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Einführung in die FEM > Prüfungsfragen > Flashcards

Prüfungsfragen Flashcards

1
Q

Was bedeutet FEM?

A

Finite Elemente Methode
Ein numerisches Verfahren, mit dem man partielle DGL über beliebigen Gebieten und mit beliebigen Randbedingungen lösen kann.
Eine Hauptcharakteristik der FEM ist die Diskretisierung.

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2
Q

Wie ist ein FE-System aufgebaut?

A

Preprozessor: Modellinfo (Material, Geometrie, Lager, Lasten…), Aufgabenstellung, , Erstellung des Berechnungsmodells

FEM-Programm: Lösen des Gleichungssystems, Berechnung der Ergebnisgrößen in den Knoten (Verschiebungen, Spannungen, Schnittgrößen)

Postprozessor: Auswahl, Aufbereitung der Ergebnisse, grafische Darstellung, Animation

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3
Q

Realisierung von Randbedingungen?

Verhinderte Verschiebung?

A

jeweilige Zeilen und Spalten in der Steifigkeitsmatrix streichen. Glgsys. lösen und dann mit den jeweiligen gestrichenen Gleichungen die Lagerkräfte bestimmen.

Für Handrechnungen geeignet, aber in Rechenprogrammen aufwändige Umspeicherunng…

Andere Lösung: an jeweilige Stelle in K k_ii eine sehr große Zahl einsetzen. Andere Elemente müssen nicht verändert werden, entspricht der Anbringung einer steifen Feder. -> aber in Lösung steht dann u_i=1e-14 oder so

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4
Q

Realisierung von Randbedingungen?

vorgeschriebene Verschiebung?

A

Verschiebungsvektor aufteilen in 2 Vektoren, einer mit bekannten, einer mit unbekannten v. Bekannten Vektor mit K multiplizieren und auf die andere Seite bringen -> zusätzlicher Kraftanteil (äquivalente Last zur vorgegebenen Verschiebung)

dann wieder jeweilige Zeile und Spalte streichen, weil u_i dann 0. oder Komponente in K sehr groß machen

Zusatz: zusätzliche Kraft im gleichen FHG dann nicht berücksichtigbar
Abaqus: vorgegebene Verschiebung bleibt bestehen, Last wird auf Reaktionskraft addiert

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5
Q

Realisierung von Randbedingungen?

vorgeschriebene Verschiebung, deren Richtung nicht mit dem globalen KS übereinstimmt?

A

Im Verschiebungsvektor nur die Verschiebungen des jeweiligen Knotens transformieren, sodass eine Verschiebung gleich 0 gesetzt werden kann.
Mit der gleichen Transformation die Steifigkeitsmatrix transformieren (TKT^T).
Dann Verschiebungen berechnen wie bisher (Zeilen, Spalten streichen oder große Zahl einsetzen) und dann Rücktransformation in das globale System.

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6
Q

Realisierung von Randbedingungen?

identische Verschiebungen?

A

jeweilige Zeilen und Spalten in K aufeinander addieren.
Eliminieren der dann überflüssigen Zeilen, Spalten.

oder zusätzliches (gedankliches) Element mit hoher Steifigkeit einsetzen.

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7
Q

Realisierung von Randbedingungen?

diskrete Feder?

A

Federkonstante wird auf jeweiligen Anteil in der Steifigkeitsmatrix addiert (ki’=ki+c)
Analogie zur Realisierung verhinderter Verschiebungen (c=große Zahl)

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8
Q

Realisierung von Randbedingungen?

Federkupplung?

A

quasi zusätzlichen Verbindungselement mit der Steifigkeitsmatrix [c -c;-c c] einsetzen

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9
Q

Elementsteifigkeitsbeziehung, Sttruktursteifigkeitsbeziehung?

