Musteraufgsben 0

Question 1

Eine Serienproduktion von Glühbirnen hat einen Ausschussanteil von 13%.
#Aus der laufenden Produktion wird eine Stichprobe vom Umfang 27
#entnommen.Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält diese Stichprobe 2
#oder mehr defekte Glühbirnen? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Answer 1

binom.test(2,27, p=0.13, alternative= “greater”)
#Antwort: P-value=0.8828 =88.28

Question 2

Die Wahrscheinlichkeit eines schweren Unfalls betrage bei einem technischen Verfahren 1:5000
#im Laufe eines Jahres. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Betrieb von 28
#Anlagen im Laufe von 12 Jahren der Unfall mindestens einmal auftritt? (Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.)

Answer 2

2.1. Maximal einen Auftritt:

p1 <- 1/5000
n <- 28*12
binom.test(1, n, p1, alternative = “greater”)
#Antwort: p=value = 0.065 = 6.5%

binom.test(1,n, p1, alternative = “less”)
#Antwort: p=value = 0.9978 = 99.78%

Question 3

Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Mittelwert μ= −8.11 und Standardabweichung σ= 28.54.
#Berechnen Sie das 0.37-Quantil von X. (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)

Answer 3

Antwort: x1 = -17.581

mw <- -8.11
sa <- 28.54
z0.37 <- qnorm(0.37)

x1 <- mw + z0.37 * sa
x1

Question 4

vDie Zufallsgröße Z ist standardnormalverteilt. Wie lautet c, wenn Z mit einer Wahrscheinlichkeit von
# 0.78c nicht unterschreitet. (Geben Sie das Ergebnis auf drei Nachkommastellen genau an.)

Answer 4

Antwort: -0.772

1 - 0.78 = 0.22
qnorm(0.22)

Question 5

Der Intelligenzquotient sei normalverteilt mit μ= 100 und σ= 15.
#Ein Kind gilt als überdurchschnittlich intelligent, wenn es bei einem Test einen IQ von über 120 erzielt.
#Eine Schulklasse mit 10 Kindern wird getestet.
#Wie wahrscheinlich ist es, dass in dieser Klasse mehr als ein überdurchschnittlich intelligentes Kind zu finden ist?

Answer 5

Antwort: 1.333

soll <- 100
sd <- 15
n1 <- 10
IQ <- 120

((IQ - soll) / sd)

1 - pnorm(1.333)
# 0.0912

binom.test(1, 10, p= 0.0912, alternative = “less”)
# p-value = 0.77
1-0.77

Question 6

Ein bestimmtes Merkmal wurde 19 Mal beobachtet. Dabei ergab sich ein arithmetisches Mittel von 9.11. Nun kommt eine neue Beobachtung mit dem Wert 22 hinzu.
#Bestimmen Sie das neue arithmetische Mittel.

Answer 6

Antwort: 9.75

n <- 19
x <- 9.11

n * x
# = 173.09

(173.09 + 22)/20

Question 7

Wir betrachten einen kleinen Kiosk, der im Jahr 2010 vier Produktgruppen angeboten hat (Preise in Euro in Klammern):
#Zigaretten (3.40), Getränke (2.10), Rubbellose (0.90) und Süßigkeiten (1.10). Jeden Tag werden 180 Einheiten Zigaretten, 165 Einheiten Getränke,
#175 Einheiten Rubbellose und 70 Einheiten Süßigkeiten verkauft. Im Jahr 2011 ergaben sich folgende Preissteigerungen: Zigaretten wurden um 35% teurer,
#Getränke um 30%, Rubbellose um 5% und Süßigkeiten um 20%. Um wie viel Prozent stiegen die Preise 2011 im Vergleich zu 2010 im Durchschnitt?

Answer 7

Antwort: 1.28619 = 28.62%

(3.40 * 180 * 1.35 + 2.10 * 165 * 1.30 + 0.90 * 175 * 1.05 + 1.10 * 70 * 1.20) / (3.40 * 180 + 2.10 * 165 + 0.90 * 175 + 1.10 * 70)

Question 8

22, 42, 23, 20, 6, 12, 15, 30, 23

Ein Einzelhändler verkauft an 9 aufeinanderfolgenden Tagen nachstehende Stückzahlen eines bestimmten Produktes:

#(Für den Fall, dass das gesuchte Quantil nicht eindeutig ist, d.h. dass das Quantil innerhalb eines Intervalles liegt, verwenden Sie bitte die Intervallmitte.)

