Optimisation non linéaire Flashcards
Quel est le problème à résoudre pour optimiser une fonction à une variable ?
min f(x), x dans R
Que vérifie x^*, solution du problème d’optimisation à une variable ?
f(x^*) <= f(x)
Comment s’appelle x^*, solution du problème d’optimisation à une variable ?
Un optimum global
C’est quoi un voisinage ?
Le voisinage d’un point x^* est un intervalle (Peut importe les bornes) tel que x^* dans [a, b] mais x^* n’est pas une borne
Donner la condition pour que x^* soit un minimum local
x^* est un minimum local de f(x) s’il existe un voisinage V de x^* tel que f(x^*) <= f(x), pour x dans v
Donner le developpement de Tylor d’ordre 1 autour de x^*
f(x) = f(x^*) + f'(x^*)(x-x^*) + o(x - x^*)
Donner la condition nécessaire d’odre 1
f’(x^*) = 0
Si x^* est un minimum local alors …
x^* est un point stationaire
So x^* est un point stationaire alors …
il n’est pas forcément un minimum local
Donner la condition nécessaire du second ordre
f’‘(x^*) >= 0
Si f’(x^) = 0 et f’‘(x^) > 0 alors ..
x^* est un minimum local
Si f’(x^) = 0 et f’‘(x^) < 0 alors ..
x^* est un maximum local
(1er ordre) f est (stric.) convexe ssi …
f est (stric.) croissante
Si x^* est un minimum local …
il existe un voisinage de x^* où f(x) est convexe
(2eme ordre) f est (stric.) convexe ssi …
f’’>= 0
Si f est convexe sur tout R, alors tout point stationaire x^* …
est un minmum global.
Que vérifie un point stationaire x^*
f’(x*) = 0
A est orthogonale ssi :
-A ^T A = I
-A A^T = I
- Ses vecteurs colones / lignes sont orthonormé ( Ci T cj = , cT ci = )
- || Ax || = || x ||
Donner les propriété d’une matrice orthogonale :
A^-1 = A^T
A, B orthogonale => AB orthogonale
det(A) += 1
Les vp sont de module 1
Donner le quotient de Raylegt :
r(x) = (x^T ax) / (x T x)
Donner le lien entre Ax et le quotient de raylegt
Ax = r(x) * x si A est une vp associée à x
Que donne le quotient de Reylegt quand on lui donne un vecteur propre
Il vaut la valeur propre associé à x
Quel problème résout le quotient de Raylegt
r(x) = min || Ax - alpha*x|| (min de alpha)
Donner la suite de la puissance itérée
x_n+1 = A x_n
Plus simplement, en normalisant à chaque étape :
x_k+1 = Ax_k / || Ax_k+1||
Dans quelle cas la vitesse de convergence sera lente dans la méthode de la puissance itérée
Si les deux plus grandes valeurs propres sont proches en module.
Donner la formule pour avoir le nombre d’itération en fonction de la précission souhaité et du module des deux plus grande vp de la methode des puissancie itérée
k >= log epsilon / log |lambda1 / lambda2|
Comment trouver la plus petite vp de A avec la methode de la puissance itérée ?
En appliquant la méthode sur A^-1 puis en inversant la vp obtenue
