Pitanja

Question 1

Definisati granicnu tacku skupa D.

Answer 1

Tacku Po(x1o,x2o…xno) skupa D nazivamo granicnom tackom tog skupa, ako svaka njena epsilon okolina sadrzi istovremeno i tacke koje pripadaju skupu D i tacke koje mu ne pripadaju.

Question 2

Definisati prirastaj funkcije u=f(x,y,z) po promenljivoj x.

Answer 2

∆xU=f(x+xo,y,z)-f(x,y,z)

Question 3

Formulisati i dokazati teoremu o obliku jednacine tangentne ravni povrsi kada postoji.

Answer 3

Ako postoji tangentna ravan povrsi S, opisane funkcijom z=f(x,y), koja ima definisane parcijalne izvode u tacki Po(xo,yo), takvoj da Mo(xo,yo,zo) pripada S, ta ravan je data jednacinom:
z-zo=f’x(Po)(x-xo)+f’y(Po)(y-yo)

Question 4

Napisati Tejlorov polinom drugog reda funkcije z=f(x,y) u tacki Mo(xo,yo).

Answer 4

Tn=f(xo,yo)+f’x(xo,yo)(x-xo)+f’y(xo,yo)(y-yo)+1/2(f’‘xx(xo,yo)(x-xo)²+2f’‘xy(xo,yo)(x-xo)(y-yo)+f’‘yy(xo,yo)(y-yo)²

Question 5

Definisati pojam kriticne tacke funkcije n promenljivih.

Answer 5

Tacke Po(xo1,xo2,…xon) u kojima funkcija vise promenljivih u=f(x1,x2…xn) ima sve parcijalne izvode jednake nuli ili neki od tih izvoda nije definisan, nazivaju se kriticne tacke funkcije.

Question 6

Definisati unutrasnju tacku skupa.

Answer 6

Tacka Po(xo1,xo2,…xon) za koju postoji neka epsilon okolina cije sve tacke pripadaju skupu D, naziva se unutrasnja tacka skupa D.

Question 7

Definisati parcijalne prirastaje funkcije z=f(x,y).

Answer 7

Totalni prirastaj funkcije z=f(x,y) u tacki Po(xo,yo) je razlika vrednosti te funkcije u proizvoljnoj tacki P(x,y) i vrednosti u tacki Po. Ukoliko pri poredjenju tacaka P i Po varira samo jedna od promenljivih, odgovarajuci prirastaj se naziva parcijalni prirastaj funkcije.
∆xZ=f(xo+∆x,yo)-f(xo,yo)
∆yZ=f(xo,yo+∆y)-f(xo,yo)

Question 8

Teorema o jednakosti mesovitih parcijalnih izvoda.

Answer 8

Neka funkcija z=f(x,y) ima definisane mesovite parcijalne izvode f’‘xy i f’‘yx na oblasti D i neka su u datoj unutrasnjoj tacki Po(xo,yo) ti izvodi neprekidni. Tada su oni u toj tacki jednaki.

Question 9

Definisati izvod u jedinicnom vektoru.

Answer 9

f’v=f’xvx+f’yvy+f’z*vz

Question 10

Napisati Lagranzovu teoremu za trazenje uslovnog ekstremuma funkcije dve promenljive.

Answer 10

L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)

Question 11

Definisati otvoren skup.

Answer 11

Tacka Po(xo1,xo2,…xon) iz skupa D za koju vazi da postoji neka njena epsilon okolina cije sve tacke pripadaju skupu D naziva se unutrasnja tacka skupa D.

Skup u kome su sve tacke unutrasnje zove se otvoren skup.

Question 12

Definisati zatvoren skup.

Answer 12

Tacka Po(xo1,xo2…xon) iz skupa D za koju vazi da u svaka njena epsilon okolina sadrzi tacke koje pripadaju skupu D, a istovremeno i tacke koje mu ne pripadaju, naziva se granicnom tackom tog skupa.

Skup u kome su sve tacke granicne je zatvoren skup.

Question 13

Definisati totalni diferencijal.