A

Ke*ue=fe
Ke Elementsteifigkeitsmatrix
ue Knotenverschiebungen
fe innere und äußere Kräfte

Ks*us=fs
Ks Systemsteifigkeitsmatrix
us Systemknotenverschieb.
fs NUR ÄUßERE KRÄFTE

-> beim Einsetzen der Elementsteifigkeitsbeziehungen in die Systemsteifigkeitsbeziehungn -> Gleichgewicht und Kompatibilität der Verschiebungen erfüllt

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10
Q

Unterschied FEM- klassisches Ritzverfahren?

A

Ritz: v(x)=Phi^Ta
Ka=f
Ansatz für die komplette Struktur, Ansätze müssen kin. RB erfüllen und lin. unabhängig sein
schwäche: manchmal findet man keine Ansätze
K durch Aufstellen des elast. Pot., variieren, zu Null setzen …

FEM: v(xe)=G(xe)de
Ku=f
Ansatz für ein Element, G für jedes Element verschieden
(Voraussetzung: kin. Verträglichkeit zu den Nachbarelementen)
K kann sehr groß sein, viele Nullen

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11
Q

Deformation scale factor?

A

damit vergrößert Abaqus die Deformationen (eigentlich sind sie sehr klein (lineare Analyse)) um sie sichtbar zu machen

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12
Q

Was sagen uns die Hauptspannungen?

A

Sie zeigen den Kraftfluss durch die Struktur.

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13
Q

Herleitung des allgemeinen Ausdrucks für die Elementsteifigkeitsmatrix und der grundlegenden Gleichung der FEM aus dem Prinzip des Minimus vom elastischen Potential. (3 Hauptgleichungen?)

A

u=G(x,y,z)de
e=Du
s=H*e

PI=Wf-Ae=1/2Int(e^TsdV)-Sum(de^T*fi)
…

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14
Q

Wie sieht der Spannungsverlauf bei ‘Bild von Schlaufe’ aus? In welchem Bereich muss die Struktur feiner vernetzt werden?

A

spannung zunehmen zum Lochrand (wo Belastung ist) hin.

feinere Vernetzung, wo große Spannungen und große Spannungsgradienten sind.

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15
Q

Diskretisierungsfehler, welche Ordnung in den Verschiebungen und Spannungen und wieso?

A

O(h^(p+1)) -> ordnung d. Verschiebungsfehlers

h: Elementgröße
p: Grad d. Polynoms

bei einem vollständigen linearen Ansatz (p=1)-> Fehler Ordnung o(h²)-> halbiert man die Elementgröße, wird der Fehler geviertelt

O(h^(p+1-1))=O(h^p) -> ordnung d. Spannungsfehlers

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16
Q

Konvergenzanalyse?

Was konvergiert schneller? v,s,e?

A

Wichtig, um Genauigkeit der Ergebnisse zu verifizieren.
2 Methoden:
h-Methode
Netz verfeinern (h (charakteristische Größe) verringern) Anzahl der Elements steigt (vor allem im 3D)
Normalerweise: 1x Verfeinern-> kritischen Bereich identifizieren, dort weiter verfeinern

p-Methode
Erhöhung der Polynomordnung, in den meisten Programmen nur linear und quadratisch möglich, aber ausreichend, da: quadratische Polynome liefern das beste Verhältnis zwischen der Genauigkeit und dem numerischen Aufwand. Kubisch lohnt nicht …

Am schnellsten konvergieren die Verschiebungen, da sie einen höheren Grad haben. (Verzerrung=Ableitung von Verschieb) Die Spannungen und Verzerrungen konvergieren gleich schnell.

17
Q

Welche Solvertypen gibt es?
Was macht sie aus?
Vorteile, Nachteile?

