Partiel afledede

Question 1

Hvad er partielt aflede med to variable?

Answer 1

den aflede med en fast og en afledt.

Question 2

Tangentrum

Answer 2

Sammenfattende betyder denne tekst, at tangentrummet for f’s graf i punktet (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) er et todimensionelt underrum i R³. Det består af vektorer, der kan beskrives som en kombination af basisvektorerne (1, 0, ∂/∂x (x₀, y₀)) og (0, 1, ∂/∂y (x₀, y₀)). Ved at parallelforskyde dette underrum med vektoren (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) får vi tangentplanen for f’s graf i det betragtede punkt. Vektoren n er ortogonal på tangentrummet, og enhver vektor v i tangentrummet er ortogonal på vektoren n.
Samlet set giver tangentplanen os en lokal tilgang til at forstå funktionen f i nærheden af et bestemt punkt. Den hjælper os med at analysere ændringer, tilnærmelser og visualisere grafen i et begrænset område.

Question 3

Funktioner af n variable: Partielt afledede

Answer 3

For en funktion f af n variable, hvor n≥1, og en given vektor x=(x₁,x₂,…,xₙ) i defineringsmængden U for f, siger vi, at den partielle afledte af f med hensyn til x₁ eksisterer i punktet x, hvis funktionen givet ved t→f(t,x₂,x₃,…,xₙ) er differentiabel i punktet t=x₁.
Med andre ord, vi holder alle variable undtagen x₁ konstante og betragter funktionen f(t,x₂,x₃,…,xₙ) som en funktion af en enkelt variabel t. Hvis denne funktion er differentiabel i punktet t=x₁, siger vi, at den partielle afledte af f med hensyn til x₁ eksisterer i punktet x.
Den partielle afledte af f med hensyn til x₁ i punktet x betegnes ∂f/(∂x₁)(x).

Question 4

Differentiabilitets sætning 1: 1 variabel

Answer 4

En funktion af en variable x er differentiabel i punktet x_0, hvis og kun hvis der eksisterer et reelt tal α, og en o-funktion φ defineret på et interval ]-r,r] omkring 0 således at
f(x_0+h)=f(x_0 )+αh+φ(h)h,for |h|<r
Det er denne betegnelse vi vil generalisere til funktioner af flere variable. Vi starter med at definere o-funktion af n variable.
Men for funktioner af flere variable gælder dette ikke. Selvom partielt afledte kan eksistere i et punkt, er det ikke tilstrækkeligt til at sikre kontinuitet i det pågældende punkt.For at generalisere til flere variable med 0 funktion af n

Question 5

O-funktion af n variable

Answer 5

Ved en o-funktion forståes en reel funktion φ:B_r (0)→R, der er defineret på en kugle B_r (0)⊆R^n, og som opfylder
a) φ(o)=0, og
b) φ er kontinuert i 0.
En o-funktion er en reel funktion φ, der er defineret på en kugle B_r (0) i R^n. Kuglen B_r (0) er centreret omkring nulpunktet (0, 0, …, 0) og har radius r. Det er vigtigt at bemærke, at B_r (0) er en delmængde af R^n, hvor hvert element (x₁, x₂, …, x_n) i kuglen har en euklidisk afstand til nulpunktet mindre end r.
Den opfylder to vigtige betingelser:
φ(o) = 0: Dette betyder, at o-funktionen antager værdien 0 i nulpunktet. Med andre ord, når vi indsætter nulpunktet (0, 0, …, 0) i funktionen φ, får vi resultatet 0. Dette er et centralt krav for o-funktionen.

b) φ er kontinuert i 0: Dette betyder, at o-funktionen φ er en kontinuert funktion i nulpunktet. Kontinuitet indebærer, at funktionen ikke har brud, spring eller uendeligheder i sin defineringsmængde omkring nulpunktet. Det betyder, at når vi nærmer os nulpunktet (0, 0, …, 0), vil værdierne af φ ændre sig jævnt og uden pludselige spring.

Question 6

Differentiabilitets 2: R^n

Answer 6

Lad U være en åben delmængde af R^n og f: U→R, en funktion. Lad x_0∈U. vi siger at f er differentiabel i x_0, hvis der findes en lineær afbildning L:R^n→R og en o-funktion φ:B_r (0)→R, således at
f(x_0+h)=f(x_0 )+L(h)+φ(h)|(|h|)|
for alle h∈B_r (0).
Hvis f er differentiabel i ethvert punkt af U, siger vi, at f er differentiabel i U.
Vi siger, at f er differentiabel i x₀, hvis der eksisterer en lineær afbildning L: Rⁿ → R og en o-funktion φ: Bᵣ(0) → R, hvor Bᵣ(0) er en kugle omkring nulpunktet i Rⁿ med radius r, så følgende betinghed er opfyldt for alle h i Bᵣ(0):
Når man bruger en lille ændring h i funktionen f i punktet x₀, handler det om at analysere, hvordan funktionen ændrer sig i nærheden af dette punkt. Ved at introducere en lille ændring h og evaluere funktionen f(x₀ + h), kan vi observere, hvordan output-værdien af funktionen ændrer sig i forhold til en lille ændring i input-værdien.

Question 7

Kontinuitet

Answer 7

Lad f∶U→R være en funktion og antag at f er differentiabel i x_0∈U. Så er f kontinuert i x_0.
differentiabilitet i et punkt x₀ medfører kontinuitet i samme punkt. Det er vigtigt at bemærke, at dette ikke gælder den anden vej. En funktion kan være kontinuert i et punkt uden at være differentiabel i samme punkt. Differentiabilitet kræver yderligere betingelser ud over kontinuitet.

Question 8

Differentiabel funktion har partielt afledte

Answer 8

Lad U være en åben delmængde af R^n, og f:U→R, en funktion. Hvis f er differentiabel i punktet x_0∈U, så eksisterer de partielt afledte ∂f/(∂x_j ) (x_0 ) af f, og for enhver vektor h=(h_1,h_2,…,h_n )∈R^n er
L(h)=∑(j=1)^n▒〖 ∂f/(∂x_j ) (x_0 ) h_j 〗
Dette udtryk beskriver den lineære afbildning L(h) i differentiabilitetsdefinitionen for en funktion f, der er differentiabel i punktet x₀.
∂f/(∂x_j ) (x_0 ) er den partielle afledede af funktionen f med hensyn til variablen x_j evalueret i punktet x₀. Denne partielle afledede angiver ændringen i f, når vi ændrer x_j i nærheden af x₀, mens de andre variabler holdes konstante.
h_j er j’te komponent af vektoren h=(h_1,h_2,…,h_n ). Vektoren h beskriver en ændring i hver af variablerne i nærheden af x₀.
L(h)=∑(j=1)^n▒〖 ∂f/(∂x_j ) (x_0 ) h_j 〗 er en sum af bidrag fra hver komponent af vektoren h, hvor hver komponent er ganget med den tilsvarende partielle afledede. Dette udtryk repræsenterer den lineære approksimation af ændringen i f i nærheden af punktet x₀.

Question 9

Differentiabilitets sætningen 9.12

Answer 9

Lad f∶U→R, være en funktion og lad x_0∈U. Antag, at de partielt afledte af f eksisterer i alle punkter i en åben kugle B_r (x_0 )⊆U, og at de derved fremkomme funktioner
∂f/(∂x_j ):B_r (x_0 )→R,j=1,2,…,n
alle er kontinuerte i x_0. så er f differentiabel i x_0.
I praksis betyder dette, at hvis alle de partielt afledte af f eksisterer og er kontinuerte i x_0, kan vi konkludere, at f er differentiabel i x_0. Det betyder, at f har en veldefineret tangentplan og en lineær approksimation omkring x_0, hvilket giver os en stærkere form for kontinuitet og differentierbarhed.
Så ja, eksistensen af de partielt afledte alene garanterer ikke kontinuitet, men når de partielt afledte er både eksisterende og kontinuerte, så sikrer det differentiabilitet i x_0.

Question 10

Kædereglen

Answer 10

Vi har givet en funktion f: U → R, hvor U er en åben delmængde af R^n, og g_1, g_2, …, g_n er funktioner fra V til R, hvor V er en delmængde af R^m. Vi definerer også y_0 = (g_1(x_0), g_2(x_0), …, g_n(x_0)) for et givet punkt x_0 i V.

