Proprietà dei limiti Flashcards
terorema di unicità
Unicità del limite tra successione e sua sottosuccesione
se a(n) –> l, ogni sua sottosuccessione tenderà ad n
criterio per determinare se una successione non ha limite?
criterio di non convergenza: se una successione ha due sottosuccessioni che convergono a due limiti diversi allora la ssuccessione non ha limite
se una successioe è convergente allora è sicuramente
limitata, ossia esiste M maggiore di 0 taqle che il valore assoluto della successione è minore di M per ogni n
se una successione è divergente allora è sicuramente
infinitamente limitata
limitata ?<–>? esistenza di un limite
illimitata ?<–>? divergente
con esempi
1.2. non implica ma è implicato; non implica ad esempio nel caso della successione a(n)=(-1)^n
3.4. non implica ma è implicato, stesso esempio
teorema di permanenza del segno
se una successione tende a un limite l diverso da 0 allora la successione e l hanno definitivamente lo stesso segno
se ho due successione a e b t.c. a è minore uguale a b e so che a tende a infinito allora sicuramente
se a tende a infinito anche b lo farà
teorema dei carabinieri
se ho tre successione a, b, c, t.c.
b è compreso tra a e c
a e c tendono allo stesso limite l
allora
b anche lui tende al limite l
algebra dei limiti
casi indeterminati
somma limiti di successioni
se a e b sono successione che tendono a limiti diversi allora
1. a + b –> la + lb
2. ab –> lalb
disuguaglianza triangolare
|x+y| minore o uguale a |x|+|y|
definisci una successione limitata
una successione è limitata se esiste un numero reale positivo K>0 tale che per ogni n in N si ha che il valore assoluto della successione è minore o uguale a K, il che equivale a dire la successione è compresa tra -K e K
prodotto tra una successione limitata per una infinitesima è
infinitesima
per ogni K in N asterisco la successione n^K tende a
infinito
sia l limite reale si dice che una successione a tende a l+ o l- se
l+ la successione tende a l ed è maggiore del limite
l- la successione tende a l ed è minore del limite
quando una sucessione tende a 0 a cosa devi prestare attenzione
che tenda e sia maggiore
che tenda e sia minore
che tenda ma non ha segno costante quindi IRREGOLARE
algebra dei limiti del quoziente
enuncia il generico polinomio di grado l
P(x)=c0+c1x+…ckn^k
quale è il limite per n che tende a infinito del generico polinomio di grado k
1 se tutti i coeff cj hanno lo stesso segno allora +- infinito
2 altrimenti si identifica il termine dominante
limiti di funzioni razionali
se una successione a tende a l allora cosa puoi dirmi sui moduli
allora il modulo della successione tende al modulo del limite
il modulo della differenza di due moduli è compreso o tra
0 e il modulo della differenza delle componenti, estremi inclusi
definzione di continuità
uan funzione f che va da un sottoinsieme di R a R si dice continua in un punto x0 in A se
per ogni xn nel dominio della funzione che tende a x0 allora f(xn) tende a f(x0)
se lo è in tutti i punti di A si dice che è continua su A
le funzioni elem sono continue
sì tutte
somme, prodotti, quoziente tra due funzioni continue sono continue
sì
se ho una funzione continua quale è la strategia adottabile per calcolare il limite?
se f è continuo e devo cercare il limiter per n che tende a infinito di f(xn) posso provare a calcolare il limite per n che tende a infitio di xn e se esiste e vale x0 avrò che il limite per x che tende a infito di f(xn) tende a f(x0)
fai un esempio in cui non esiste il limiter per xn ma esiste per f(xn)
xn=(-1)^n, limite non esiste
ma
f(xn)=|xn| sì
limiti notevoli per xn che tende a 0
- se una succession tende a 0 il seno della successione fratto la successione tende a 1
- 1 meno il coseno della successione tutto diviso per il quadrato della successione tende a 1/2
dividi in casistica il limite per n che tende a infinito di q^n per q Reale
se q>1, –> inf
se q<-1, NON ESISTE
se q=1 –> 1
se |q|<1 –> 0
gerarchia infiniti
n^n»_space; n! »_space; q^n»_space; n^k»_space; logb(n) per ogni q maggiore di uno, per ogni k maggiore di 0 per ogni b maggiore di 0
criterio del rapporto
sia a una successione maggiore di 0 per ogni n. Se esiste un limiter per n che tende a (a(n+1))/a(n) allora
1. se l è tra 0 compreso e 1 escluso allora a(n) tende a 0
2. se l è maggiore di 1 allora a(n) tende a infinito
disuguaglianza di bernoulli
(1+x)^n maggiore uguale 1+nx per ogni n naturale e per ogni x maggiore uguale a -1
scrivere quella prop che non ho capito
successione del numero di nepero
e(n)=(1+1/n)^n
fomre indeterminate
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