Answer 13

Za funkciju u=f(x1,x2,…,xn), koja je diferencijabilna u tacki Po(xo1, xo2…xon), glavni deo totalnog prirastaja f’x1∆x1+f’x2∆x2+…+f’xn∆xn je totalni diferencijal te funkcije u Po.

Question 14

Definicija diferencijala drugog reda.

Answer 14

Ako funkcija z=f(x,y) ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda na nekom otvorenom skupu D⊆R, tada se diferencijal totalnog diferencijala date funkcije naziva diferencijalom drugog reda i oznacava se sa d²z.

Question 15

Definisati lokalni ekstremum.

Answer 15

Funkcija n promenljivih u=f(x1,x2,..,xn) ima lokalni maksimum u tacki Po(xo1, xo2,…,xon) ako postoji epsilon>0, tako da u svim tackama P(x1,x2,..xn)∈Ue(Po) ima manju vrednost nego u tacki Po.

Funkcija n promenljivih u=f(x1,x2,..,xn) ima lokalni minimum u tacki Po(xo1, xo2,…,xon) ako postoji epsilon>0, tako da u svim tackama P(x1,x2,..xn)∈Ue(Po) ima vecu vrednost nego u tacki Po.

Question 16

Formulisati i dokazati teoremu o vezi gradijenta i izvoda u smeru vektora.

Answer 16

Ako je u skalarnom polju funkcije u=f(x,y,z) definisano polje gradijenta gradu=f’xi+f’yj+f’zk, onda je u svakoj tacki polja izvod f’v u smeru vektora v jednak projekciji vektora gradu na vektor v.

Question 17

Definisati epsilon okolinu.

Answer 17

ε okolina tacke Po(xo1,xo2,…xon) iz Rⁿ je skup svih tacaka P(x1,x2,…xn) iz Rⁿ cije je rastojanje od tacke Po manje od ε

Question 18

Definisati stacionarnu tacku.

Answer 18

Ako funkcija u=f(x1,x2,…xn) ima definisane parcijalne izvode u celoj oblasti definisanosti, onda se svi kandidati za ekstremume mogu dobiti kao resenja sistema jednacina f’xi(x1,x2,…,xn)=0; i=1,2..n;
Resenja ovog sistema se zovu stacionarne tacke.

Question 19

Napisati parcijalne izvode za implicitno zadatu funkciju F(x,y,z)=0

Answer 19

z'x= - F'x/F'z
z'y= - F'y/F'z

Question 20

Formulisati i dokazati teoremu o neophodnim uslovima za lokalni i uslovni ekstremum

Answer 20

Ako funkcija u=f(x1,x2…xn) ima lokalni ekstremum u tacki Po(xo1, xo2..xon) u kojoj postoje svi parcijalni izvodi, onda su ti izvodi u tacki Po jednaki nuli.

Question 21

Definisati lokalni maksimum funkcije vise promenljivih u tacki.

Answer 21

Funkcija n promenljivih u=f(x1,x2,..,xn) ima lokalni maksimum u tacki Po(xo1, xo2,…,xon) ako postoji epsilon>0, tako da u svim tackama P(x1,x2,..xn)∈Ue(Po) ima manju vrednost nego u tacki Po.

Question 22

Formule za diferencijal drugog/treceg reda:

Answer 22

d²z=f’‘xxdx²+2f’‘xydxdy+f’‘yydy²

d³z=f’'’xxxdx³+3f’'’xyydxdy²+3f’'’xxydx²dy+f’'’yyydy³

Question 23

Definisati tangengtnu ravan

Answer 23

Ako postoji ravan koja sadrzi tangente T za sve krive Linije L koje leze na povrsi S i prolaze kroz tacku Mo(xo,yo,zo) tada se ta ravan naziva tangentna ravan.

Question 24

Teorema i dokaz za slozenu funkciju?

Answer 24

kasnije

Question 25

Definisati neprekidnost funkcije dve promenljive.

Answer 25

Za funkciju dve promenljive u=f(x,y), koja je definisana u tacki Po(xo,yo) i nekoj njenoj okolini, kazemo da je neprekidna u tacki Po, ako je
Lim(P->Po) f(x,y)=f(xo,yo).