A

direkte Löser:
1. Elimininationsverfahren (Gauß-Verfahren) Tauschen und Addieren von Zeilen-> Rechtsdreiecksmatrix K
Voraussetzung: K ist positiv definit (v^TKv>0, sonst starrkörperverschieb. v ungleich 0 bei f=0) für uns ungeeignet

  1. Verketteter Gauß-Algorithmus durch Zerlegung von K
    K=LR (Links und rechtsdreiecksmatrix)
    ->für symm. Mat. -> Cholesky-Verfahren
    K=R^T    R
    (2) Rv=y
    (1) R^T    y=f
    (1) vorwärts einsetzen
    (2) rückwärts einsetzen
    idR wird f durch y und y durch v überschrieben-> Platz sparen
    Vorteile:- K wird auf Definitheit geprüft
    -Bandstruktur von K überträgt sich auf R
    -speicheroptimal, wegen überschreiben
    -zusätzl. rechte seite (in f) auch nachträgl. mögl.
    -numerisch stabil
    geeignet für: band-,skyline-hypermspeicherung
    nicht sinnvoll für Sparse (kompaktspeicherung)

Iterative Löser
K muss während der Gleichungslösung nicht verändert werden-> effiziente Kompaktspeicherung einsetzbar (Man könnte auch mit den Elementmatrizen arbeiten)
Iterative Verbesserung der Lsg in jedem Schritt
Vorteile:-keine Zerlegung von K notw.
-optimale Speicherung realisierbar
-nur vektoroperationen erforderlich->skalarprod->massive Parallelisierung
-bestimmte Aufgabenklassen, auch bei großen Dim.->schnelle Lsg.

Nachteile:-Probleme mit Stabilität, schlechte Konvergenz bei großer Konditionszahl kappa
-keine gleichzeitige Bearbeitung von mehreren rechen Seiten (cholesky hier besser)
Methode der konjugierten Gradienten (CG-Verfahren)
Minimierung des elast. Pot.
Gradient wird gebildet, weist in Richtung der lokal stärksten Zunahme, deshalb negativer gradient -> relaxionsrichtung (konjugierter gradient)
wichtig: Auswahl des Startvektors v0!!

Verbesserung der Konvergenz durch Vorkonditionierung von K -> C^-1Kv=C^-1*f
(im idealfall C=K) -> PCG-Verfahren (Preconditioned Conjugate Gradient)

18
Q

Was für Speicherungstypen gibt es?

A

Bandspeicherung, zeilenweise, konstante Länge=Bandweite,
Skyline: ähnlich, aber nur die “jeweilige bandweite der Zeile”
Sparsematrix: 3 vektoren
1. Einträge, die nicht Null sind
2. zugehörige Zeile
3. zugehörige Spalte->iterative Löser
Hypermatrix: Gesamtmatrix aus einzelnen Matrizen

19
Q

Numerische Integration der Elementsteifigkeitsmatrix?

A

Um die Elementsteifigkeitsmatrix aufzustellen, wird über das Volumen integriert.
Integrationsaufwand gering halten.
Das Integral einer eindimensionalen Funktion wird dabei näherungsweise durch eine Summation über gewichtete Funktionswerte an den Stützstellen ersetzt:

Newton-Cotes: äquidistante Integrationspunkte, auch am Rand

Gauss: optimal, Stützstellen und Gewichte so, dass ein Polynom einer möglichst hohen Ordnung noch exakt integriert wird (Gaußsche Quadratur) Gauss BESSER!
reduzierte Integration-> shear locking vermeiden…

Integrationspunkte gering halten-> geringer Rechenaufwand

20
Q

Wir wird die globale Steifigkeitsmatrix assembliert? und welche Eigenschaften hat sie? (3)

A

(mit der Koinzidenzmatrix)

Schritt 1: alle elemente, die gleichzeitig beide Knoten enthalten (auch wenn es nur ein Knoten ist)
Schritt 2: einzelne Terme aus den zugehörigen Elementsteifigkeitsmatrizen addieren

symmetrisch
bandstruktur
positiv definit (statik) v^TKv>0
(v muss kin. RB berücksichtigen) Wenn alle komp. in v = 1 -> Formänderungsengergie=0 -> starrkörperbewegung

21
Q

Wie funktioniert der Cuthill-McKee Algorithmus?

