Pitanja Flashcards
Definisati granicnu tacku skupa D.
Tacku Po(x1o,x2o…xno) skupa D nazivamo granicnom tackom tog skupa, ako svaka njena epsilon okolina sadrzi istovremeno i tacke koje pripadaju skupu D i tacke koje mu ne pripadaju.
Definisati prirastaj funkcije u=f(x,y,z) po promenljivoj x.
∆xU=f(x+xo,y,z)-f(x,y,z)
Formulisati i dokazati teoremu o obliku jednacine tangentne ravni povrsi kada postoji.
Ako postoji tangentna ravan povrsi S, opisane funkcijom z=f(x,y), koja ima definisane parcijalne izvode u tacki Po(xo,yo), takvoj da Mo(xo,yo,zo) pripada S, ta ravan je data jednacinom:
z-zo=f’x(Po)(x-xo)+f’y(Po)(y-yo)
Napisati Tejlorov polinom drugog reda funkcije z=f(x,y) u tacki Mo(xo,yo).
Tn=f(xo,yo)+f’x(xo,yo)(x-xo)+f’y(xo,yo)(y-yo)+1/2(f’‘xx(xo,yo)(x-xo)²+2f’‘xy(xo,yo)(x-xo)(y-yo)+f’‘yy(xo,yo)(y-yo)²
Definisati pojam kriticne tacke funkcije n promenljivih.
Tacke Po(xo1,xo2,…xon) u kojima funkcija vise promenljivih u=f(x1,x2…xn) ima sve parcijalne izvode jednake nuli ili neki od tih izvoda nije definisan, nazivaju se kriticne tacke funkcije.
Definisati unutrasnju tacku skupa.
Tacka Po(xo1,xo2,…xon) za koju postoji neka epsilon okolina cije sve tacke pripadaju skupu D, naziva se unutrasnja tacka skupa D.
Definisati parcijalne prirastaje funkcije z=f(x,y).
Totalni prirastaj funkcije z=f(x,y) u tacki Po(xo,yo) je razlika vrednosti te funkcije u proizvoljnoj tacki P(x,y) i vrednosti u tacki Po. Ukoliko pri poredjenju tacaka P i Po varira samo jedna od promenljivih, odgovarajuci prirastaj se naziva parcijalni prirastaj funkcije.
∆xZ=f(xo+∆x,yo)-f(xo,yo)
∆yZ=f(xo,yo+∆y)-f(xo,yo)
Teorema o jednakosti mesovitih parcijalnih izvoda.
Neka funkcija z=f(x,y) ima definisane mesovite parcijalne izvode f’‘xy i f’‘yx na oblasti D i neka su u datoj unutrasnjoj tacki Po(xo,yo) ti izvodi neprekidni. Tada su oni u toj tacki jednaki.
Definisati izvod u jedinicnom vektoru.
f’v=f’xvx+f’yvy+f’z*vz
Napisati Lagranzovu teoremu za trazenje uslovnog ekstremuma funkcije dve promenljive.
L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)
Definisati otvoren skup.
Tacka Po(xo1,xo2,…xon) iz skupa D za koju vazi da postoji neka njena epsilon okolina cije sve tacke pripadaju skupu D naziva se unutrasnja tacka skupa D.
Skup u kome su sve tacke unutrasnje zove se otvoren skup.
Definisati zatvoren skup.
Tacka Po(xo1,xo2…xon) iz skupa D za koju vazi da u svaka njena epsilon okolina sadrzi tacke koje pripadaju skupu D, a istovremeno i tacke koje mu ne pripadaju, naziva se granicnom tackom tog skupa.
Skup u kome su sve tacke granicne je zatvoren skup.
Definisati totalni diferencijal.
Za funkciju u=f(x1,x2,…,xn), koja je diferencijabilna u tacki Po(xo1, xo2…xon), glavni deo totalnog prirastaja f’x1∆x1+f’x2∆x2+…+f’xn∆xn je totalni diferencijal te funkcije u Po.
Definicija diferencijala drugog reda.
Ako funkcija z=f(x,y) ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda na nekom otvorenom skupu D⊆R, tada se diferencijal totalnog diferencijala date funkcije naziva diferencijalom drugog reda i oznacava se sa d²z.
Definisati lokalni ekstremum.
Funkcija n promenljivih u=f(x1,x2,..,xn) ima lokalni maksimum u tacki Po(xo1, xo2,…,xon) ako postoji epsilon>0, tako da u svim tackama P(x1,x2,..xn)∈Ue(Po) ima manju vrednost nego u tacki Po.
Funkcija n promenljivih u=f(x1,x2,..,xn) ima lokalni minimum u tacki Po(xo1, xo2,…,xon) ako postoji epsilon>0, tako da u svim tackama P(x1,x2,..xn)∈Ue(Po) ima vecu vrednost nego u tacki Po.
Formulisati i dokazati teoremu o vezi gradijenta i izvoda u smeru vektora.
Ako je u skalarnom polju funkcije u=f(x,y,z) definisano polje gradijenta gradu=f’xi+f’yj+f’zk, onda je u svakoj tacki polja izvod f’v u smeru vektora v jednak projekciji vektora gradu na vektor v.
Definisati epsilon okolinu.
ε okolina tacke Po(xo1,xo2,…xon) iz Rⁿ je skup svih tacaka P(x1,x2,…xn) iz Rⁿ cije je rastojanje od tacke Po manje od ε
Definisati stacionarnu tacku.
Ako funkcija u=f(x1,x2,…xn) ima definisane parcijalne izvode u celoj oblasti definisanosti, onda se svi kandidati za ekstremume mogu dobiti kao resenja sistema jednacina f’xi(x1,x2,…,xn)=0; i=1,2..n;
Resenja ovog sistema se zovu stacionarne tacke.
