numeri complessi Flashcards
cosa sono i numeri complessi?
una coppia ordinata (a;b) di numeri reali
qual è il motivo per cui sono stati pensati i numeri complessi e come si è trovato la soluzione?
i matematici notarono che nessun numero al quadrato potesse dare come risultato un numero negativo, ma attraverso la definizione di moltiplicazione con numeri complessi del tipo (0;b) si è trovato la soluzione a questo problema
perchè l’insieme R è ISOMORFO dell’insieme C’ rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione?
perchè ogni numero complesso può essere identificato biunivocamente con un numero reale. (a;0)<->a
cosa è un numero immaginario?
un numero complesso del tipo (0;b)
cosa è l’unità immaginaria i?
il numero immaginario (0;1) il cui quadrato vale -1
quando un numero immaginario è scritto nella sua forma algebrica?
quando è scritto come a+bi, dove a è la parte reale e bi quella immaginaria
cosa è il modulo di un numero complesso?
è la radice quadrata della somma del quadrato di a e del quadrato di b.
a cosa serve il piano di Gauss?
serve a rappresentare i numeri reali sull’asse delle x, o asse reale; i numeri immaginari sull’asse delle y o asse immaginario. i numeri complessi sono un punto del piano individuato da entrambi gli assi.
cosa è un vettore e quali caratteristiche possiede?
un vettore è l’insieme costituito da tutti i segmenti paralleli, ugualmente orientati e con modulo uguale a quello del segmento orientato dato, definito anche rappresentante del vettore. le tre caratteristiche che possiede sono: lunghezza. direzione e verso.
cosa sono le coordinate polari?
le coordinate polari sono un modo alternativo per scrivere le coordinate cartesiane. Alpha (argomento)= ampiezza dell’angolo xOP e r (raggio vettore )=modulo
a=rcosalpha b=rsinalpha
r= rad(a^2+b^2) alpha: tan=b/a cos=a/r sin=b/r
da cui deriva la forma trigonometrica del numero complesso:
z=r(cosalpha + isinalpha)
come può essere espressa la moltiplicazione in forma trigonometrica?
z1 x z2= r x s [cos (alpha+beta) + i*sin(alpha+beta)]
Il prodotto di due numeri complessi scritti in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli dei numeri dati e per argomento la somma degli argomenti
come può essere espressa la divisione in forma trigonometrica?
z1/z2= r/s [cos (alpha-beta) + i*sin(alpha-beta)]
il quoziente di due numeri scritti in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo il quoziente dei moduli dei numeri dati e per argomento la differenza degli argomenti
come può essere espressa la potenza in forma trigonometrica?
[r x (cosaplha + isinalpha)]^n= r^n(cos x n x alpha + i*sin x n x alpha) formula di de mouire
La potenza con esponente intero di un numero complesso scritto in forma trigonometrica è uguale al numero complesso che ha per modulo la potenza del numero dato e per argomento il prodotto dell’esponente per l’argomento del numero dato
cosa è la radice dell’unità? come possono essere calcolate le radici n-esime di un numero complesso?
la radice dell’unità è un qualsiasi numero complesso che elevato ad n=1. rad(1)= u <->u^2=1. la radice n-esima di un numero complesso si scrive:
rad(r(cosalpha+isinalpha)=rad(r) x [cos(a/n+ 2kpi/n) + i*sin(a/n + 2kpi/n)]
cosa è la forma esponenziale di un numero complesso?
re^alphai=r x (cosalpha+ i*sinalpha) (prima formula di Eulero) con e= numero di Nepero.