Betingelserne for resultatet er som følger:
f skal være differentiabel i punktet y_0 = (g_1(x_0), g_2(x_0), …, g_n(x_0)). Dette betyder, at f har en veldefineret differentialkvotient i y_0, hvilket indebærer eksistensen af alle partielle afledede af f i y_0.
For hver funktion g_i, hvor i = 1, 2, …, n, skal den partielle afledede (∂g_i)/(∂x_j)(x_0) eksistere. Dette betyder, at hver af de n funktioner g_i er differentiable med hensyn til den j’te koordinat i punktet x_0.

Question 11

Retningsafledet

Answer 11

F(t)=f(u+tv). Nu betragter vi en linje i rummet, som er parametriseret ved {u + tv | t ∈ R}, hvor u er et punkt i U og t er en parameter. Hver værdi af t svarer til et punkt på linjen. Vi kan begrænse funktionen f til denne linje ved at erstatte hver forekomst af u i funktionen f med u + tv. Dette definerer en ny funktion, som vi kalder F(t) = f(u + tv), hvor t tilhører en passende mængde af t-værdier, der sikrer, at u + tv er inden for U.

Hvis funktionen F(t) = f(u + tv) er differentiabel i punktet t = 0, så er dens afledte med hensyn til t i dette punkt betegnet som den retningsafledte af f i retningen v i punktet u, og det er skrevet som D_v(f)(u).
Den retningsafledte i v’s retning i punktet u måler ændringen af funktionen f i retning af v i nærheden af punktet u. Det fortæller os, hvordan funktionen ændrer sig, når vi bevæger os langs linjen, der svarer til retningen givet af v.

Question 12

Blandede partielt afledte n=2

Answer 12

Dette betyder, at rækkefølgen, hvori vi tager de partielt afledte, ikke påvirker resultatet, så længe begge afledede eksisterer. I dette tilfælde er de blandede partielt afledte (∂^2 f)/(∂x∂y) og (∂^2 f)/(∂y∂x) ens i punktet x_0.
Denne egenskab kaldes ofte for “symmetri af de blandede partielt afledte”. Det er en konsekvens af Schwartz’ sætning om blandet afledning, der siger, at under visse betingelser vil de blandede partielt afledte være ens, uanset rækkefølgen, hvori de tages.

Question 13

r^n til r^m- O funktion

Answer 13

Ved en o-funktion fra R^n til R^m forståes en funktion Φ med værdier i R^m der er defineret på en kugle B_r (0)⊆R^n, og som opfylder
a) Φ(0)=0 og
b) Φ er kontinuert i 0
a) Φ(0) = 0: Dette betyder, at når vi bruger nulvektoren som input til funktionen Φ, vil den resulterende værdi være nulvektoren i R^m. Med andre ord, Φ tager værdien nul i nulvektoren.
b) Φ er kontinuert i 0: Dette betyder, at Φ er en kontinuert funktion i nulvektoren. Kontinuitet i dette tilfælde betyder, at hvis vi tager en sekvens af punkter i kuglen B_r(0), som konvergerer mod nulvektoren, vil værdien af Φ på disse punkter også konvergere mod nulvektoren i R^m. Med andre ord, når inputpunkterne kommer tættere på nulvektoren, vil outputværdierne også komme tættere på nulvektoren.
Sammenfattende betyder det, at en o-funktion er en funktion, der er defineret på en kugle omkring nulvektoren, og som har værdien nul i nulvektoren og er kontinuert i nulvektoren.

Question 14

Blandede afledte n>2

Answer 14

Lad U⊆R^n være en åben mængde og x_0 et punkt i U. Lad f∶U→R være en differentiabel funktion. Antag, at de blandede partielt afledte af f af anden orden (∂^2 f)/∂x∂y og (∂^2 f)/∂y∂x begge eksisterer
(∂^2 f)/(∂x_i ∂y_j ) (x_0 )=(∂^2 f)/(∂y_j ∂x_i ) (x_0 ) for i,j∈{1,2,…n}
af k’te orden er
(∂^k f)/(〖∂x〗(i_1 ) ∂(i_2 )…∂x_(i_k ) )

Question 15

Kritisk punkt

Answer 15

Lad D⊆R^2, og lad f∶D→R være en funktion. Ved et kritisk punkt for f forstås et indre punkt af z_0 afD hvori gradienten ∇f(z_0 )=0. Ekstremums punkt

Question 16

Saddelpunkt

Answer 16

Lad D⊆R^2, og lad f∶D→R være en funktion. ’et saddelpunkt er et kritisk punkt for f, som ikke er et lokalt ekstremumspunkt.
for at afgøre om et kritisk punkt er lokalt maksimum, lokalt minimum eller saddelpunkt, bruger vi ABC

Question 17

ABC kriteriet

Answer 17

Hvis B^2>AC har f et saddelpunkt i z_0
Hvis B^2<AC>0 og C>0, og strengt maks hvis det omvendte gælder.
Hvia B^2=AC giver kriteriet ingen oplysning.</AC>

Question 18

Differentiabilitets sætningen 9-27. R^n til R^m

Answer 18

Lad U være en åben delmængde af R^n og F:U→R^m en funktion. Lad x_0∈U. Vi siger at F er differentiabel i x_0, hvis der findes en lineær afbildning L:R^n→R^m og en o-funktion Φ: B_r (0)→R^msåledes at
F(x_0+h)=F(x_0 )+L(h)+Φ(h)|(|h|)|
for alle h∈B_r (0)
Vi siger at F er differentiable når F er differentiabel i ethvert punkt af U.
Vi ved at en funktion L fra hele R^n til R^m er lineær hvis og kun hvis dens koordinat funktioner er det.
det er også let at se at en funktion \Phi fra en delmængde af R^n til R^m er en o-funktion iff. Dens koordinatfunktioner er det.

Question 19

Jacobiant

Answer 19

Den lineære afbildning L, der indgår i F(x_0+h)=F(x_0 )+L(h)+Φ(h)|(|h|)| , kaldes for jacobianten af F i punktet x_0. Matricen for L med hensyn til standard baserne i R^nog R^m kaldes for jacobi matricen for F i x_0. den betegens ved symbolet DF(x_0 )-

Question 20

Jacobi matricen

Answer 20

Jacobi-matricen er en matrice, der repræsenterer den lineære afbildning L, der optræder i udtrykket for differentiale af F(x) omkring punktet x_0. Det er en kvadratisk matrice med dimensioner m x n, hvor m er antallet af komponenter i F, og n er antallet af variable i U.
I henhold til definitionen er jacobianten af F i punktet x_0 den lineære afbildning L, der opfylder ligningen:

F(x_0 + h) = F(x_0) + L(h) + Φ(h)|h|,
Jacobi-matricen for F i x_0 er matricen, der repræsenterer L med hensyn til standardbasen i R^n og R^m. Denne matrice har (∂F_j)/(∂x_i)(x_0) som elementerne, hvor (∂F_j)/(∂x_i)(x_0) er de partielle afledte af F’s koordinatfunktioner med hensyn til de variable x_i i punktet x_0.
Den generelle form af Jacobi-matricen DF(x_0) er som fulgtovenfor.
Hver række i matricen repræsenterer de partielle afledte af den tilsvarende koordinatfunktion F_j med hensyn til de variable x_i i punktet x_0.
Så i bund og grund viser sætningen, at hvis F er differentiabel i x_0, så eksisterer de partielle afledte af F’s koordinatfunktioner i x_0, og Jacobi-matricen DF(x_0) repræsenterer disse partielle afledte som elementerne i matricen.

Question 21

Taylor sætning - 1 var

Answer 21

Dette udtryk angiver en tilnærmelse af f(x) ved hjælp af Taylor-polynomiet plus et restled. Restleddet tager højde for den nøjagtighed, som tilnærmelsen har. I dette tilfælde er restleddet R(x) proportional med (x - x_0)^(k+1), hvilket betyder, at det bliver mindre, jo tættere x er på x_0.
det sidste led er restled.

Question 22

Multi indeks notation

Answer 22

Multiindeksnotation er en måde at repræsentere flere indekser eller eksponenter ved hjælp af tupler og visse operationer. Lad mig forklare de forskellige elementer i definitionen:
En tupel er en ordnet samling af elementer. Det kan ses som en liste eller vektor, hvor hvert element har en bestemt placering eller indeks. En tupel kan indeholde forskellige typer af elementer, f.eks. tal, tegn, streng, booleanske værdier eller endda andre tupler.