Answer 8

6, 12, 15, 20, 22, 23, 23, 30, 42

0.49 * 9
# =4.41 d.h. -> 5 Zahl!!!

wenn ungerade % dann wir berechnen 2 Zahlen und dann addieren/2

Question 9

22, 42, 23, 20, 6, 12, 15, 30, 23

Ein Einzelhändler verkauft an 9 aufeinanderfolgenden Tagen nachstehende Stückzahlen eines bestimmten Produktes:

#(Für den Fall, dass das gesuchte Quantil nicht eindeutig ist, d.h. dass das Quantil innerhalb eines Intervalles liegt, verwenden Sie bitte die Intervallmitte.)

Answer 9

6, 12, 15, 20, 22, 23, 23, 30, 42

0.49 * 9
# =4.41 d.h. -> 5 Zahl!!!

wenn ungerade % dann wir berechnen 2 Zahlen und dann addieren/2

Question 10

An einem Pfadfinderlager nehmen 45 Jugendliche im Alter von 9 bis 15 Jahren teil. Das Alter der einzelnen Teilnehmer/innen beträgt:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.
#Geben Sie die absolute Häufigkeit der 11-Jährigen in diesem Pfadfinderlager an.

Question 10

An einem Pfadfinderlager nehmen 45 Jugendliche im Alter von 9 bis 15 Jahren teil. Das Alter der einzelnen Teilnehmer/innen beträgt:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.
#Geben Sie die absolute Häufigkeit der 11-Jährigen in diesem Pfadfinderlager an.

Question 11

Im Rahmen einer Klausur erreichten 5 Studierende folgende Punktezahl von 100 zu erreichenden Punkten:
96, 82, 89, 84, 90
#Wie groß ist die Stichprobenvarianz?

Question 12

An einem Pfadfinderlager nehmen 45 Jugendliche im Alter von 9 bis 15 Jahren teil. Das Alter der einzelnen Teilnehmer/innen beträgt:
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.
#Geben Sie die absolute Häufigkeit der 11-Jährigen in diesem Pfadfinderlager an.

Answer 12

11 jährigen =6

Question 13

Im Rahmen einer Klausur erreichten 5 Studierende folgende Punktezahl von 100 zu erreichenden Punkten:
96, 82, 89, 84, 90
#Wie groß ist die Stichprobenvarianz?

Answer 13

var(c(82,84,89,90,96))

Question 14

Geben Sie die Untergrenze des 95%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven. Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt
#1000g Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist mit einer Varianz von
#9604g2
#Eine Stichprobe der Größe 14 ergibt ein durchschnittliches Abfüllgewicht von 986 g.

Answer 14

s2 <- 9604 #varianz
n <-14 #stichprobe
x <- 986 #gewicht.

95% Konfidenyintervall
100 - 95 = 5% = 0.05

1 - 0.05/2 # koeffizient in tabelle

qnorm(0.975) # p suchen
p=1.96

x + p * sqrt((s2/n)) #obergrenze
x - p * sqrt((s2/n)) #untergrenze

986-1.95996*sqrt((9604/14))

Question 15

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 22 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 1010g und eine empirische Varianz von 8033g2
#Geben Sie die Untergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 15

