que E > V0, há uma probabilidade de reflexão, o
que não acontece no caso clássico, onde a partícula seria totalmente transmitida.
Por outro lado, quando E < V0, a onda pode penetrar a barreira, o que também não ocorre classicamente. Temos também que a reflexão de ondas só depende da diferença entre os k das regiões, não importa quem seja maior, dessa forma potenciais degraus pra cima ou pra baixo possuem o mesmo efeito de reflex˜ao.
Um fenômeno interessante que pode ocorrer é quando consideramos uma barreira onde V0 > 0 numa região finita, por exemplo, entre 0 e a. Neste caso, quando E < V0 a onda incidente pela esquerda pode penetrar na barreira e ser transmitida do outro lado com uma probabilidade não nula, esse é o chamado tunelamento.
Para calcular os coeficientes de reflexão e transmissão devemos resolver a equação de Schrodinger e aplicar as condições de contorno adequadas.

Question 26

Explique o funcionamento de um laser

Answer 26

Laser é uma sigla em inglês que significa light amplification by stimulated emission of radiation, ou seja, amplificação de luz por emissão estimulada de
radiação. Essa emissão estimulada ocorre da seguinte forma: Considere um sistema quântico de dois níveis, por exemplo, E1 < E2. Quando o sistema esta no estado fundamental, um fóton com energia hν = E2 − E1 pode excitar os elétrons para o segundo nível, porém, caso haja uma inversão de população, ou seja, quando os elétrons do sistema estiverem principalmente no estado E2, os fótons incidentes podem acelerar os elétrons e fazer com que eles emitam um outro fóton com mesma energia e mesma fase, na chamada emissão estimulada, o que leva a um efeito cascata onde cade vez mais fótons coerentes são produzidos o que leva a produção do laser.