Question 23

Taylor 2 variable

Answer 23

Funktionen f opfylder betingelserne for at have partielle afledede ∂^αf, hvor α er et multiindeks, på linjestykket L mellem x_0 og x for |α| ≤ k. Dette betyder, at ∂^αf eksisterer og er differentiabel på L for alle multiindeks α med en absolutværdi mindre end eller lig med k.
Sætningen siger så, at der findes et punkt y på linjestykket L, hvor x_0 og x er endepunkter - ndepunkterne er de to punkter, der definerer starten og slutningen af et interval, således at funktionen f(x) kan udtrykkes ved en Taylor-udvidelse omkring x_0 op til og med grad k, og en ekstra term, der tager højde for den k+1-te ordens partielle afledede af f i punktet y.
Den anden del af udtrykket repræsenterer den ekstra term, der tager højde for den k+1’te ordens partielle afledede af f i punktet y. Her tages hver partielle afledede ∂^αf af orden k+1 i punktet y.
Bemærk, at y er valgt i intervallet (0, 1), hvilket betyder, at det er et punkt mellem x_0 og x. Dette betyder, at udtrykket tager højde for variationen af den k+1-te ordens partielle afledede af f langs linjestykket mellem x_0 og x.
I praksis siger sætningen, at hvis funktionen f(x) er tilstrækkelig differentiabel på linjestykket L, kan vi approksimere værdien af f(x) ved at bruge Taylor-udvidelsen op til en bestemt grad k omkring x₀ og tilføje en ekstra korrektionsterm, der tager højde for den næste ordens partielle afledede. Dette punkt y, hvor den ekstra term kommer fra, findes mellem x₀ og x.

Question 24

Taylor rækker

Answer 24

Ideen bag de to definitioner for taylro, er at man approkismerer en funktion f med et polynomium af grad k - et såkaldt taylor polynomium, og kvaliteten vurderes så at restlede. Hvis funktionen f(x) er uendeligt differentiabel, hvilket betyder, at den har eksistensen af alle dens afledede af alle ordrer, kan vi konstruere et Taylor-polynomium af vilkårlig høj grad. Dette betyder, at vi kan fortsætte approksimationen med stadig højere ordens led og reducere størrelsen af restleddet for at opnå en mere nøjagtig approksimation af funktionen f(x).

Question 25

konvergensradius

Answer 25

Konvergensradius er et begreb inden for potensrækker og angiver det interval omkring udviklingspunktet, hvor rækken konvergerer.

Question 26

Analytisk funktion

Answer 26

Lad A⊂R,og f∶A→R være uendeligt ofte differentiabel. Hvis der for ethvert x_0∈A findes et R>0 så
f(x)=∑_(k=0)^∞▒〖(f^((k) ) (x_0 ))/k! (x-x_0 )^k 〗
for x∈B_r (x_0 ), så kaldes f (reel) analytisk
Konkret betyder det, at for enhver værdi af x_0 i A, kan funktionen f(x) udtrykkes som en uendelig sum af potenser af (x - x_0), hvor koefficienterne er givet ved de k-te partielle afledede af f i punktet x_0, divideret med k-fakultetet (k!) for hvert led i rækken. Dette er præcis formen af Taylor-rækken, som du nævnte.
Det afgørende kriterium for reel analytisk funktion er, at denne række konvergerer til funktionen f inden for en vis radius R omkring hvert x_0. Med andre ord, for alle x i intervallet B_r(x_0) med passende R, vil rækken repræsentere f(x) nøjagtigt.
Dette betyder, at hvis en funktion er reel analytisk, kan den approksimeres præcist af sin Taylor-række i et passende område omkring hvert punkt i dens definitionsmængde. Det er en stærk egenskab og tillader os at udlede detaljerede oplysninger om funktionen ved hjælp af dens Taylor-rækkeudvikling.

Question 27

k gange kontinuert differentiable

Answer 27

Lad A⊂R^n være en åben mængde og lad f∶A→R have kontinuerte partielt afledede op til og med k’te orden. Så siges f at være k gange kontinuert differentiabel og vi skriver f∈C^k (A).
Når vi siger, at f er k gange kontinuert differentiabel, betyder det, at funktionen har kontinuerte partielt afledede op til og med k’ende orden. Det betyder, at vi kan tage k gange partielt afledede af funktionen, og hver afledede vil stadig være en kontinuert funktion.
Vi skriver f∈C^k(A) for at angive, at funktionen f er k gange kontinuert differentiabel på mængden A. Dette er en måde at klassificere funktioner baseret på deres differentiabilitetsegenskaber og sikrer, at de har tilstrækkelig glathed og kontinuitet for at tillade visse typer af beregninger og analysere deres egenskaber.

Question 28

Hesse matrix

Answer 28

Lad x∈A⊂R^n, A åben og f∈C^2 (A).så kaldes matricen H(x) gived ved
h_ij (x)=(∂^2 f(x))/(∂x_i 〖∂x〗j ), H(x)=(h_ij (x))(i,j=1)^n
for hesse matricen for f i x.
da f∈C^2 (A) er H(x) symmetrisk.
Hesse-matricen H(x) for funktionen f i punktet x er en kvadratisk matrix, hvor h_ij(x) repræsenterer den anden partielle afledede af f med hensyn til x_i og x_j ved punktet x.
Når vi siger, at en funktion f er i C^2(A), betyder det, at den er to gange kontinuert differentiabel på den åbne mængde A, hvilket betyder, at både f og dens første og anden partielle afledede er kontinuerte funktioner på A.
En vigtig egenskab ved Hesse-matricen er, at den er symmetrisk. Det betyder, at h_ij(x) = h_ji(x) for alle i og j. Dette skyldes, at rækkefølgen af differentiation ikke påvirker resultatet, og derfor vil de anden partielle afledede være ens, uanset om vi først differentierer med hensyn til x_i og derefter med hensyn til x_j eller omvendt.

Question 29

Hesse matrix til lokal minimum

Answer 29

Antag, at A er en åben mængde i R^n. f er en funktion i C^2 (A), hvilket betyder, at f er to gange kontinuert differentiabel på A. Vi har også et punkt x_0, der tilhører A, og det er et kritisk punkt for f. Et kritisk punkt er et punkt, hvor gradienten af funktionen er nul eller ikke-eksisterende.
Hesse-matricen for f ved x_0, betegnet som H(x_0), er en kvadratisk matrix, der består af de anden partielle afledede af f i x_0. Betingelsen siger, at alle egenværdierne for H(x_0) er negative og ikke-nul.
Hvis alle egenværdierne for H(x_0) er omvendt negative (dvs. de er negative og forskellige fra nul), kan vi drage den konklusion, at x_0 er et strengt lokalt maksimumspunkt for funktionen f.
Dette betyder, at i en tilstrækkelig lille omegn omkring x_0, vil værdierne af f være større end eller lig med værdien af f i x_0. Med andre ord, f(x_0) er det højeste punkt i nærheden af x_0.

Question 30

Eksponential funktionen:

Answer 30

Vi ved, at eksponentialfunktionen, betegnet som exp(x), har visse egenskaber. For ethvert reelt tal x, har vi exp(-x) * exp(x) = 1, hvilket betyder at den eksponentielle funktion og dens inverse (ekspotentialfunktionen) “ophæver” hinanden. Derudover er exp(x) altid positiv for alle x i R.
or at definere logaritmefunktionen ln(x) benytter vi integralnotationen:
ln(x) = ∫(1 to x) 1/t dt, hvor x er større end 0.
Resultaterne, som følger af disse definitioner og egenskaber, er:
ln(exp(x)) = x for alle x i R:
Dette betyder, at hvis vi tager eksponentialfunktionen af et reelt tal x og derefter anvender logaritmefunktionen på resultatet, får vi x tilbage. Med andre ord, de to funktioner ophæver hinanden, og vi får den oprindelige værdi tilbage.
exp(ln(x)) = x for alle x større end 0:
Dette betyder, at hvis vi tager logaritmefunktionen af et positivt tal x og derefter anvender eksponentialfunktionen på resultatet, får vi x tilbage. Igen ophæver de to funktioner hinanden, og vi får den oprindelige værdi tilbage.