n <- 20
x <- 1010
s2 <- 8033

#90%
100-90= 10 =0.1

1-0.10/2 = 0.95
qt(0.95,21) #22-1
p<- 1.7207

1010-1.7207 *sqrt ((8033/22))
# Antwort 977.12

Question 16

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 16

90% Konfidenzinterval

n <- 162
x<- 989
s2<- 14702

100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95

qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel

p<-1.6544

x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze

Question 17

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 17

90% Konfidenzinterval

n <- 162
x<- 989
s2<- 14702

100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95

qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel

p<-1.6544

x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze

Question 18

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 18

90% Konfidenzinterval

n <- 162
x<- 989
s2<- 14702

100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95

qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel

p<-1.6544

x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze

Question 19

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 19

90% Konfidenzinterval

n <- 162
x<- 989
s2<- 14702

100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95

qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel

p<-1.6544

x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze

Question 20

Ein Getränkefabrikant besitzt mehrere Produktionslinien.
#Laut Hersteller der Getränke ist die Abfüllmenge normalverteilt und schwankt nur mit einer Standardabweichung von
# σ= 33.16ml. Der Getränkefabrikant beauftragt nun einen Werkstudenten, ein 96%-Konfidenzintervall für die erwartete Abfüllmenge zu berechnen.
#Allerdings soll das Konfidenzintervall nur maximal 15ml breit sein.
#Wie viele Getränkeflaschen muss der Werkstudent für seine Stichprobe mindestens verwenden? (Geben Sie Ihre Antwort ganzzahlig ein.)

Answer 20

Alternativhypothese:

Die Genauigkeit von Wettervorhersagen, ob es am nächsten Tag regnet, liegt derzeit bei
95%
#. Ein Team von Meteorologen hat ein neues Prognoseverfahren entwickelt und möchte nun testen,
#ob dieses Verfahren von den bisherigen Methoden abweicht. Dazu prüfen sie an
200
#Tagen unabhängig voneinander, ob ihre jeweilige Prognose eingetreten ist oder nicht. Die Prognosen der neuen Methode traten an
195
#Tagen ein. Die Meteorologen sind der Meinung, dass die neue Methode von den bisherigen abweicht.
#Versuchen Sie mithilfe eines approximativen Binomialtests nachzuweisen, dass die neue Methode signifikant von den bisherigen abweicht. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von
10%
#Wie lautet der Absolutbetrag der Teststatistik?

Po= 95%
n = 200
195 Tagen

Ho: p< 0.95 gegen H1: p > 0.95 (besser als bisher)

195/200 = 0.975

((0.975-0.95)/sqrt((0.950.05)) sqrt(200))

Question 21

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 21

90% Konfidenzinterval

n <- 162
x<- 989
s2<- 14702

100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95

qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel

p<-1.6544

x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze

Question 21

Ein Getränkefabrikant besitzt mehrere Produktionslinien.
#Laut Hersteller der Getränke ist die Abfüllmenge normalverteilt und schwankt nur mit einer Standardabweichung von
# σ= 33.16ml. Der Getränkefabrikant beauftragt nun einen Werkstudenten, ein 96%-Konfidenzintervall für die erwartete Abfüllmenge zu berechnen.
#Allerdings soll das Konfidenzintervall nur maximal 15ml breit sein.
#Wie viele Getränkeflaschen muss der Werkstudent für seine Stichprobe mindestens verwenden? (Geben Sie Ihre Antwort ganzzahlig ein.)

Answer 21

Alternativhypothese:

Die Genauigkeit von Wettervorhersagen, ob es am nächsten Tag regnet, liegt derzeit bei
95%
#. Ein Team von Meteorologen hat ein neues Prognoseverfahren entwickelt und möchte nun testen,
#ob dieses Verfahren von den bisherigen Methoden abweicht. Dazu prüfen sie an
200
#Tagen unabhängig voneinander, ob ihre jeweilige Prognose eingetreten ist oder nicht. Die Prognosen der neuen Methode traten an
195
#Tagen ein. Die Meteorologen sind der Meinung, dass die neue Methode von den bisherigen abweicht.
#Versuchen Sie mithilfe eines approximativen Binomialtests nachzuweisen, dass die neue Methode signifikant von den bisherigen abweicht. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von
10%
#Wie lautet der Absolutbetrag der Teststatistik?

Po= 95%
n = 200
195 Tagen

Ho: p< 0.95 gegen H1: p > 0.95 (besser als bisher)

195/200 = 0.975

((0.975-0.95)/sqrt((0.950.05)) sqrt(200))

Question 22

Eine Konsumentenschutzorganisation untersucht das Abfüllgewicht von bestimmten Konserven.
#Das auf der Konserve angegebene Gewicht beträgt 1000g. Außerdem geht man davon aus, dass das Gewicht normalverteilt ist.
#Eine Stichprobe der Größe 162 ergibt ein durchschnittliches Gewicht der Konserven von 989g und eine empirische Varianz von
#14702g2. Geben Sie die Obergrenze des 90%-Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Abfüllgewicht der Konserven an.