Napisati parcijalne izvode za implicitno zadatu funkciju F(x,y,z)=0
z'x= - F'x/F'z z'y= - F'y/F'z
Formulisati i dokazati teoremu o neophodnim uslovima za lokalni i uslovni ekstremum
Ako funkcija u=f(x1,x2…xn) ima lokalni ekstremum u tacki Po(xo1, xo2..xon) u kojoj postoje svi parcijalni izvodi, onda su ti izvodi u tacki Po jednaki nuli.
Definisati lokalni maksimum funkcije vise promenljivih u tacki.
Funkcija n promenljivih u=f(x1,x2,..,xn) ima lokalni maksimum u tacki Po(xo1, xo2,…,xon) ako postoji epsilon>0, tako da u svim tackama P(x1,x2,..xn)∈Ue(Po) ima manju vrednost nego u tacki Po.
Formule za diferencijal drugog/treceg reda:
d²z=f’‘xxdx²+2f’‘xydxdy+f’‘yydy²
d³z=f’'’xxxdx³+3f’'’xyydxdy²+3f’'’xxydx²dy+f’'’yyydy³
Definisati tangengtnu ravan
Ako postoji ravan koja sadrzi tangente T za sve krive Linije L koje leze na povrsi S i prolaze kroz tacku Mo(xo,yo,zo) tada se ta ravan naziva tangentna ravan.
Teorema i dokaz za slozenu funkciju?
kasnije
Definisati neprekidnost funkcije dve promenljive.
Za funkciju dve promenljive u=f(x,y), koja je definisana u tacki Po(xo,yo) i nekoj njenoj okolini, kazemo da je neprekidna u tacki Po, ako je
Lim(P->Po) f(x,y)=f(xo,yo).
Definisati neprekidnost funkcije u=f(x1,x2,…xn) u tacki Po.
Za funkciju vise promenljivih u=f(x1,x2,…xn) koja je definisana u tacki Po(xo1,xo2,…,xon) i nekoj njenoj okolini, kazemo da je neprekidna u tacki Po, ako je
lim(P->Po)f(x1,x2,…,xn)=f(xo1,xo2,…,xon).
Heseova matrica
slika
Gradijent za funkciju 3 promenljivih
Kako je u skalarnom polju data diferencijabilna funkcija u=f(x,y,z), za svaku tacku Mo polja moze se odrediti vektor
gradu(Mo)=f’x1(Mo)e1+…+f’xn(Mo)en
koji se naziva gradijent funkcije f u tacki Mo.
Napisati Peanov oblik ostatka za Maklorenov polinom treceg stepena funkcije u=f(x,y).
Rn(x,y)=o(pⁿ), gde je p=√(∆x1²+∆x2²+…+∆xn²)
Definisati gradijent u tacki Po
Kada je u skalarnom polju data diferencijabilna funkcija u=f(x,y,z), za svaku tacku Mo polja moze se odrediti vektor
gradu(Mo)=f’x(Mo)i+f’y(Mo)j+f’z(Mo)k, koji nazivamo gradijent funkcije f u tacki Mo.
Definisati mesovite parcijalne izvode drugog reda funkcije dve promenljive
Ako postoji parcijalni izvod funkcije f’xi(x1,x2,…,xn) po promenljivoj xj, j∈{1,2,…n}, u tacki Po(xo1,xo2,…xon), onda se on naziva parcijalni izvod drugog reda funkcije f u tacki Po i oznacava sa F’‘xixj(Po). Ukoliko je i razlocito od j, parcijalni izvod se zove mesoviti.
Definisati parcijalne izvode prvog i drugog reda
Ako postoji konacna granicna vrednost kolicnika parcijalnog prirastaja po promenljivoj xi, funkcije u=f(x1,x2,…xn) i prirastaja nezavisne promenljive xi, kada on tezi ka nuli u tacki Po(xo1, xo2,…xon), onda se ta granicna vrednost naziva parcijalni izvod funkcije f u tacki Po i oznacava sa f’xi(xo1,xo2,…xon).
Ako postoji parcijalni izvod funkcije f’xi(x1,x2,…,xn) po promenljivoj xj, j∈{1,2,…n}, u tacki Po(xo1,xo2,…xon), onda se on naziva parcijalni izvod drugog reda.
Definisati granicnu vrednost L u Mo(xo,yo) za z=f(x,y)
Broj L je granicna vrednost funkcije z u tacki Mo na skupu D, ako za svaku okolinu V⊆R broja L postoji okolina U⊆Rⁿ tacke Mo, tako da za svaku tacku P≠Po, P∈D∩U vazi da je f(P)∈V. Tada pisemo
lim(P->Po)f(x1,x2,…xn)=L
Definisati izvod u smeru vektora
Neka je u skalarnom polju omega definisana funkcija u=f(x,y,z) i neka su date tacka Mo iz omega i jedinicni vektor v=(vx,vy,vz). Ako postoji granicna vrednost lim(t->0) (f(xo+tvx,yo+tvy,zo+tvz)-f(xo,yo,zo))/t nazivamo je izvod u smeru vektora v u tacki Mo i oznacavamo se F’v ili du/dv.
Definisati totalni prirastaj funkcije
Totalni prirastaj funkcije z=f(x,y) u tacki Po(xo,yo) je razlika vrednosti te funkcije u proizvoljnoj tacki P(x,y) i vrednosti u tacki Po.
∆z=f(P)-f(Po)=f(xo+∆x,yo+∆y)-f(xo,yo)