Question 31

Let α,β,γ>0. we have that
lim┬(x→∞)⁡〖x^α/exp⁡(βx) =lim┬(x→∞)⁡〖ln⁡(x)/x^γ =0〗 〗

Answer 31

Denne ligning siger, at når x går mod uendelig, vil udtrykket x^α divideret med eksponentialfunktionen af βx gå mod 0. Det betyder, at udtrykket bliver ubetydeligt eller nærmer sig nul, når x bliver meget stor i forhold til eksponentialfunktionen.
lim┬(x→∞)⁡〖ln⁡(x)/x^γ =0〗
Denne ligning siger, at når x går mod uendelig, vil forholdet mellem den naturlige logaritme af x og x opløftet i γ gå mod 0. Det betyder, at udtrykket bliver ubetydeligt eller nærmer sig nul, når x bliver meget stor i forhold til logaritmen og potensen.
Begge grænseværdier viser, hvordan visse udtryk falder mod 0, når x går mod uendelig. Dette er nyttigt, når vi analyserer vækstrater og asymptotisk adfærd for funktioner og udtryk, der involverer potenser, eksponentialfunktioner og logaritmer.

Question 32

Fubini’s

Answer 32

En reel sekvens indekseret af to indekser er en samling af reelle tal, hvor hvert tal i sekvensen er angivet ved to indekser, normalt repræsenteret som en matrice. Hver række i matricen svarer til et bestemt indeksniveau, og hver kolonne svarer til et andet indeksniveau.
så har vi følgende resultater:
1. ∑(n≥0)▒|α_nm | : Konvergerer for alle m.
Konvergens for alle n betyder at rækken er konvergent for alle m. Dette følger af Cauchy kriteriet.
Cauchy kriteriet siger at en række ∑(k=0)^∞▒a_k konvergere iff for ethvert ϵ>0, kan vi finde et naturligt tal N, så |∑_(k=n)^m▒a_k |<ϵ>n≥N.</ϵ>

2. ∑(m≥0)▒〖(∑(n≥0)▒|α_nm | )=C.〗
   Summen er endeling, hvilket betyder at den dobbelte sum er endelig. Dette er en direkte konsekven af rækkefølgen af summering og konvergens af de enkelte summer. Udsagnet hævder også, at den ydre sum ∑(n≥0)▒(∑(m≥0)▒|α_nm|) konvergerer og har en endelig sum C. Dette betyder, at når vi summerer kolonnesummernes værdier, får vi en konvergent serie, og summen af disse summer er C.
3. Yderligere siger udsagnet, at når vi betragter de resterende led i den indre sum (∑(n>N)▒|α_nm|) og lader N gå mod uendelig, vil summen af disse resterende led gå mod 0. Tilsvarende, når vi betragter de resterende led i den ydre sum (∑(m>M)▒|α_nm|) og lader M gå mod uendelig, vil summen af disse resterende led også gå mod 0. Dette indikerer, at de bidrag, der kommer fra højere indekser, bliver ubetydelige, når de går mod uendelig.
4. Endelig siger udsagnet, at summen af alle elementerne i den dobbelte sum (∑(m≥0)▒(∑(n≥0)▒α_nm)) er en reel værdi. Dette betyder, at summen af alle elementerne i sekvensen er veldefineret og tilhører mængden af reelle tal.

Sammenfattende beskriver udsagnet egenskaberne ved den dobbelte sum og dens konvergensbetingelser for hver række og kolonne. Det viser også sammenhængen mellem summen af absolutværdierne og konvergensen af de resterende led samt den endelige sum af den samlede dobbelte sum.

Question 33

Potensrækker er analytiske funktioner

Answer 33

Udsagnet fortsætter med at fastslå, at for ethvert punkt b i intervallet (x_0-R,x_0+R), hvor R er en radius mindre end r, så er potensrækken f(x) absolut konvergent. Dette begrundes ved at vise, at supremumgrænsen af |a_n (x-x_0 )^n |^(1/n) er mindre end 1 for |x-x_0 | < r. Dette betyder, at potensrækken konvergerer for ethvert punkt i dette interval.
Derefter introduceres Theorem, der siger, at for ethvert vilkårligt punkt t i intervallet (x_0-R,x_0+R) med en afstand mindre end R-|b-x_0 | fra et givet punkt b, så er funktionen f(x) uendeligt differentiabel ved t. Dette betyder, at funktionen har uendeligt mange afledede af enhver orden ved dette punkt.
Theorem fortsætter med at sige, at for dette punkt t, kan potensrækken f(x) repræsenteres som en Taylor-rækkeudvikling omkring punktet b. Serien involverer de successive afledede af f ved b, repræsenteret som (f^m (b))/m!, hvor m er ordenen af den afledede, og (t-b)^m er potensen af differensen mellem t og b. Bemærk, at denne Taylor-rækkeudvikling også er absolut konvergent.
Sammenfattende viser udsagnet, at potensrækken f(x) er absolut konvergent inden for et bestemt interval afhængigt af radius r. Derudover er funktionen uendeligt differentiabel i dette interval, og den kan repræsenteres som en Taylor-rækkeudvikling om ethvert punkt i intervallet. Dette giver os mulighed for at udlede egenskaber og beregne værdier af funktionen ved hjælp af dens Taylor-række

Question 34

Topologisk rum

Answer 34

Et topologisk rum er en matematisk struktur bestående af en mængde X og en samling T af delmængder af X, der kaldes åbne mængder. Lad os gå igennem betingelserne.
Sammenfattende beskriver betingelserne i definitionen af et topologisk rum de grundlæggende egenskaber ved de åbne mængder i samlingen T. Ved at opfylde disse betingelser kan vi definere en topologi på mængden X, og T repræsenterer denne topologi. De åbne mængder i T angiver de dele af mængden X, der betragtes som “åbne” eller “tilgængelige” inden for denne topologi.

Question 35

Topologi: Omegn

Answer 35

I et topologisk rum (X, T), hvor X er den underliggende mængde og T er den givne topologi på X, betragter vi et punkt x ∈ X.
En omegn omkring x er simpelthen en delmængde N ⊂ X, der indeholder x. Med andre ord er x et element i omegnen N. En omegn behøver ikke være åben i sig selv, den kan være en vilkårlig delmængde af X.
Specifikt betyder det at sige, at U ⊇ x, hvor U er en åben mængde i T, at U er en åben omegn omkring x. Dette betyder, at U er en delmængde af X, der er åben og indeholder x.

Question 36

Top: Kontinuitet i et punkt

Answer 36

Antag, at for ethvert valg af en omegn U omkring f(x) i Y, er f^(-1)(U) en omegn omkring x i X. Med andre ord betyder det, at uanset hvilken omegn vi vælger omkring f(x) i målrummet Y, vil den inverse billedeomskrivning af denne omegn under f være en omegn omkring x i definitionsmængden X.

Question 37

konvergens af følger - topo

Answer 37

Lad {x_n}_(n=1)^∞ være en følge af punkter x_n ∈ X, n ∈ N, i det topologiske rum (X, T). Vi ønsker at definere konvergens af denne følge i rummet. Antag, at a ∈ X er et punkt, der opfylder følgende betingelse: For enhver omegn N omkring a, det vil sige N ⊇ {a}, findes der et naturligt tal K, således at x_n ∈ N for alle n ≥ K.
Hvis denne betingelse er opfyldt, siger vi, at følgen {x_n} konvergerer mod a for n → ∞, og vi skriver det som x_n → a for n → ∞. Dette betyder, at efter et vist punkt i følgen, er alle de efterfølgende elementer i følgen indeholdt i enhver omegn omkring a.

Question 38

Hausdorffrum Top

Answer 38

I et topologisk rum (X, T_X) betragter vi to punkter a og b, hvor a ≠ b. Vi siger, at a og b er separeret af omegne, hvis der findes åbne omegne N og M omkring a og b henholdsvis, således at N ∩ M = Ø, det vil sige, at de to omegne ikke har nogen fælles punkter.
Hvis denne betingelse er opfyldt for alle par af forskellige punkter i rummet X, siger vi, at (X, T_X) er et Hausdorffrum (også kendt som et separeret rum eller et T_2-rum).
Det bemærkes, at i ovenstående definition er det tilstrækkeligt at betragte åbne omegne. Dette skyldes, at i et topologisk rum bestemmes åbenhed af topologien T_X, og derfor er det tilstrækkeligt at kigge på de åbne omegne for at bestemme separationen af punkterne.

Question 39

Entydig grænseværdi for hausdorff rum

Answer 39

Derfor kan vi konkludere, at hvis en følge {x_n} konvergerer mod to forskellige punkter a og b i et Hausdorffrum, så er a=b. Dette viser den entydige grænseværdi for konvergente følger i et Hausdorffrum.

