Probabilite-Notion de base Flashcards
Espace de probabilité
Une probabilité (ou mesure de probabilité) est une mesure positive P
sur un espace mesurable (Ω, A ) telle que P (Ω) = 1 . On dit aussi loi de probabilité.
Le triplet (Ω, A , P ) est appelé espace de probabilité.
Une probabilité (ou mesure de probabilité) est une mesure positive P
sur un espace mesurable (Ω, A ) telle que P (Ω) = 1 . On dit aussi loi de probabilité.
Le triplet (Ω, A , P ) est appelé espace de probabilité.
La Théorie des Probabilités utilise la Théorie de la mesure, mais, pour des
raisons historiques, a un langage qui lui est propre (ce qui est d’ailleurs peut-être
à l’origine de la réticence, voire de l’ostracisme, dont la majorité des mathématiciens
ont fait preuve par le passé, et encore parfois aujourd’hui, envers les
Probabilités)
ω ∈ Ω point de Ω observation A ∈ A partie mesurable événement ω ∈ A ω est dans la partie A l’événement A est réalisé par ω A ⊆ B A est contenu dans B A implique B ∅ ensemble vide événement impossible Ω ensemble plein événement certain A ∪ B réunion de A et B A ou B A ∩ B intersection de A et B A et B
ω ∈ Ω point de Ω observation A ∈ A partie mesurable événement ω ∈ A ω est dans la partie A l’événement A est réalisé par ω A ⊆ B A est contenu dans B A implique B ∅ ensemble vide événement impossible Ω ensemble plein événement certain A ∪ B réunion de A et B A ou B A ∩ B intersection de A et B A et B
Si l’on considère qu’un espace de probabilité est la modélisation d’une expérience,
un point ω de Ω peut aussi être vu comme le résultat, ou la réalisation,
de l’expérience modélisée par (Ω, A , P ). On dit aussi que ω est une éventualité.
Par rapport au point de vue ensembliste, dans lequel la notion de base est le
point, qui peut ou non appartenir à une partie donnée, dans le point de vue probabiliste,
il faut plutôt inverser les rôles : la notion de base est l’ensemble des
événements, et chaque événement peut être réalisé ou non par une observation
Pour deux événements A et B, dire que ω ∈ A ∪ B s’exprime en disant que
ω réalise l’événement A ou l’événement B, et ω ∈ A ∩ B en disant que ω réalise
l’événement A et l’événement B.
Définition 1.2 Pour tout événement A, on dit que :
• A est presque impossible si P (A) = 0 ;
• A est presque sûr, ou presque certain, si P (A) = 1
La notion de “presque sûr” est la version probabiliste de la notion de “presque
partout”. Lorsque l’événement A est l’ensemble des ω pour lesquels une certaine
propriété est vraie, on dit que cette propriété est presque sûrement vraie
si A est presque sûr. On notera en abrégé p.s. pour “presque sûrement”
2 Variables aléatoire
On appelle variable aléatoire, en abrégé v.a. (vectorielle, à valeurs dans Rd), toute application mesurable X : (Ω, A ) →Rd, Bor (Rd)
Pour d = 1, on autorise X à prendre ses valeurs dans R ; elle doit donc être
mesurable pour Bor (R). On dit que c’est une variable aléatoire réelle ; en
abrégé v.a.r. .
On conviendra par la suite que R
1 = R.
Si d > 1, on dira aussi vecteur aléato
Si X = (X1, . . . , Xd) est un vecteur aléatoire, alors les Xk sont des v.a.r. ; réciproquement,
si X1, . . . , Xd sont des v.a.r., à valeurs dans R, alors (X1, . . . , Xd)
est un vecteur aléatoi
Remarque. Il faut noter que, contrairement à ce que peux laisser croire le
nom, une variable aléatoire est une fonction, et non pas une variable. Cette
terminologie trompeuse est, là encore, due à des raisons historiques, datant de
l’époque où l’on avait pas conscience de la distinction entre une fonction et sa
valeur en un poi
Terminologie. On dit que la v.a.r. X a un moment d’ordre p, 1 6 p < ∞, si X ∈Lp
(Ω, A , P ). Lorsque X est intégrable (on utilisera plutôt ce terme que celui
de moment d’ordre 1), son intégrale est appelée espérance (mathématique) de
X ; on dit aussi que c’est la moyenne de X.
On dit que la variable aléatoire X est centrée lorsque E(X) = 0. La v.a.r.
X − E(X) (mis pour X − E(X)1I) est appelée la v.a. centrée associée à X ; elle
est évidemment centrée.
Lorsque X ∈ L2(Ω, A , P ), on définit la variance de X par :
Ce nombre (qui est positif) mesure les variations de X autour de sa moyenne. On la calcule habituellement par la formule suivante :
.
Lorsque l’on mesure les résultats d’une expérience aléatoire par une variable
aléatoire X, l’espace de probabilité (Ω, A , P ) est une modélisation de la situation
liée à cette expérience. Cette modélisation peut être faite de diverses
façons, ce qui veut dire que l’espace (Ω, A , P ), et en particulier la probabilité
P , n’a pas de sens intrinsèq
Ce qui est important, c’est la répartition
des valeurs que peut prendre X, et leur fréquence. C’est pourquoi le concept
suivant, qui précise ces fréquences d’apparitions, est fondamental ; d’ailleurs
avant l’axiomatisation de la Théorie des Probabilités par Kolmogorov en 1933,
les Probabilistes ne voyaient les variables aléatoires qu’à travers leur loi.
Définition 2.3 On appelle loi de la variable aléatoire X la mesure-image
de la probabilité P par X. On la note PX. On dit aussi loi de probabilité
de X. On l’appelle encore la distribution de la variable aléatoire X.
On notera que, X étant intégrable, elle est presque sûrement finie, c’est-à-dire
presque sûrement à valeurs dans R (soit PX({−∞, +∞}) = 0) ; on peut donc
intégrer sur R au lieu d’intégrer sur R.
Pour une expérience mesurée par une v.a. X, il est important de savoir quels
sont les événements liés à cette expérience
Définition 2.4 On appelle tribu engendrée par la variable aléatoire X
la plus petite sous-tribu AX de A pour laquelle X reste mesurable
Le Théorème d’unicité des mesures dit qu’il n’y a qu’une seule mesure de
probabilité sur R dont FX soit la fonction de répartition : FX détermine PX.
Loi de Bernoulli
C’est la loi d’une v.a.r. qui ne prend (presque sûrement) que les deux valeurs
0 et 1. Si X est une telle v.a.r., sa loi est déterminée par le nombre p = P (X =
1); on a 0 < p < 1, et p est appelé le paramètre de la loi.
Loi de Gauss
On dit aussi que c’est la loi de Laplace ou la loi normale.
Elle est caractérisée par deux paramètres m ∈ R et σ > 0. On la note :
Loi uniforme
La loi uniforme sur le segment [a, b] est la loi ayant pour densité la fonction :
