Pravděpodobnost a Náhodná veličina

Question 1

Definice Náhody

Answer 1

Náhoda může být definována jako souhrn drobných, ne zcela zjistitelných nebo zcela nezjistitelných vlivů, které způsobují, že nejsme s jistotou schopni a oprávněni jednoznačně předpovědět výsledek náhodného pokusu.

Question 2

Náhodný pokus

Answer 2

je takový pokus, jehož výsledek je ovlivněn náhodou.

Question 3

Náhodné jevy

Answer 3

představují výsledky náhodného pokusu.
zpravidla označujeme velkými písmeny z počátku abecedy: A, B, C atd. Jako příklad náhodného jevu můžeme uvést padnutí jedničky na kostce, tažení šesti výherních čísel ve Sportce nebo vyrobení vadného výrobku.
Speciálními případy náhodných jevů jsou jev jistý a jev nemožný.

Question 4

Náhodná veličina

Answer 4

Náhodná veličina je veličina, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
značíme velkými písmeny od konce abecedy, tj. X, Y, Z. Jednotlivé hodnoty (realizace) se značí malými písmeny.

Abychom tomu správně rozuměli, náhodnou veličinou může být počet pacientů pozitivně otestovaných na infekční nemoc v jednom dni v souboru českých nemocnic obecně (budeme značit velkým písmenem X, jedná se náhodnou veličinu), zatímco v náhodně vybrané určité nemocnici víme, že identifikovali daný den 32 případů (zde se jedná už o konkrétní realizaci náhodné veličiny x = 32).

Question 5

Rozlišujeme dva typy náhodných veličin

Answer 5

Nespojitá (diskrétní) náhodná veličina nabývá jenom konečného nebo spočetně nekonečného počtu hodnot.

Spojitá náhodná veličina nabývá libovolných hodnot z konečného intervalu nebo celého oboru reálných čísel.

Question 6

Zákon rozdělení náhodné veličiny

Answer 6

„Zákon rozdělení náhodné veličiny je pravidlo, které každé hodnotě nebo množině hodnot z určitého intervalu přiřadí pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude právě této hodnoty nebo množiny hodnot z tohoto intervalu.“

Question 7

Zákon rozdělení náhodné veličiny je možné vyjádřit různými způsoby

Answer 7

Pro nespojitou náhodnou veličinu rozlišujeme pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci.

Pro spojitou náhodnou veličinu rozlišujeme distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti.

Question 8

Pravděpodobnostní funkce

Answer 8

každému x přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty právě x.

Budeme ji značit P(x) a je možné ji zapsat tímto vztahem
P(x)=P(X=x)

Díky pravděpodobnostní funkci jsme schopni určit pravděpodobnost výskytu konkrétní hodnoty u nespojité náhodné veličiny.

Question 9

Distribuční funkce

Answer 9

je definována jako pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty nejvýše x.
Budeme ji značit F(x) a je možné ji zapsat tímto vztahem: F(x)=P(X≤x)

Díky distribuční funkci jsme schopni určit pravděpodobnost výskytu všech hodnot, které se rovnají nebo jsou menší než zvolená hodnota.

Question 10

Pro distribuční funkci platí tyto vlastnosti:

Answer 10

1.Distribuční funkce nabývá hodnot od nuly do jedné:
0≤F(x)≤1.

2.Distribuční funkce je funkce neklesající, tj. pro každou dvojici číselx1<x2platí: F(x1)≤F(x2),
F(x2)−F(x1)=P(x1<X<x2).

3.Distribuční funkce je spojitá zprava.

4.Pro spojité náhodné veličiny platí:
F(x)=P(X<x)=P(X≤x).

5.Pravděpodobnost, že náhodná veličinaXnabude hodnoty zintervalu(x1;x2⟩, je rovna rozdílu distribuční funkce vhorní mezi adolní mezi:
P(x1<X≤x2)=F(x2)−F(x1).

6.Obecně platíF(−∞)=0,F(∞)=1.