Question 26

Definisati neprekidnost funkcije u=f(x1,x2,…xn) u tacki Po.

Answer 26

Za funkciju vise promenljivih u=f(x1,x2,…xn) koja je definisana u tacki Po(xo1,xo2,…,xon) i nekoj njenoj okolini, kazemo da je neprekidna u tacki Po, ako je
lim(P->Po)f(x1,x2,…,xn)=f(xo1,xo2,…,xon).

Question 27

Heseova matrica

Answer 27

slika

Question 28

Gradijent za funkciju 3 promenljivih

Answer 28

Kako je u skalarnom polju data diferencijabilna funkcija u=f(x,y,z), za svaku tacku Mo polja moze se odrediti vektor
gradu(Mo)=f’x1(Mo)e1+…+f’xn(Mo)en
koji se naziva gradijent funkcije f u tacki Mo.

Question 29

Napisati Peanov oblik ostatka za Maklorenov polinom treceg stepena funkcije u=f(x,y).

Answer 29

Rn(x,y)=o(pⁿ), gde je p=√(∆x1²+∆x2²+…+∆xn²)

Question 30

Definisati gradijent u tacki Po

Answer 30

Kada je u skalarnom polju data diferencijabilna funkcija u=f(x,y,z), za svaku tacku Mo polja moze se odrediti vektor
gradu(Mo)=f’x(Mo)i+f’y(Mo)j+f’z(Mo)k, koji nazivamo gradijent funkcije f u tacki Mo.

Question 31

Definisati mesovite parcijalne izvode drugog reda funkcije dve promenljive

Answer 31

Ako postoji parcijalni izvod funkcije f’xi(x1,x2,…,xn) po promenljivoj xj, j∈{1,2,…n}, u tacki Po(xo1,xo2,…xon), onda se on naziva parcijalni izvod drugog reda funkcije f u tacki Po i oznacava sa F’‘xixj(Po). Ukoliko je i razlocito od j, parcijalni izvod se zove mesoviti.

Question 32

Definisati parcijalne izvode prvog i drugog reda

Answer 32

Ako postoji konacna granicna vrednost kolicnika parcijalnog prirastaja po promenljivoj xi, funkcije u=f(x1,x2,…xn) i prirastaja nezavisne promenljive xi, kada on tezi ka nuli u tacki Po(xo1, xo2,…xon), onda se ta granicna vrednost naziva parcijalni izvod funkcije f u tacki Po i oznacava sa f’xi(xo1,xo2,…xon).

Ako postoji parcijalni izvod funkcije f’xi(x1,x2,…,xn) po promenljivoj xj, j∈{1,2,…n}, u tacki Po(xo1,xo2,…xon), onda se on naziva parcijalni izvod drugog reda.

Question 33

Definisati granicnu vrednost L u Mo(xo,yo) za z=f(x,y)

Answer 33

Broj L je granicna vrednost funkcije z u tacki Mo na skupu D, ako za svaku okolinu V⊆R broja L postoji okolina U⊆Rⁿ tacke Mo, tako da za svaku tacku P≠Po, P∈D∩U vazi da je f(P)∈V. Tada pisemo
lim(P->Po)f(x1,x2,…xn)=L

Question 34

Definisati izvod u smeru vektora

Answer 34

Neka je u skalarnom polju omega definisana funkcija u=f(x,y,z) i neka su date tacka Mo iz omega i jedinicni vektor v=(vx,vy,vz). Ako postoji granicna vrednost lim(t->0) (f(xo+tvx,yo+tvy,zo+tvz)-f(xo,yo,zo))/t nazivamo je izvod u smeru vektora v u tacki Mo i oznacavamo se F’v ili du/dv.

Question 35

Definisati totalni prirastaj funkcije

Answer 35

Totalni prirastaj funkcije z=f(x,y) u tacki Po(xo,yo) je razlika vrednosti te funkcije u proizvoljnoj tacki P(x,y) i vrednosti u tacki Po.
∆z=f(P)-f(Po)=f(xo+∆x,yo+∆y)-f(xo,yo)