A

zur Transformation einer dünnbesetzten Matrix zu einer symmetrischen Bandmatrix

  1. Startknoten: Knoten mit geringem Grad (Anzahl der anliegenden Kanten)
  2. Nummerierung aller anliegenden Knoten (mit aufsteigendem Grad) in einem Schritt
  3. den letzten Schritt wiederholen

untere Schranke: ibw>=[1/2(D+1)]
D=maximaler Knotengrad
obere Schranke: ibw<=max[Nk+Nk+1-1]
maximale Anz. nummerierter Knoten in zwei aufeinanderfolgenden Schritten

22
Q

Welche Größen konvergieren schnell/langsam ?(Verschiebung, Spannung, Dehnung)

A

Am schnellsten konvergieren die Verschiebungen, da sie einen höheren Grad haben. (Verzerrung=Ableitung von Verschieb) Die Spannungen und Verzerrungen konvergieren gleich schnell.

23
Q

Vorteile einer Bandstruktur in der Steifigkeitsmatrix

A

Geringerer Speicherplatz notwendig bei Bandspeicherung

Aufwandsreduzierung der Cholesky Zerlegung

24
Q

Welche Schritte sind für eine Stabilitätsanalyse notwendig?

A
  1. Schritt - stat. Berechnung Grundspannungszustand und geometrische Steifigkeitsmatrix (zB mit f1=1)
    K*u=f1 -> u -> e -> s -> K^G
  2. Schritt Lösung des EIgenwertproblems
    Bestimmung der Eigenwerte und kritischen Belastung und Knickformen
    (K+LambdaK^G)d=0 -> lambdad
    fkrit=Lambda*f1

—> mehrere krit. Lasten bestimmen sinnvoll!

nicht linearisierte Dehnung:
e=el+2eq
Spannung:
s=s+s^G (s: durch deform., s^G: Grundspannungszustand)
elast. Pot. bilden, einige Terme entfallen für den Grundzustand,
scaling factor lambda für s^G einsetzen, Variation, Aufsummieren der Struktur–> (K-lambdaK)*de=0 Matrizeneigenwertproblem

25
Q

Probleme der Stabilitätsberechnung mittels FEM:

A

Die Näherung kommt von oben und ist abhängig von der Diskretisierung, damit wird oft
eine zu hohe Sicherheit gegen Instabilität vorgegaukelt
 Eine zu grobe Vernetzung aber auch eine Vernetzung, die die kleinsten Knickformen nicht
abbilden kann, liefert unbrauchbare Ergebnisse; so können, im Gegensatz zu den Eigenschwingungen, die unteren Knickformen bei Flächentragwerken eine große Beulzahl aufweisen.
 Bei komplexen Strukturen ist es auf jedem Fall empfehlenswert, Vergleichsrechnungen
mit unterschiedlichen Vernetzungen auszuführen.

26
Q

Modalanalyse? Was ist das?

Was bedeuten die Eigenmoden einer Struktur? Wie können sie ermittelt werden?

A

Untersuchung der Eigenmoden (Schwingungsformen) und Eigenwerte (dynamisch Analyse, Massenmatrix ist Teil des Matrizeneigenwertproblems)
Dämpfung wird beim linearen Problem vernahlässigt

numerische Lösung der Eigenmoden- und -werte am unteren Rand,
Vergleich mit experimentellen Ergebnissen–> Übereinstimmung–> gutes FE-Modell
Eigenfrequenzen ermitteln: wichtig, da diese Frequenzen und die zugehörige Belastungsart dann vermieden werden können (weil gefährlich, resonanzfrequenz-> Schäden an der Struktur auch bei geringer Belastung)

Überführung in den Modalraum-> Reduzierung der FHG, Bewegungen (moden) entkoppelt

27
Q

Welche Schritte sind für eine Stabilitätsanalyse notwendig?