Question 40

konvergens haussdorffrum

Answer 40

I et Hausdorffrum (X, T) betragter vi en følge {x_n}_(n=1)^∞ af punkter x_n∈X, hvor n∈N, og antager, at denne følge konvergerer mod et punkt a∈X, når n går mod uendelig.
Vi skriver lim┬(n→∞)⁡〖x_n=a〗 for at angive, at følgen {x_n} konvergerer mod punktet a. Dette betyder, at for enhver omegn N∋a om a, er der et naturligt tal K, så x_n∈N for alle n≥K. Med andre ord, efter et bestemt punkt i følgen ligger alle elementerne i omegnen N omkring a.

Question 41

Kompakthed - lukket mængde

Answer 41

En delmængde F af X kaldes lukket, hvis dens komplement, som vi skriver som F^c, er åbent i topologien T. Med andre ord, hvis F^c er en åben mængde, så er F en lukket mængde.
Komplementet af F, F^c, er defineret som mængden af alle punkter i X, der ikke er i F. Det er vigtigt at bemærke, at F^c er ikke nødvendigvis det samme som “negationen” af F, da det blot refererer til de punkter, der ikke er i F.
Hvis F^c er åben, betyder det, at for hvert punkt x i F^c, eksisterer der en omegn omkring x, som også er indeholdt i F^c. Med andre ord, der er ingen punkter i F i nærheden af x. Dette kan også opfattes som, at F indeholder alle sine grænsepunkter.
På samme måde kan man sige, at hvis en mængde er åben, så er dens komplement lukket, og hvis en mængde er lukket, så er dens komplement åben.

Question 42

kompakthed - Kompakt mængde

Answer 42

i) En åben overdækning af en delmængde K i det topologiske rum (X, T) er en samling af åbne mængder {U_i}{i∈I}, hvor I er en indeksmængde, sådan at K er indeholdt i foreningen af disse mængder, altså K ⊂ ⋃{i∈I} U_i. Med andre ord, hver punkt i K er indeholdt i mindst en af de åbne mængder U_i.
ii) En endelig udtynding af en samling af åbne mængder {U_i}{i∈I} er en delsamling {U_i}{i∈J}, hvor J er en endelig delmængde af I. Det betyder, at vi vælger et endeligt antal åbne mængder fra den oprindelige samling.
iii) En delmængde K af X siges at være kompakt, hvis den opfylder følgende egenskab: For enhver åben overdækning af K, kan vi finde en endelig udtynding af denne overdækning, som også overdækker K. Med andre ord, hvis vi har en samling af åbne mængder, der dækker hvert punkt i K, kan vi altid finde et endeligt antal af disse åbne mængder, der stadig dækker hvert punkt i K.
Et eksempel på et kompakt rum er en lukket og begrænset delmængde af det euklidiske rum R^n. Dette resultat, kendt som Heine-Borels sætning, siger, at enhver lukket og begrænset delmængde af R^n er kompakt. Det betyder, at hvis vi har en delmængde af R^n, der er både lukket (dens komplement er åbent) og begrænset (den er indeholdt i en kugle med en bestemt radius), så kan vi altid finde en endelig samling af åbne kugler, der dækker hele mængden.

Question 43

Kompakte delmængder

Answer 43

kontinuerte funktioner bevarer kompakthed. Det betyder, at hvis K er en kompakt delmængde af X, så vil billedet af K under f, f(K), også være en kompakt delmængde af Y.

En speciel konsekvens af dette er, at hvis f: X -> R er en kontinuert funktion fra et topologisk rum X ind i de reelle tal (udstyret med den sædvanlige topologi), så vil f antage sine ekstremalværdier på kompakte mængder i X. Med andre ord, der vil være kompakte delmængder af X, hvor f opnår sine mindste og største værd

Question 44

Følgekompakthed

Answer 44

Lad (X, T) være et topologisk rum, og lad K være en delmængde af X. Vi siger, at K er følgekompakt, hvis enhver følge {x_n}_{n=1}^∞ af punkter i K har en delfølge, som konvergerer mod et grænsepunkt i K.
Dette betyder, at for enhver følge {x_n}{n=1}^∞ af punkter i K, kan vi vælge en delmængde af indekser {n_k} af den oprindelige følge, sådan at den begrænsede følge {x{n_k}} konvergerer mod et punkt a i K.

Grænsepunktet a, som den begrænsede følge konvergerer mod, behøver ikke at være unikt. Det er tilstrækkeligt, at der findes mindst ét grænsepunkt i K, som en delfølge kan konvergere mod.
Begrebet følgekompakt er en stærkere egenskab end blot kompakthed. En delmængde K af et topologisk rum er følgekompakt, hvis enhver følge i K har en konvergent delfølge med grænsepunkt i K. Med andre ord er følgekompakthed en egenskab, der sikrer, at alle følger i K har konvergente delfølger.

Question 45

metrisk rum

Answer 45

Et metrisk rum er et matematisk koncept, der består af en mængde X og en afstandsfunktion d, der opfylder visse egenskaber. Lad os se på egenskaberne for afstandsfunktionen d på mængden X:
Troskab: For enhver x og y i X er afstanden mellem dem, d(x, y), lig med nul, hvis og kun hvis x er identisk med y, dvs. x = y.
Symmetri: Afstanden mellem x og y, d(x, y), er den samme som afstanden mellem y og x, d(y, x). Med andre ord er afstanden uafhængig af rækkefølgen af x og y.
Trekantsuligheden: For alle x, y og z i X gælder det, at afstanden mellem x og y er mindre end eller lig med summen af afstanden mellem x og z og afstanden mellem z og y, dvs. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Når en funktion d opfylder disse tre egenskaber, kaldes den en metrik eller en afstandsfunktion, og (X, d) kaldes et metrisk rum.

Question 46

åbne og lukkede kugler

Answer 46

I et metrisk rum (X, d) defineres åbne og lukkede kugler omkring et punkt a ∈ X ved hjælp af afstandsfunktionen d.
En åben kugle omkring a med radius r, betegnet som B_r(a), er defineret som mængden af punkter x i X, hvor afstanden mellem x og a, d(x, a), er mindre end r. Matematisk skrevet:
B_r (a)={x∈X│d(x,a)<0}
Dette betyder, at åben kugle B_r(a) omkring a indeholder alle punkter x i X, der er mindre end r afstand væk fra a.

På den anden side er den lukkede kugle omkring a med radius r, betegnet som ¯(B_r(a)) eller undertiden også som C_r(a), defineret som mængden af punkter x i X, hvor afstanden mellem x og a, d(x, a), er mindre end eller lig med r. Matematisk skrevet:
¯(B_r (a) )={x∈X│d(x,a)≤r}
Dette betyder, at den lukkede kugle ¯(B_r(a)) omkring a indeholder alle punkter x i X, der er højst r afstand væk fra a, inklusive punkterne på selve kugleskallen.
Åbne og lukkede kugler bruges ofte i topologien til at definere åbne og lukkede mængder og bygge videre på konceptet om nærhed i metriske rum.

Question 47

Topologien induceret af en metrik

Answer 47

i) Et punkt a ∈ A, hvor A er en delmængde af metriske rummet (X, d), kaldes et indre punkt i A, hvis der eksisterer en åben kugle omkring a, der er fuldstændigt indeholdt i A. Med andre ord, hvis der findes et r > 0, således at B_r(a) ⊂ A. Dette betyder, at a er omgivet af punkter, der også tilhører A. Indre punkter er karakteristiske for mængder, der er åbne i betydningen af topologien.
ii) En delmængde U af et metrisk rum (X, d) kaldes åben, hvis hvert punkt i U har en åben kugle omkring sig, der er fuldstændigt indeholdt i U. Med andre ord, for hvert punkt a ∈ U skal der eksistere et r > 0, således at B_r(a) ⊂ U. Dette betyder, at alle punkter i U har en omgivende åben kugle, der også tilhører U. Åbne mængder er grundlæggende i topologi og spiller en vigtig rolle i at definere egenskaber som kontinuitet og konvergens.
iii) Mængden T_d = {U ⊂ X | U er åben mht. metrikken d} kaldes topologien induceret af metrikken d. Det er den samling af åbne mængder, der definerer strukturen og egenskaberne for det topologiske rum (X, T_d). Topologien bestemmes af de åbne mængder, der er defineret ved hjælp af metrikken d. Det betyder, at mængder, der er åbne i betydningen af metrikken d, også er åbne i topologien T_d. Topologien kan være mere generel end metrikken, da den tillader andre måder at definere åbne mængder på, der ikke nødvendigvis afhænger af en metrik.