Answer 22

90% Konfidenzinterval

n <- 162
x<- 989
s2<- 14702

100-90 =10 = 0.10
1-0.10/2 =0.95

qt(0.95,161) #qt weil stichprobe n > 30 #161 weil n-1 in formel

p<-1.6544

x + p * sqrt((s2/n)) #Untergrenze

Question 23

Ein Getränkefabrikant besitzt mehrere Produktionslinien.
#Laut Hersteller der Getränke ist die Abfüllmenge normalverteilt und schwankt nur mit einer Standardabweichung von
# σ= 33.16ml. Der Getränkefabrikant beauftragt nun einen Werkstudenten, ein 96%-Konfidenzintervall für die erwartete Abfüllmenge zu berechnen.
#Allerdings soll das Konfidenzintervall nur maximal 15ml breit sein.
#Wie viele Getränkeflaschen muss der Werkstudent für seine Stichprobe mindestens verwenden? (Geben Sie Ihre Antwort ganzzahlig ein.)

Question 24

Ein Getränkefabrikant besitzt mehrere Produktionslinien.
#Laut Hersteller der Getränke ist die Abfüllmenge normalverteilt und schwankt nur mit einer Standardabweichung von
# σ= 33.16ml. Der Getränkefabrikant beauftragt nun einen Werkstudenten, ein 96%-Konfidenzintervall für die erwartete Abfüllmenge zu berechnen.
#Allerdings soll das Konfidenzintervall nur maximal 15ml breit sein.
#Wie viele Getränkeflaschen muss der Werkstudent für seine Stichprobe mindestens verwenden? (Geben Sie Ihre Antwort ganzzahlig ein.)

Answer 24

96%-Konfidenzintervall
100-96= 4 = 0.04
1 - 0.04/2
#0.98
qnorm(0.98)
# = 2.0537

(2 * 2.0537*(33.16/15))^2 #in der Formel steht

= 82.448

Question 25

Die Genauigkeit von Wettervorhersagen, ob es am nächsten Tag regnet, liegt derzeit bei
95%
#. Ein Team von Meteorologen hat ein neues Prognoseverfahren entwickelt und möchte nun testen,
#ob dieses Verfahren von den bisherigen Methoden abweicht. Dazu prüfen sie an
200
#Tagen unabhängig voneinander, ob ihre jeweilige Prognose eingetreten ist oder nicht. Die Prognosen der neuen Methode traten an
195
#Tagen ein. Die Meteorologen sind der Meinung, dass die neue Methode von den bisherigen abweicht.
#Versuchen Sie mithilfe eines approximativen Binomialtests nachzuweisen, dass die neue Methode signifikant von den bisherigen abweicht. Verwenden Sie ein Signifikanzniveau von
10%
#Wie lautet der Absolutbetrag der Teststatistik?

Answer 25

Alternativhypothese:

Po= 95%
n = 200
195 Tagen

Ho: p< 0.95 gegen H1: p > 0.95 (besser als bisher)

195/200 = 0.975

((0.975-0.95)/sqrt((0.950.05)) sqrt(200))

Question 26

Eine Fabrik produziert Kugellager. Diese Kugellager sollen alle den gleichen Umfang von 32cm vorweisen.
#Bei der Weiterverarbeitung wurde jedoch festgestellt, dass der Umfang mancher Kugellager vom eingestellten Sollwert
#μ0 = 32 abweicht. Daher wurde eine Stichprobe von der Maschine genommen und von 19 Kugellagern der Umfang nachgemessen.
#Diese Stichprobe lieferte einen durchschnittlichen Umfang von 33.22cm.
#Treffen Sie die Annahme, der Umfang der Kugellager sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit einer Varianz von
#3.49cm2.
#Versuchen Sie (statistisch) nachzuweisen, dass der durchschnittliche Umfang der Kugellager
#im Mittel vom eingestellten Sollwert abweicht (Alternativhypothese). Geben Sie den entsprechenden
#p-Wert auf 3 Kommastellen an (Signifikanzniveau 5%).

Answer 26

μ0 = 32
x = 33.22
varianz = 3.49
n = 19

T = (x - μ0) / sqrt(varianz/n)
((33.22 - 32)/sqrt(3.49/19))
# = 2.8466