A
  1. Schritt- statische Berechnung mit Grundbelastung (zb f=1) (Berechnung des Grundspannungszustands und der geometrischen Steifigkeitsmatrix)
    Ku=f1 -> u -> e -> s -> K^G
  2. Schritt- Lösung des Eigenwertproblems (Bestimmung der Eigenwerte und der kristische Lasten, bzw. Knick und Beulformen)
    (K+LambdaK^G)d=0
    fkrit=Lambda*f1 ->kritische Last
    d=Knickform

nicht linearisierte Dehnung:
e=el+2eq
Spannung:
s=s+s^G (s: durch deform., s^G: Grundspannungszustand)
elast. Pot. bilden, einige Terme entfallen für den Grundzustand,
scaling factor lambda für s^G einsetzen, Variation, Aufsummieren der Struktur–> (K-lambdaK)*de=0 Matrizeneigenwertproblem

28
Q

Vorteile einer Bandstruktur in der Steifigkeitsmatrix

A

Geringerer Speicherplatz notwendig bei Bandspeicherung, Aufwandreduzierung der Cholesky-Zerlegung

29
Q

Warum wird für die Konvergenzanalyse meist die Spannung herangezogen?

A

die Spannung konvergiert langsamer als die Verschiebung -> mehr Sicherheit

30
Q

Vergleich: lineare Analyse/ nicht lineare Analyse?

A

linear: kleine Verformungen, Material linear elastisch, keine Veränderung der Randbedingung unter lasteinwirkung

nicht linear: geometrische und physikalische nichtlinearitäten werden berücksichtigt

31
Q

Woher weiß man, dass eine lineare Analyse ausreichend genau ist?

A

kleine Verformungen
Vergleich mit experimentellen Ergebnissen
Ergebnisse betrachten, dort wo höchste spannungen auftreten vielleicht nochmal nicht lineare analyse zum Vergleich

32
Q

Ansatzfunktionen der FEM?

A
  • Langrange Polynome- vollständige Polynome im natürlichen KS definiert
  • Grad des Polynoms (anzahl der Knoten entlang der Kante-1)
  • Anzahl der Polynome im Element= Anzahl der Knoten
  • der Wert des Polynoms pi ist geich 1 im Knoten i und 0 in allen anderen
  • Summe aller pi in einem beliebigen Punkt im Element =1
  • C0 Stetigkeit am Rand des Element- Funktion stetig, erste Ableitung nicht mehr
  • bei 2D und 3D Elemente als Produkt der Polynome in 1D
33
Q

Warum mehrere kritische Lasten bestimmen?

A
  1. numerischer Aufwand nicht viel größer
    2. Sehr häufig: die ersten 2-5 kritischen Lasten liegen sehr nah beieinander, durch Imperfektionen/äußere Einflüsse könnte auch der 3. berechnete Fall zu erst auftreten
    3. Berechnung gemacht, um Maßnahmen zur Versteifung, Stützen oder so vorzunehmen-> sinnvoll Maßnahmen für mehrere Fälle vorzunehmen
34
Q

Wie kann man in Abaqus prüfen, ob die Ergebnisse stimmen?

A

Reaktionskräfte in Output file schreiben lassen und gucken, ob die Summe mit der angreifenden Kraft übereinstimmt. Auch Reaktionsmomente prüfen.

35
Q

Unterschied: Platte,Scheibe,Schale?

A

Platte: Belastung auf die Ebene (Querkräfte, Biegemomente)
Scheibe: Belastung in der Ebene
Schale: kombination aus beidem, wenn gekrümmt, dann immer Schale!

36
Q

FHG Schale?

A

5 oder 6 FHG pro Knoten:

5: 3 verschiebungen+ 2 verdrehungen (weniger Rechenaufwand) verdrehungen kommen durch das Entfernen einer Dimension
6. FHG drilling degree of freedom (nur zur numerischen stabilisierung der Steifigkeitsmatrix wegen der trafo in das globale KS)

37
Q

FHG Solid?

A

3 FHG pro Knoten

Einführung in die FEM (1 decks)

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