Q3 Flashcards
Variable Aleatoria
Una variable aleatoria es una variable que puede tomar
valores al azar.
Ejemplo: Variable Aleatoria
Preguntar a 10 estudiantes si vieron un programa de
televisión anoche (el número de estudiantes que vieron
el programa es una variable aleatoria)
Ejemplo 2: Variable Aleatoria
Inspeccionar 20 artículos de un producto para verificar
la calidad de los mismos (la cantidad de artículos
defectuosos es una variable aleatoria)
Variable Aleatoria Discreta
Las variables aleatorias discretas toman ciertos valores
específicos.
Ejemplo 1: Variable Aleatoria Discreta
Número de artículos defectuosos en una inspección (0,
1, 2, 3,. . . .)
Ejemplo 2: Variable Aleatoria Discreta
Número de respuestas correctas en un examen (0, 1, 2,
3,. . . )
Ejemplo 3: Variable Aleatoria Discreta
Número de caras obtenidas al lanzar una moneda
cinco veces (0, 1, 2, 3, 4, 5)
Ejemplo 4: Variable Aleatoria Discreta
Número de trabajadores que llegan tarde en un
determinado día (0, 1, 2, 3,. . . )
Variable Aleatoria Continua
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier
valor en una escala
Ejemplo 1 Variable Aleatoria Continua:
- la distancia recorrida
- El tiempo de espera en la atención telefonica del
departamento de quejas de JCPenney
Función de Densidad Probabilidad Discreta
La distribución de probabilidad de una variable
aleatoria describe cómo se distribuyen las
probabilidades a través de los resultados de la variable
aleatoria.
Caracteristica: Función de Densidad Probabilidad Discreta:
Podemos describir una distribución de probabilidad
discreta con una tabla, gráfica o ecuación.
Función de Densidad Probabilidad Discreta
DiCarlo Motors en Saratoga, NY, vendió la siguiente
cantidad de automóviles durante los últimos 300 días: 0
autos en 54 días; 1 auto en 117 días; 2 autos en 72 días; 3
autos en 42 días; 4 autos en 12 días; y 5 autos en 3 días.
Valor Esperado y Varianza
El valor esperado es el valor promedio de la variable
aleatoria durante un largo período de tiempo.
Ejemplo de Valor Esperado y Varianza
Refiriéndose a DiCarlo Motors, el valor esperado de 1,5
significa que DiCarlo puede esperar vender, en
promedio, 1,5 automóviles por día durante un largo
período de tiempo.
Propiedades
El experimento consta de una secuencia de n ensayos
idénticos.
Son posibles dos resultados, el éxito y el fracaso en
cada ensayo.
La probabilidad de éxito, denotada por p, no no
cambia de un ensayo a otro.
Los ensayos son independientes.
Función de Densidad de Probabilidad Binomial
Nuestro interés está en el número de éxitos ocurriendo
en los “n” ensayos
Denotamos por “x” el número de éxitos ocurriendo en los
“n” ensayos.
Denotados f(x) la probabilidad de “x” éxitos en n
ensayos
Ejemplo: Función de Densidad de Probabilidad Binomial
La probabilidad de que un cliente realice una compra
es 0.3.
Tres clientes entran a la tienda.
¿Cuál es la probabilidad de que dos de los tres clientes
realicen una compra?
¿Cuál es la probabilidad de que mas de 1 cliente
realice una compra?
Ejemplo 2*: Función de Densidad de Probabilidad Binomial
La probabilidad de que un trabajador use el
transporte público es 0.3.
De 10 trabajadores
¿Cuál es la probabilidad de que tres trabajadores usen
el transporte público?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4
trabajadores usen el transporte público?
¿Cuál es la probabilidad de que mas de 4 trabajadores
usen el transporte público?
Función de Densidad de Probabilidad Poisson
Una variable aleatoria con distribución de Poisson
suele ser útil para estimar el número de ocurrencias
durante un intervalo específico de tiempo o espacio
Función de Densidad de Probabilidad Poisson
Es una variable aleatoria discreta que puede asumir
una secuencia infinita de valores (x = 0, 1, 2, …)
- El número de clientes que llegan al Walmart de
Caguas un lunes por la mañana
- El número de llamadas telefónicas a un “call center”
un miercoles por la tard
Función de Densidad de Probabilidad Poisson: propiedades
La probabilidad de ocurrencia es la misma para dos
intervalos de igual longitud.
La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es
independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en
cualquier otro intervalo.
Función de Densidad de Probabilidad Poisson:
Ejemplo
A la oficina de reservaciones de una aerolínea regional
llegan 48 llamadas por hora.
Función de Densidad de Probabilidad Poisson:
Ejemplo
Calcule la probabilidad de recibir dos llamadas en un
minuto
Calcule la probabilidad de recibir cinco llamadas en
un lapso de 5 minutos.
Estime la probabilidad de recibir exactamente 10
llamadas en un lapso de 15 minutos.
Función de Densidad de Probabilidad
Hipergeométrica
La distribución de probabilidad hipergeométrica está
estrechamente relacionada con la distribución binomial.
Pero difieren en dos puntos: en la distribución hipergeométrica los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varía de
ensayo a ensayo.