Question 11

Hustota pravděpodobnosti

Answer 11

Hustota pravděpodobnosti je forma popisu spojité náhodné veličiny a je definována jako derivace distribuční funkce

Question 12

Pro hustotu pravděpodobnosti platí tyto vlastnosti:

Answer 12

1. Hustota pravděpodobnosti nabývá nezáporných hodnot: f(x)≥0.
2. Integrál hustoty pravděpodobnosti přes všechny hodnoty, kterých může náhodná veličina nabýt (celková plocha pod funkcíf(x)), je jedna:
   ∞∫−∞f(x)dx=1.
3. Pravděpodobnost, že náhodná veličinaXnabude hodnoty zintervalu <x1;x2>, je rovna integrálu hustoty pravděpodobnosti vmezích <x1;x2>, což je rovno rozdílu distribuční funkce vhorní mezi adolní mezi:

Question 13

Charakteristiky náhodné veličiny

Answer 13

V popisné statistice jsou vysvětleny charakteristiky polohy a variability. Tyto charakteristiky používáme k vyjádření souhrnné, koncentrované informace, která je obsažena v pravděpodobnostní či distribuční funkci nebo hustotě pravděpodobnosti. To samé platí pro charakteristiky spojené s náhodnou veličinou. Při jejich výpočtech musíme rozlišit, zda se jedná o spojitou nebo nespojitou náhodnou veličinu.

Question 14

Střední hodnota

Answer 14

Střední hodnotu řadíme mezi charakteristiky polohy a ve spojitosti s náhodnou veličinou ji budeme značit velkým písmenem E, které vychází z anglického termínu expected value. Na základě tohoto anglického názvu se můžeme setkat v českém prostředí s označením očekávaná hodnota.

Question 15

Vlastnosti střední hodnoty

Answer 15

Střední hodnota konstanty je konstanta:E(k)=k.

Střední hodnota součtu náhodné veličiny a nenulové konstanty k je rovna součtu střední hodnoty náhodné veličiny a této konstanty k :E(k+x)=E(x)+k.

Střední hodnota násobku náhodné veličiny nenulovou konstantoukje rovna násobku střední hodnoty náhodné veličiny touto konstantouk:E(kx)=k×E(x).

Střední hodnota součtu nebo rozdílu dvou náhodných veličinXaYje rovna součtu nebo rozdílu středních hodnot těchto veličin:E(X±Y)=E(X)±E(Y).

Střední hodnota součinu dvou nezávislých náhodných veličin je rovna součinu středních hodnot těchto veličin:E(XY)=E(X)×E(Y).

Střední hodnota rozdílu náhodné veličiny ajejí střední hodnoty je vždy nulaE[X−E(X)]=0

Question 16

ROZPTYL

Answer 16

Rozptyl řadíme mezi charakteristiky variability a ve spojitosti s náhodnou veličinou ho budeme značit velkým písmenem D.

Question 17

Vlastnosti rozptylu

Answer 17

1. Rozptyl konstanty je roven nule:D(k)=0.
2. Rozptyl součtu náhodné veličiny anenulové konstantykje roven rozptylu náhodné veličinyX:D(X+k)=D(X).
3. Rozptyl násobku náhodné veličiny nenulovou konstantoukje roven násobku rozptylu náhodné veličiny druhou mocninou této konstantyk:D(k×X)=k2×D(X).
4. Rozptyl součtu nebo rozdílu dvou nezávislých náhodných veličinXaYje vždy roven součtu rozptylů těchto veličin:D(X±Y)=D(X)+D(Y).

Question 18

Pro pravděpodobnostní funkci platí vlastnosti?

Answer 18

Díky pravděpodobnostní funkci jsme schopni určit pravděpodobnost výskytu konkrétní hodnoty u nespojité náhodné veličiny.

Pro pravděpodobnostní funkci platí tyto vlastnosti:

1. Pravděpodobnostní funkce nabývá hodnot od nuly do jedné, což plyne z axiomu o pravděpodobnosti náhodného jevu:
   0≤P(x)≤1
2. Protože je jisté, že náhodná veličina nabude některé z hodnot x, součet všech hodnot pravděpodobnostní funkce je jedna:
   ∑xP(x)=1
3. Můžeme stanovit i pravděpodobnost, že náhodná veličina leží v intervalu ⟨x1;x2⟩, vypočítáme jako součet hodnot pravděpodobnostních funkcí v bodech od x1 do x2 včetně:
   P(x1≤X≤x2)=∑x2x1 P(x)

Question 19

Normální rozdělení

Answer 19

normální rozdělení neznamená nic jiného než to, že příroda se snaží vytvořit ideální typ (reprezentovaný průměrem), avšak v různé míře (náhodně) chybuje.

Question 20

Normální rozdělení získaneme?

