Optimisation non linéaire

Question 1

Quel est le problème à résoudre pour optimiser une fonction à une variable ?

Answer 1

min f(x), x dans R

Question 2

Que vérifie x^*, solution du problème d’optimisation à une variable ?

Answer 2

f(x^*) <= f(x)

Question 3

Comment s’appelle x^*, solution du problème d’optimisation à une variable ?

Answer 3

Un optimum global

Question 4

C’est quoi un voisinage ?

Answer 4

Le voisinage d’un point x^* est un intervalle (Peut importe les bornes) tel que x^* dans [a, b] mais x^* n’est pas une borne

Question 5

Donner la condition pour que x^* soit un minimum local

Answer 5

x^* est un minimum local de f(x) s’il existe un voisinage V de x^* tel que f(x^*) <= f(x), pour x dans v

Question 6

Donner le developpement de Tylor d’ordre 1 autour de x^*

Answer 6

f(x) = f(x^*) + f'(x^*)(x-x^*) + o(x - x^*)

Question 7

Donner la condition nécessaire d’odre 1

Answer 7

f’(x^*) = 0

Question 8

Si x^* est un minimum local alors …

Answer 8

x^* est un point stationaire

Question 9

So x^* est un point stationaire alors …

Answer 9

il n’est pas forcément un minimum local

Question 9

Donner la condition nécessaire du second ordre

Answer 9

f’‘(x^*) >= 0

Question 9

Si f’(x^) = 0 et f’‘(x^) > 0 alors ..

Answer 9

x^* est un minimum local

Question 10

Si f’(x^) = 0 et f’‘(x^) < 0 alors ..

Answer 10

x^* est un maximum local

Question 11

(1er ordre) f est (stric.) convexe ssi …

Answer 11

f est (stric.) croissante

Question 12

Si x^* est un minimum local …

Answer 12

il existe un voisinage de x^* où f(x) est convexe

Question 13

(2eme ordre) f est (stric.) convexe ssi …

Answer 13

f’’>= 0

Question 14

Si f est convexe sur tout R, alors tout point stationaire x^* …

Answer 14

est un minmum global.

Question 15

Que vérifie un point stationaire x^*

Answer 15

f’(x*) = 0

Question 16

A est orthogonale ssi :

Answer 16

-A ^T A = I
-A A^T = I
- Ses vecteurs colones / lignes sont orthonormé ( Ci T cj = , cT ci = )
- || Ax || = || x ||

Question 17

Donner les propriété d’une matrice orthogonale :

Answer 17

A^-1 = A^T
A, B orthogonale => AB orthogonale
det(A) += 1
Les vp sont de module 1

Question 18

Donner le quotient de Raylegt :

Answer 18

r(x) = (x^T ax) / (x T x)

Question 19

Donner le lien entre Ax et le quotient de raylegt

Answer 19

Ax = r(x) * x si A est une vp associée à x

Question 20

Que donne le quotient de Reylegt quand on lui donne un vecteur propre

Answer 20

Il vaut la valeur propre associé à x

Question 21

Quel problème résout le quotient de Raylegt

Answer 21

r(x) = min || Ax - alpha*x|| (min de alpha)

Question 22

Donner la suite de la puissance itérée

Answer 22

x_n+1 = A x_n

Plus simplement, en normalisant à chaque étape :

x_k+1 = Ax_k / || Ax_k+1||

Question 23

Dans quelle cas la vitesse de convergence sera lente dans la méthode de la puissance itérée

Answer 23

Si les deux plus grandes valeurs propres sont proches en module.

Question 24

Donner la formule pour avoir le nombre d’itération en fonction de la précission souhaité et du module des deux plus grande vp de la methode des puissancie itérée

Answer 24

k >= log epsilon / log |lambda1 / lambda2|

Question 25

Comment trouver la plus petite vp de A avec la methode de la puissance itérée ?

Answer 25

En appliquant la méthode sur A^-1 puis en inversant la vp obtenue