Función de Densidad de Probabilidad
Hipergeométrica
En la notación usual en la distribución
hipergeométrica, r denota el número de elementos
considerados como éxitos que hay en una población de
tamaño N, y N − r denota el número de elementos
considerados como fracasos que hay en dicha población.
Función de Densidad de Probabilidad
Hipergeométrica 2*
La función de probabilidad hipergeométrica se usa
para calcular la probabilidad de que en una muestra
aleatoria de n elementos, seleccionados sin reemplazo,
se tengan x éxitos y n − x fracasos.
Función de Densidad de Probabilidad
Hipergeométrica: Ejemplo
En una encuesta realizada por Gallup Organization, se
les preguntó a los interrogados, “Cuál es el deporte que
prefieres ver”. Futbol y básquetbol ocuparon el primero
y segundo lugar de preferencia (www.gallup.com, 3 de
enero de 2004). Si en un grupo de 10 individuos, siete
prefieren futbol y tres prefieren básquetbol. Se toma
una muestra aleatoria de tres de estas personas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente dos
prefieren el futbol?
b) ¿De que la mayoría (ya sean dos o tres) prefiere el
futbol?
Función de Probabilidad Continua
Una variable aleatoria continua puede asumir cualquier
valor en un intervalo de la recta real o en un conjunto
de intervalos.
Función de Probabilidad Continua
No es posible hablar de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un valor particular. No se
puede calcular x = {0, 1, 2, 3, 4…}
Función de Probabilidad Continua
En cambio, hablamos de la probabilidad de que la
variable aleatoria asuma un valor dentro de un
intervalo dado.
Función de Densidad de Probabilidad Uniforme
Considere una variable aleatoria x que representa el
tiempo de vuelo de un avión que viaja de Chicago a
Nueva York.
Función de Densidad de Probabilidad Uniforme ^
Suponga que el tiempo de vuelo es cualquier valor en el
intervalo de 120 minutos a 140 minutos.
En esta distribución dos parámetros a = 120 y b = 140
Función de Densidad de Probabilidad Normal
La distribución de probabilidad normal es la
distribución más importante para describir una
variable aleatoria continua.
- Se utiliza ampliamente en la inferencia estadística.
– Altura de las personas
– Calificaciones en exámenes
Función de Densidad de Probabilidad Normal Cracateristicas 1 :
Simétrica (sesgo igual a cero)
Mesocúrtica (kurtosis igual cero)
Función de Densidad de Probabilidad Normal Caracteristicas 2:
-Se define por dos parámetros: media (µ) y desviación
estándar (σ)
–Estos parámetros determinan la localización y la
forma de la distribución normal.
–El punto más alto de una curva normal se encuentra
sobre la media, la cual coincide con la mediana y la
moda
Función de Densidad de Probabilidad Normal Caracteristicas 3:
- La media puede ser cualquier valor numérico:
negativo, cero o positivo. - dddLa desviación estándar determina el ancho de la curva:
los valores más grandes dan como resultado curvas
más anchas y planas
Función de Densidad de Probabilidad Normal Características 4:
Las probabilidades de la variable aleatoria normal son
dado por áreas bajo la curva. El área total debajo de
la curva es 1 (0.5 a la izquierda de la media y 0.5 a la
derecha).
Función de Densidad de Probabilidad Normal Caracteristicas 5*:
Dado que el área bajo la curva representa la
probabilidad, la probabilidad de que una variable
aleatoria normal tenga un valor específico es cero.
De este modo no se puede encontrar
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Estándar Ejemplo
Los puntajes de un examen especial administrado a
todos los empleados potenciales de una empresa se
distribuyen normalmente con una media de 500
puntos y una desviación estándar de 100 puntos.
¿Cuál es la probabilidad de que una puntuación
seleccionada al azar sea superior a 700? P(x > 700)
Distribución Normal Estándar: Usando Tabla Z
Imagenes.
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Estándar: Ejemplo
En 2003 un empleado estadounidense pasaba, en promedio, 77
horas conectado a Internet durante las horas de trabajo (CNBC,
15 de marzo de 2003).
Si la media poblacional es 77 horas y la desviación estándar de
20 horas.
– ¿Cuál es la probabilidad de en 2003 un empleado seleccionado
aleatoriamente haya pasado menos de 50 horas conectado a Internet?
– ¿Qué porcentaje de los empleados pasó en 2003 más de 100 horas
conectado a Internet?
Un usuario es clasificado como intensivo si se encuentra en el 20%
superior de uso. ¿Cuántas horas tiene un empleado que haber estado
conectado a Internet en 2003 para que se le considerará un usuario
intensivo?
Intervalo de Confianza para la proporción
poblacional (p)
Donde (1 − α) es el nivel de confianza y Z α 2
es el valor crítico obtenido de la tabla Z, p¯ es la proporción
muestral, y n el tamaño de la muestra
Los valores críticos son los indicados por la tabla Z
Función de Densidad de Probabilidad Normal
Estándar: Ejemplo
La vida útil de una determinada marca de batería de
automóvil se distribuye normalmente con una media de
1000 días y una desviación estándar de 100 días.