Answer 20

N ( µ ; σ2 )
Střední hodnota E(X)=µ
Rozptyl = σ2

Question 21

Pravidlo 6 sigma

Answer 21

do 3 směrodatných odchylek na každou stranu od průměru leží 99 % hodnot

Question 22

Normální rozdělení – čím je důležité

Answer 22

Většina hodnot je kolem průměru, jejich rozdělení je symetrické; polovina hodnot větších /menších než průměr
Průměr = modus = medián
Procento případů spadajících do intervalu kolem průměru – pravidlo 6 sigma

Question 23

BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ kdy použijeme?

Answer 23

Předpokládejme, že provádíme n nezávislých náhodných pokusů (tj. takových pokusů, kdy výsledek žádného pokusu neovlivňuje pravděpodobnost výsledků jiných pokusů), při nichž může nastat jev A s pravděpodobností π a nenastat s pravděpodobností
1−π

Question 24

POISSONOVO ROZDĚLENÍ

Answer 24

Jestliže je počet nezávislých pokusů (rozsah výběru) dostatečně velký (alespoň
n>30) a pravděpodobnost velmi malá (π≤0,1), pak je možné binomické rozdělení aproximovat (nahradit) Poissonovým rozdělením s parametrem
λ=n×π.

Poissonovo rozdělení má pouze jeden parametr λ. Používá se u náhodných veličin, které představují počet výskytů jevů v dané časové nebo prostorové jednotce. Tímto rozdělením se řídí také vzácné jevy, které mají nízkou pravděpodobnost výskytu. Můžeme se tak setkat s tím, že Poissonovo rozdělení bývá nazýváno rozdělením řídkých jevů. Příkladem náhodné veličiny, pro kterou je vhodné použít toto rozdělení, může být počet obsloužených zákazníků u pokladny za určitý časový úsek, počet chyb na straně textu, počet vážných úrazů během pracovní směny, počet poruch stroje během jedné pracovní směny atp. Stejně jako v případě binomického rozdělení i Poissonovo rozdělení se používá u nezávislých pokusů (u pokusů s vracením, opakováním).

Question 25

Vybraná rozdělení spojité náhodné veličiny

Answer 25

ROVNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ
EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ
NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ
Normované normální rozdělení)
LOGARITMICKO-NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ
CHÍ-KVADRÁT ROZDĚLENÍ
ROZDĚLENÍ T (STUDENTOVO)

Question 26

Def. ROVNOMĚRNÉ ROZDĚLENÍ

Answer 26

Náhodná veličina X se přibližně řídí rovnoměrným rozdělením s parametry a a b: X~R(a;b) .

nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení spojité náhodné veličiny. Toto pravděpodobnostní rozdělení využijeme tam, kde má náhodná veličina X konstantní hustotu pravděpodobnosti na celém definičním oboru. Jinak řečeno, má stejnou možnost výskytu v celém intervalu
⟨a;b⟩
. Příkladem využití tohoto rozdělení v praxi může být čekání na odjezd dopravního prostředku (v pravidelném časovém intervalu) nebo chyby při zaokrouhlování.

Question 27

Def. EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ

Answer 27

Náhodná veličina X se přibližně řídí exponenciálním rozdělením s parametry A a δ: X~Exp(A;δ).

Question 28

Def. NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ

Answer 28

Náhodná veličina X se přibližně řídí normálním rozdělením s parametry μ a
σ2 : X~N(μ;σ2)

Klasickým příkladem tohoto rozdělení je rozdělení náhodných chyb vzniklých při měření nějaké veličiny.Při opakovaném měření téže veličiny za stejných podmínek způsobují náhodné (nekontrolovatelné) vlivy odchylky od skutečné hodnoty měřené veličiny.“ [1]Řídí se jím náhodná veličina, jejíž kolísání je způsobeno součtem drobných, vzájemně nezávislých vlivů.

Pomocí normálního rozdělení můžeme aproximovat (upravit) řadu jiných rozdělení, spojitých i nespojitých. „Předpoklad normality rozdělení je požadavek mnoha statistických metod a jeho porušení má více či méně negativní důsledky na výsledky a možnost aplikace jednotlivých metod.“ [1]

Question 29

Normované normální rozdělení

Answer 29

Pro zjednodušení se většinou používá normované normální rozdělení, které je speciálním případem normálního rozdělení. Hodnoty tohoto rozdělení jsou tabelovány (zapsány v tabulkách), což značně usnadňuje výpočty.

Náhodná veličina U se řídí normovaným normálním rozdělením s parametry
μ=0 a σ2=1 , tzn. normálním rozdělením se střední hodnotou 0 a rozptylem 1:
U~N(0;1).