Question 48

følgekarakteration af kontinuitet metrik

Answer 48

en funktion f: X → Y fra metrisk rum (X, d_X) til (Y, d_Y) siges at være kontinuert, hvis den bevarer konvergens af følger. Dette betyder, at for enhver følge (x_n) i X, der konvergerer mod et punkt a ∈ X, vil følgen (f(x_n)) i Y konvergere mod f(a).
Formelt kan vi definere følgekontinuitet som følger: Funktionen f: X → Y er kontinuert, hvis for enhver følge (x_n) i X, der konvergerer mod et punkt a ∈ X, så konvergerer følgen (f(x_n)) i Y mod f(a).
Det betyder, at hvis f er kontinuert, så vil f(x_n) konvergere mod f(a) for enhver konvergent følge (x_n) i X.
Omvendt, hvis f er følgekontinuert, betyder det, at hvis f(x_n) konvergerer mod f(a) for enhver konvergent følge (x_n) i X, så vil f være kontinuert.

Question 49

Fortætningspunkt

Answer 49

a er et fortætningspunkt for følgen {x_n}, hvis for ethvert r > 0 og ethvert N ∈ N (naturlige tal) er der et indeks n ≥ N, så x_n er i den åbne kugle B_r(a) med centrum a og radius r.
Dette betyder, at uanset hvor tæt du vælger en åben kugle omkring a, vil der altid være uendeligt mange punkter x_n fra følgen inde i kuglen. Med andre ord, a er omgivet af en uendelig mængde af punkter fra følgen.
Intuitivt set kan man sige, at a er et fortætningspunkt for følgen, hvis følgen kommer “tæt” på a uendeligt mange gange. Bemærk, at a ikke nødvendigvis er en del af selve følgen.

Question 50

følgekompakthed er kompakthed

Answer 50

Da a er et fortætningspunkt, kan vi vælge en kugle omkring a med radius r > 0, og vi vil altid finde punkter fra følgen inde i denne kugle. Derfor vil enhver lille åben kugle omkring a indeholde uendeligt mange punkter fra delfølgen {x_(n_k)}(k=1)^∞.
Derfor konvergerer denne delfølge {x(n_k)}(k=1)^∞ mod a. Grænseværdien af denne delfølge er a, hvilket kan skrives som lim┬(k→∞)⁡〖x(n_k )=a〗.
Denne egenskab, at enhver følge har en delfølge, der konvergerer mod et fortætningspunkt

Question 51

følgekompakthed er kompakthed - Enhver følge har delfølge konvergerende mod et fortætningspunk

Answer 51

Da a er et fortætningspunkt, kan vi vælge en kugle omkring a med radius r > 0, og vi vil altid finde punkter fra følgen inde i denne kugle. Derfor vil enhver lille åben kugle omkring a indeholde uendeligt mange punkter fra delfølgen {x_(n_k)}(k=1)^∞.
Derfor konvergerer denne delfølge {x(n_k)}(k=1)^∞ mod a. Grænseværdien af denne delfølge er a, hvilket kan skrives som lim┬(k→∞)⁡〖x(n_k )=a〗.
Denne egenskab, at enhver følge har en delfølge, der konvergerer mod et fortætningspunkt

Question 52

ækvivalens af kompakthed og følgekompakthed

Answer 52

En delmængde K af X siges at være kompakt, hvis den har den egenskab, at enhver åben overdækning af K har en endelig udtynding, der også overdækker K. Dette betyder, at vi kan dække K med et endeligt antal åbne mængder, og alligevel bevare alle punkterne i K.
En delmængde K af X siges at være følgekompakt, hvis enhver følge {x_n}_(n=1)^∞ af punkter i K har en delfølge, der konvergerer mod et punkt i K. Med andre ord har enhver følge i K en konvergent delfølge med grænsepunkt i K.
Nu kan vi forklare sætningen:
Hvis K er kompakt, så er K følgekompakt:
Hvis K er kompakt, betyder det, at enhver følge i K har en delfølge, der konvergerer mod et punkt i K. Dette skyldes egenskaben ved kompakthed, der sikrer, at vi kan vælge en endelig udtynding af en vilkårlig åben overdækning af K, og denne udtynding vil indeholde en konvergent delfølge i K. Derfor er K følgekompakt.
Hvis K er følgekompakt, så er K kompakt:
Hvis K er følgekompakt, betyder det, at enhver følge i K har en delfølge, der konvergerer mod et punkt i K. Vi kan bruge dette til at vise, at K er kompakt ved at antage, at K ikke er kompakt og konstruere en åben overdækning af K, der ikke kan have en endelig udtynding. Hvis en sådan overdækning findes, kan vi konstruere en følge i K, der ikke har en konvergent delfølge i K, hvilket er i modstrid med antagelsen om følgekompakthed. Derfor må K være kompakt.

Question 53

Banachs - kontraktions og fast punkt

Answer 53

I et metrisk rum (X, d) kaldes en afbildning F: X → X en kontraktion, hvis der eksisterer en konstant α ∈ [0,1), sådan at for alle to punkter x, y ∈ X er afstanden mellem deres images under F, dvs. d(F(x), F(y)), mindre end eller lig med α gange afstanden mellem de oprindelige punkter, d(x, y). Med andre ord får afbildningen F afstanden mellem punkterne til at formindskes med en faktor α.
Et punkt x ∈ X kaldes et fast punkt for F, hvis anvendelsen af afbildningen F på x giver det samme punkt, dvs. F(x) = x.
Fast punkter i kontraktioner er signifikante, fordi de repræsenterer punkter, der forbliver uændrede under afbildningen F. Med andre ord er de løsninger til ligningen F(x) = x. Fast punkter kan give vigtige indsigter i adfærden og egenskaberne hos kontraktionsafbildninger.
Kontraktionsafbildninger har flere interessante egenskaber, såsom Banachs sætning om faste punkter, der garanterer eksistensen og entydigheden af faste punkter for visse typer af kontraktionsafbildninger i komplette metriske rum.

Question 54

Banachs theorem

Answer 54

Eksistens af et fast punkt: Kontraktionsafbildningen F har mindst ét fast punkt, hvilket betyder, at der eksisterer et element x ∈ X, så F(x) = x. Med andre ord afbilder funktionen F et punkt i X til sig selv.
Unikhed af det faste punkt: Det faste punkt for kontraktionsafbildningen F er unikt. Dette betyder, at hvis x og y begge er faste punkter for F, dvs. F(x) = x og F(y) = y, så gælder det, at x = y.
På mere enkle vilkår siger sætningen, at hvis du har et komplet metrisk rum og en funktion, der formindsker afstanden mellem punkter, så findes der et unikt punkt i rummet, som forbliver fast under funktionen.

Question 55

Begrænsede og kontinuerte funktioner - Normalt rum og map som metric

Answer 55

Vi har et metrisk rum (A, d), hvor A er en vilkårlig mængde og d er en metrik på A. Dette betyder, at d er en afstandsfunktion, der tildeles par af elementer i A og opfylder visse egenskaber.
Vi har også et normalt rum (Y, ||·||), hvor Y er en vilkårlig vektorrum eller lineært rum, og ||·|| er en norm på Y. En norm er en funktion, der tildeler en størrelse til hvert element i rummet og opfylder visse egenskaber.
Vi definerer sættet B(H;Y) som mængden af funktioner f: H → Y, hvor H er en ikke-tom delmængde af A, og for hvilke supremumet (den mindste øvre grænse) af absolutværdien af funktionen over H er endelig, dvs. sup_(x∈H)⁡|(|f(x)|)| < ∞. Dette betyder, at funktionerne i B(H;Y) er begrænsede over H.

