Nombres et calcul Flashcards
Qu’est-ce que sont les unités de numération dans notre système de numération ?
En numération décimale, ce sont les termes unités, dizaine, centaine… et ce qu’ils représentent.
Quelle est la définition d’une numération et de quoi se compose un système de numération ?
Numération : science qui permet de représenter, lire et écrire des nombres entiers naturels.
Se compose :
- d’un alphabet de numération formé de chiffres (symboles de numération)
- d’un code, d’un ensemble de règles
Comment peut-on décomposer l’écriture en chiffre de notre numération ? Donner ensuite la formule pour une base n
On peut utiliser des puissances de 10 :
10 puissance n = 10 x 10 x 10 x 10 (n facteurs égaux à 10) = 1000… (n chiffres o)
Pour abcd sur une base n : a x n puissance 3 + b x n puissance 2 + c x n + d
Que signifie une barre horizontale au-dessus d’un nombre ?
Cela sert à indiquer qu’on a affaire à l’écriture n’un nombre à distinguer d’un produit de nombre (abcd).
En base cinq, combien fait 342 ?
= 3 x 5puissance 2 + 4 x 5puissance 1 + 2 x 5puissance 0
Est-ce que “vingt” et “cent” s’accordent ?
Oui mais seulement quand ils sont multipliés par un nombre et ne sont pas suivis par un autre nombre :
- quatre-vingts
- quatre-vingt-sept
-cent-quatre
-quatre-cents
-quatre-cent-quatre
Est-ce que “mille” s’accorde ? Et “millier”, “million” et “milliard” ?
Non, mille est toujours invariable.
Par contre, millier, million et milliard s’accordent.
Existe-t-il une base de numération où 82 sur base de a = 3 x 28 sur base de a ?
On essaye sur base de 10
8a + 2 = 3 x 2a + 3 x 8
8a + 2 = 6 a + 24
2a = 22
a = 11
11 (valeur de base) > 8 (chiffre le plus élevé)
Donc l’égalité est vraie en base 11
Combien fait 144 en base de 12 ?
Et combien fait 1000 (sur la base 12) en base de 10 ?
144 = 12 x 12 = 12 puissance 2
Donc 144 = 100 en base de 12
1000 base 12 = 12puissance 3
Donc 12 x 12 x 12 = 1728 en base de 10
Donner la définition de l’aspect cardinal de l’addition et la définition de l’aspect ordinal de l’addition.
Aspect cardinal :
- a et b sont les nombres d’un ensemble A et d’un ensemble B, disjoints
- a + b est le nombre d’éléments de l’ensemble constitué par la réunion de A et B
Aspect ordinal :
- La somme de a + b est égale au nombre atteint en comptant b nombres consécutifs après a dans la suite ordonnée des nombres naturels
Donner la définition de l’aspect cardinal de la soustraction, la définition de l’aspect ordinal de la soustraction et la définition à partir de l’addition supposée connue.
Aspect cardinal :
- (a - b) est le nombre d’éléments de l’ensemble complémentaire de B par rapport à A (l’ensemble des éléments qui appartiennent à A sans appartenir à B)
Aspect ordinal
- La différence a - b est égale au nombre atteint en comptant b nombres avant a
À partir de l’addition :
- a étant supérieur ou égal à b, a-b est la solution de l’équation b+x = a
- Il y a donc équivalence entre x = a - b et b + x = a
Donner 2 définitions de la multiplication
1 :
- le produit de a x b est égal à la somme de b naturels égaux à a (a x b = a + a + a ; avec b fois le terme a)
2 :
- c’est l’opération qui, à deux entiers quelconques, permet d’associer leur produit
Donner une définition de la division
1 :
- la division euclidienne de a (dividende) par b (diviseur) est l’opération par laquelle on associe à a et b les entiers naturels q (quotient entier ou euclidien) et r (reste) tels que
- a = (b x q) + r
- r<b
Que doit-on calculer en premier, dans un calcul avec parenthèses, puis dans un calcul sans parenthèses ?
Avec parenthèses :
- on commence par le contenu des parenthèses les plus intérieures
- on calcule progressivement les parenthèses les plus extérieures
Sans parenthèses :
- D’abord les puissances et racines carrées
- Puis les multiplications et divisions
-Et enfin les additions et soustractions
Qu’est-ce que l’associativité et pour quelles opérations peut-on le faire ?
C’est la propriété qui permet de “déplacer” des parenthèses dans certains calculs d’addition ou de multiplication et finalement de les supprimer.
Pour l’addition :
a + (b+c) = (a+b) + c
Ce qui justifie une écriture telle que a + b + c qui est égale aux écritures précédentes
Pour la multiplication :
a x (b x c) = (a x b) x c
ou a(bc) = (ab)c
Ce qui justifie une écriture telle que a x b x c ou abc qui est égale aux écritures précédentes
Quelles sont les trois identités remarquables ?
(a + b)au carré = (a + b)(a + b) = a au carré + b au carré + ab
(a - b)au carré = (a - b)(a - b) = a au carré + b au carré - 2ab
(a + b)(a - b) = a au carré - b au carré
Qu’est-ce que la commutativité et pour quelles opérations peut-on le faire ?
C’est la propriété qui permet de permuter deux termes (dans une somme) ou deux facteurs (dans un produit)
Pour l’addition :
a + b = b + a
Pour la multiplication :
a x b = b x a
Qu’est-ce que l’élément neutre et pour quelles opérations peut-on le faire ?
C’est un élément x qui permet d’obtenir le même résultat que s’il n’avait pas été là.
Pour l’addition : c’est 0
a + 0 = a
Pour la multiplication : c’est 1
a + 1 = a
Qu’est-ce que l’élément absorbant et pour quelle opération peut-on le faire ?
C’est un élément x qui entraîne la nullité du résultat de la multiplication (c’est 0)
a x 0 = 0
Qu’est-ce que la distributivité, quel est son inverse et pour quelles opérations (x5) peut-on le faire ?
C’est le développement, le fait de passer d’une structure algébrique avec un produit à une somme ou une différence. Elle fonctionne donc avec la multiplication et la division. Son inverse est la factorisation.
1 - Distributivité simple de la multiplication sur l’addition :
a x (b + c) = (a x b ) + (a x c) = ab + ac
2 - Distributivité simple de la multiplication sur la soustraction :
a x (b - c) = (a x b) - (a x c) = ab - ac
3 - Double distributivité de la multiplication :
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
4 - Distributivité simple de la division sur l’addition :
(b + c) / a = b / a + c / a
5 - Distributivité simple de la division sur la soustraction :
(b - c) / a = b / a - c / a
Quelles sont les 4 propriétés de la soustraction ? (5 calculs)
- Conservation de la différence : la valeur d’une différence n’est pas modifiée si on ajoute ou on soustrait le même nombre à chacun des termes
avec a >= b ; a - b = (a + c) - (b + c)
avec a >= b >= c ; a - b = (a - c) - (b - c)
-Ajout d’une différence :
avec b >= c ; a + (b - c) = (a + b) - c
- Soustraction d’une somme :
avec a >= b + c ; a - (b + c) = (a - b) - c - Soustraction d’une différence :
avec a => b >= c ; a - (b - c) = (a - b) + c
Quelle est la propriété de conservation du quotient dans une division euclidienne ?
Dans de tels calculs, le quotient n’est pas modifié si on multiplie ou divise les deux termes de la division par un même nombre k :
- Pour la division a = bq + r avec 0 <= r < b
- ça se traduit par ak = (bk)q + rk avec rk<bk
Quelles sont les formules de puissances pour :
A = a puissance n x a puissance p
B = (a puissance n)puissance p
C = (a/b)n
D = 1/a puissance n
Soit a, nb réel et n, nb entier :
A = a puissance n+p
B = a puissance n x p
C= a puissance n / b puissance n
D= a puissance -n
Quelles sont les opérations applicables aux racines carrés pour :
A = √a
B = (√a)
C = √ab
D = √a/b
A = √
B = √
C = √
D = √