Vi definerer også en norm ||·||∞ på B(H;Y) ved at definere den som supremumet af absolutværdien af funktionerne over H, dvs. |(|f|)|∞ = sup(x∈H)⁡|(|f(x)|)|. Denne norm måler størrelsen af funktionerne i B(H;Y) baseret på deres værdier over H.
Nu hævder vi, at rummet (B(H;Y), ||·||∞) er et normalt rum. Et normalt rum er et metrisk rum, hvor konvergens af følger og adskillelse af punkter er veldefineret.
Vi definerer afstanden d_∞ mellem to funktioner f og g i B(H;Y) som absolutværdien af forskellen mellem dem evalueret på hvert punkt i H, dvs. d_∞(f, g) = |(|f - g|)|∞. Denne afstandsfunktion måler forskellen mellem funktionerne i B(H;Y) baseret på deres værdier over H.
Vi hævder, at d∞ er en metrik på rummet B(H;Y). Dette betyder, at d_∞ opfylder egenskaberne for en afstandsfunktion, herunder positivitet, symmetri og trekantsuligheden.
Samlet set viser denne erklæring, at når vi definerer sættet af begrænsede funktioner B(H;Y) over en given delmængde H af et metrisk rum A, og udstyrer det med normen ||·||∞, så bliver rummet (B(H;Y), ||·||∞) selv et normalt rum, hvor afstanden mellem funktionerne kan måles ved hjælp af d_∞. Dette giver os en matematisk struktur, hvor vi kan definere konvergens, adskillelse og andre koncept

Question 56

Banach space - begrænsde og kontinuerte funktioner

Answer 56

Nu definerer vi sættet C(H;Y) som en delmængde af B(H;Y), hvor funktionerne også er kontinuerte. Dette betyder, at funktionerne i C(H;Y) opretholder kontinuitetsegenskaben, udover at være begrænsede.
Vi antager, at (Y, ||·||) er et Banach-rum, hvilket betyder, at Y er et komplet normalt rum. Et Banach-rum er et normeret rum, hvor enhver Cauchy-følge konvergerer til et element i rummet.
Nu hævder vi, at rummet C(C(H;Y), ||·||∞) er også et Banach-rum. Dette betyder, at det er et komplet normeret rum, hvor enhver Cauchy-følge konvergerer til et element i rummet.
For at vise dette skal vi vise, at enhver Cauchy-følge i C(C(H;Y), ||·||∞) konvergerer til en funktion i C(H;Y) med hensyn til normen ||·||_∞.
En Cauchy-følge er en følge, hvor for enhver given nøjagtighed kan vi finde et tilstrækkeligt stort indeks, således at afstanden mellem enhver to elementer i følgen bliver mindre end den nøjagtighed.

Ved hjælp af denne definition og egenskaberne for normen ||·||∞ kan vi vise, at enhver Cauchy-følge i C(C(H;Y), ||·||∞) konvergerer punktvist og jævnt til en funktion i C(H;Y).
Siden funktionerne i C(C(H;Y), ||·||∞) også er kontinuerte, følger det, at grænsefunktionen også vil være kontinuert.
Da (Y, ||·||) er et Banach-rum og grænsefunktionen er kontinuert, kan vi konkludere, at grænsefunktionen også tilhører C(H;Y), og dermed tilhører den rummet C(C(H;Y), ||·||∞).
Dermed har vi vist, at C(C(H;Y), ||·||∞) er et Banach-rum, da enhver Cauchy-følge i rummet konvergerer til et element i rummet.
Samlet set viser denne erklæring, at når vi betragter mængden af kontinuerte funktioner C(H;Y) over H og udstyrer den med normen ||·||∞, så bliver rummet C(C(H;Y), ||·||_∞

Question 57

Main theorem
|( |(|f(t,x)|)|-|(|f(s,y)|)|)|≤|(|f(t,x)-f(s,y)|)|
Which shows that the continuity of f implies continuity for ||f||. Since ||f|| is a real valued continuos function on a compact set, according to lemma 4.5. we can find M<∞ such that
sup_([t,x]∈H_0 )⁡〖|(|f(t,x)|)|=:M<∞〗

Answer 57

Denne ulighed viser, at kontinuiteten af funktionen f medfører kontinuiteten af funktionen ||f|| (funktionens norm). Normfunktionen ||f|| er en reell værdi kontinuert funktion defineret på en kompakt mængde H_0.

Question 58

lipschitz kontinuitet

Answer 58

en egenskab, der anvendes til at karakterisere kontinuerte funktioner og deres hastighed for ændring. En funktion f: X → Y mellem to metriske rum X og Y kaldes Lipschitz-kontinuert, hvis der findes en konstant K ≥ 0, kaldet Lipschitz-konstanten, således at for alle x₁ og x₂ i X gælder følgende ulighed:
d(f(x₁), f(x₂)) ≤ K · d(x₁, x₂),
hvor d er den metriske afstandsfunktion i henholdsvis X og Y. Dette betyder, at forskellen mellem værdierne af f(x₁) og f(x₂) er begrænset af konstanten K ganget med afstanden mellem x₁ og x₂.
En vigtig egenskab ved Lipschitz-kontinuitet er, at den sikrer en begrænset og forudsigelig hastighed for ændring af funktionen. Jo mindre Lipschitz-konstanten K er, desto langsommere ændres funktionen i forhold til afstanden mellem punkterne.

Question 59

Heineborel

Answer 59

I et metrisk rum er en mængde K kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset.
Lad os se på betydningen af hvert kriterium:
Lukkethed: En mængde er lukket, hvis den indeholder alle sine grænsepunkter. Dette betyder, at den inkluderer alle sine potentielle grænseværdier og ikke har nogen manglende punkter.
Begrænsethed: En mængde er begrænset, hvis den kan indeholdes inden for en bestemt radius eller et bestemt interval. Det betyder, at afstanden mellem enhver to punkter i mængden er begrænset.
Så Heine-Borel sætningen fortæller os, at i et metrisk rum er en mængde kompakt, hvilket betyder, at den er både lukket og begrænset. Det er en nyttig sætning, da den giver os en karakterisering af kompakte mængder og giver os en måde at identificere og arbejde med dem i metriske rum.

Question 60

Banach rum

Answer 60

Et Banach-rum er et komplet normeret vektorrum. Lad os opdele denne definition i to vigtige dele:
Normeret vektorrum: Et vektorrum er en samling af vektorer, hvor vektoraddition og skalarmultiplikation er defineret. Normeret betyder, at der er en norm, som er en funktion, der tildeler en størrelse til hvert element i vektorrummet. Normen betegnes ofte som ||x|| og opfylder følgende egenskaber for alle vektorer x og y og skalarer a:
a) Positiv definithed: ||x|| ≥ 0, og ||x|| = 0 hvis og kun hvis x = 0, hvor 0 er nulvektoren.
b) Skalar multiplikation: ||ax|| = |a| ||x||.
c) Trekantsulighed: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Komplet rum: Et rum er komplet, hvis enhver Cauchy-følge i rummet konvergerer mod et element i rummet. En Cauchy-følge er en følge, hvor forskellen mellem to vilkårlige elementer i følgen kan gøres vilkårlig lille ved at vælge tilstrækkelig høje indekser. Konvergens betyder, at følgen nærmer sig en bestemt grænseværdi, og i et komplet rum vil grænseværdien også være et element i rummet.

Question 61

Initial value theorem 6.3, y^’ (t)=f(t,y(t)),y(t_0 )=y_0

Answer 61

Løsningen y : (t₀-δ₁, t₀+δ₁) → ¯(B_(r₀) (y₀)) refererer til den entydige løsning af det initiale værdiproblem y^’(t) = f(t, y(t)), y(t₀) = y₀, der er defineret på intervallet (t₀-δ₁, t₀+δ₁) og som tager værdier i den lukkede kugle ¯(B_(r₀) (y₀)). Dette betyder, at for ethvert t inden for intervallet (t₀-δ₁, t₀+δ₁), vil y(t) ligge inden for den lukkede kugle ¯(B_(r₀) (y₀)). Det garanterer, at løsningen forbliver i en begrænset afstand fra det initielle punkt y₀ og er indeholdt i den lukkede kugle med radius r₀ omkring y₀.
I det givne udtryk defineres K som intervallet [t_0-δ₁, t_0+δ₁], hvor t_0 er et givet tidspunkt og δ₁ er en defineret værdi, som tidligere blev beregnet som min{δ₀, r₀/M, 1/L}.

Question 62

komplet metrisk rum

Answer 62

et komplet metrisk rum er et metrisk rum, hvor enhver Cauchy-sekvens konvergerer til et element i rummet. Med andre ord betyder det, at der ikke er nogen “manglende” eller “grænseværdi” for sekvenserne i rummet. Hvis en Cauchy-sekvens i det metriske rum har tendens til at komme tættere og tættere på hinanden, vil den konvergere og nå en stabil værdi.

Question 63

Punktvis og uniform konvergens

Answer 63

Punktvise konvergens:
Hvis vi har en sekvens af funktioner {f_n}(n≥1), hvor hver funktion f_n er defineret på intervallet I og har værdier i R, siger vi, at denne sekvens af funktioner konvergerer punktvist på I, hvis den tilhørende sekvens af reelle tal {f_n}(n≥1) er konvergent for hver x i I. Den punktvise grænseværdi defineres som:
P(x)≔lim_(n→∞)⁡〖f_n (x),∀x∈I〗.
Uniform konvergens:
Vi siger, at sekvensen af funktioner {f_n}(n≥1) konvergerer uniformt på I mod en funktion U∶I→R, hvis den tilhørende sekvens af reelle tal {a_n}(n≥1), defineret som:
a_n≔sup_(t∈I)⁡〖|f_n (t)-U(t)|,n≥1〗,
konvergerer mod nul. Med andre ord, for en given ε>0, findes der et N_ε∈N, således at:
sup_(t∈I)⁡〖|f_n (t)-U(t)|<ϵ,whenever n≥N_ϵ 〗.

Question 64

Gronwalss ulighed

Answer 64

Gronwalls ulighed giver en øvre grænse for løsningen af en ulighed, der involverer en integral, baseret på visse betingelser.
I den givne ulighed har vi en ikke-negativ kontinuert funktion f defineret på intervallet (a, b) og et fast punkt t_0 i dette interval. Uligheden siger, at for enhver t større end t_0 er funktionen f(t) begrænset af α plus en konstant C ganget med absolutværdien af integralet af f(s) fra t_0 til t.
ed at bruge denne ulighed iterativt kan vi opnå en skøn for f(t), der involverer en sum af led. Summen indeholder potenser af (t - t_0) divideret med fakultetet af det tilsvarende tal, ganget med passende konstanter. Denne sum kaldes ofte for en Taylor-rækkeudvidelse. Leddene i summen fanger opførslen af f(t) omkring t_0.
Da uligheden antages at gælde for alle t større end t_0, bliver skønnet for f(t) mere præcist, når vi inkluderer flere led i summen. Leddet (C^(n+1) (t-t_0)^(n+1))/(n+1)! er det (n+1)-te led i rækkeudvidelsen.
Når n går mod uendelig, konvergerer dette led mod 0. Dette skyldes, at faktorielle leddet i nævneren vokser meget hurtigere end potensen af (t - t_0) og konstanten C i tælleren. Som følge heraf bliver dette led forsvindende lille i forhold til de andre led i summen.
Derfor viser Gronwalls ulighed og den efterfølgende afledning af f(t), at udtrykket (C^(n+1) (t-t_0)^(n+1))/(n+1)! konvergerer mod 0, når n går mod uendelig, mens summen konvergerer mod e^(C(t-t_0)).

Question 65

det simpleste hilbertrum

Answer 65

l^2(N) er et normeret vektorrum, da det er udstyret med en norm (som beskrevet ovenfor) og de dertilhørende egenskaber for en norm.

l^2(N) er også et Banach-rum. Et Banach-rum er et fuldstændigt normeret rum, hvilket betyder, at ethvert Cauchy-følge i l^2(N) konvergerer til et element i l^2(N). Med andre ord vil enhver Cauchy-følge i l^2(N) have en grænse, der også tilhører l^2(N).

Sættet der beskriver alle elementer x i l^2(N) er begrænset, hvilket betyder, at der eksisterer en konstant M, således at ||x|| ≤ M for alle x i l^2(N). Dette betyder, at størrelsen af ethvert element i l^2(N) er begrænset.

Sættet der beskriver alle elementer x i l^2(N) er ikke kompakt. Kompakthed refererer til en egenskab ved mængden af elementer i et rum, hvor ethvert åbent dækkende har en endelig underdækning. l^2(N) opfylder ikke denne egenskab og er derfor ikke kompakt.

Disse egenskaber kendetegner konstruktionen og karakteristika for det simpleste uendimensionelle, reelle og separable Hilbert-rum, l^2(N).

Question 66

Sætning om implicit givne funktioner

Answer 66

Denne sætning, også kendt som implicit funktionssætningen, giver betingelser og resultater for eksistensen og differentiabiliteten af en implicit funktion. Lad os uddybe betydningen af sætningen og forklare dens trin.
. Funktionen f opfylder følgende egenskaber:
a = [f(w_a), w_a], dvs. f(w_a) er værdien af den første m-komponent af a.
h([f(w), w]) = 0 for alle w ∈ B_(r_w)(w_a). Dette betyder, at h er identisk med nul på en delmængde af U, der er givet ved ligningen u = f(w).
D_u h([f(w), w]) er invertibel for alle w ∈ B_(r_w)(w_a), og indgangene i den inverse matrix er kontinuerte funktioner af w.
Jacobi-matricen for f, betegnet Df(w), opfylder identiteten: Df(w) = -D_u h([f(w), w])^(-1) D_w h([f(w), w]).
Sammenfattende siger sætningen, at når visse betingelser er opfyldt, kan man finde en implicit funktion f, der repræsenterer en del af løsningsmængden for ligningen h(x) = 0, og denne funktion er differentiabel og opfylder de angivne egenskaber. Implicit funktionssætningen er nyttig i mange matematiske og anvendte sammenhænge, hvor man ønsker at finde og analysere løsninger til ligninger, der defineres ved implicitte relationer mellem variable.

Question 67

Inverse funktoner lemma

Answer 67

Denne ulighed viser, at forskellen mellem værdierne af g(u) og g(u’) er begrænset af en multiplikator β ganget med afstanden mellem u og u’. Med andre ord, når afstanden mellem u og u’ bliver mindre (ved at vælge en passende værdi for ϵ), bliver forskellen mellem g(u) og g(u’) også mindre i forhold til denne afstand. Dette indikerer en slags “kontinuitet” eller “jævnhed” af funktionen g(u) på sættet K_ϵ.
Lemmaet etablerer således en forbindelse mellem differentiabiliteten af f på K_δ og jævnheden af g på K_ϵ. Det viser, at når f er differentiabel, er g også jævn i en passende omegn af u_0, hvor størrelsen af denne omegn afhænger af β.

Question 68

Inverse funktioner: injektivitet

Answer 68

Dette kemma og bevis handler om at vise at hvis en differentiabel vektorfunktion f opfylder visse betingelser, så er dens begrænsede restriktion til en passen lille kugle omkring et punkt injektiv.
Lemmaet hævder, at der eksisterer en positiv værdi r, således at begrænsningen af f til kuglen B_r(u_0) er injektiv, dvs. forskellige punkter i B_r(u_0) har forskellige billedværdier under f.
Dette betyder, at inden for en tilstrækkelig lille radius omkring u_0, vil funktionen f tilordne forskellige værdier til forskellige punkter. Dette er en konsekvens af invertibiliteten af Jacobimatrixen, som sikrer, at den lokale lineære afbildning af f omkring u_0 er injektiv.

Question 69

Inverse funktioner: theorem

Answer 69

antag, at O er en åben delmængde af R^m, der indeholder punktet u_0. Lad g være en vektorfunktion af klasse C^1, der mapper fra O til R^m. Antag, at Jacobimatrixen [Dg(u_0)] er en invertibel matrix i L(R^m,R^m), dvs. den lineære afbildning repræsenteret af Jacobimatrixen er invertibel. Desuden antages det, at g er injektiv på O.

Teoremet hævder, at der eksisterer en åben bold E i R^m, der indeholder w_0=g(u_0), samt en funktion f:E→O, der opfylder følgende:
Mængden V=f(E) er lig med g^(-1)(E) og er åben i R^m. Dette betyder, at V er billedmængden af E under f, og den kan også opfattes som den inverse afbildning af E under g.
For ethvert w i E har vi g(f(w))=w, hvilket betyder, at f er en lokal invers af g på E. Tilsvarende har vi f(g(u))=u for alle u i V, hvilket betyder, at g er en lokal invers af f på V.
Funktionen f er af klasse C^1 på V, dvs. den har kontinuerlige partielle afledede på V. Desuden er Jacobimatrixen [Dg(f(w))] invertibel for alle w i E, og vi har følgende relation mellem Jacobimatrixerne: [Df(w)]=[Dg(f(w))]^(-1).
Samlet set siger teoremet, at hvis g er en injektiv vektorfunktion af klasse C^1, hvis Jacobimatrix er invertibel på et åbent område O, så eksisterer der en lokal invers f af g, som er af klasse C^1 og opfylder de angivne betingelser for invers afbildning og Jacobimatrixrelationen.
Det sidste lemma som var bevist, bestemmer om noget er injektvt, derfor kan det bruges til at se om en af betingelserne er opretholdt.