Mouvements browniens et processus stochastiques Flashcards
Définition : pi-systeme
En mathématiques, un π-système (ou pi-système) sur un ensemble X est un ensemble de parties de X stable par intersection.
Les π-systèmes font partie des familles d’ensembles que l’on rencontre en théorie de la mesure et théorie des probabilités. On sait par exemple grâce au lemme de classe monotone que deux mesures finies, et en particulier deux mesures de probabilités, dont les valeurs coïncident sur un π-système, coïncident également sur la tribu engendrée par le dit π-système. Les π-systèmes offrent donc une famille d’ensembles de prédilection, et relativement simple, pour vérifier l’égalité de deux mesures ou bien l’unicité de la construction d’une mesure.
Lemme de classe monotone
Le lemme de classe monotone, permet de démontrer, de manière économique, l’égalité entre deux lois de probabilité : de même que deux applications linéaires qui coïncident sur une base coïncident sur l’espace entier, deux mesures de probabilité qui coïncident sur un π-système, coïncident sur la tribu engendrée par ce π-système.
Définition classe monotone
Une classe M de parties d’un ensemble Ω est appelé λ-système ou classe monotone si cette classe contient Ω et est stable par différence, et par réunion croissante:
a) Ω E M
b) Pour tous AEM et BEM / ACB, on a B\A C M
c) Pour toute famille (A0,…,An) de famille de M telle que Ak C Ak+1 on a U(k>=0) Ak E M
Définition tribu
En mathématiques, une tribu ou σ-algèbre ou plus rarement corps de Borel sur un ensemble X est un ensemble non vide de parties de X, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable). Les tribus permettent de définir rigoureusement la notion d’ensemble mesurable.
Soit X un ensemble. On appelle tribu (ou σ-algèbre) sur X, un ensemble A de parties de X qui vérifie :
a) Ensemble vide E A
b) Pour tout BEA, B^c E A
c) Pour tous A1,…,An de A, U(nEN) An E A
Définition : Fonction de répartition
En théorie des probabilités, la fonction de répartition, ou fonction de distribution cumulative, d’une variable aléatoire réelle X est la fonction FX qui, à tout réel x, associe la probabilité d’obtenir une valeur inférieure ou égale :
F_{X}(x)= P(X<= x)
Lemme de classe monotone
La plus petite classe monotone d’un ensemble Omega contenant C un pi-système est la tribu engendrée par C, appelée sigma(C)
Corollaire du Lemme de classe monotone
Soit (Ω,A) un espace probabilisable. Soit C un pi-système contenue dans A tel que sigma(C)=A.
1 ) Si P et Q sont des probabilités sur (Ω,A) qui coincident sur C alors elles sont égales.
2) Si de plus, X est une application de Ω dans E muni d’une tribu EPSILON et si C~ un pi-système dans EPSILON tel que sigma(C~)=EPSILON et tel que pour tout A dans C~, X^(-1)(A) EA alors X:(Ω,A) -> (E,EPSILON) est mesurable
Définition Processus aléatoire
Un processus aléatoire X est une famille de variables aléatoires X = (Xt)t≥0 définies sur un même espace de probabilité (Ω,A,P) et à valeurs dans un même espace d’état (E,EPSILON).
Dans toute la suite l’espace d’état sera toujours E = Rd (d ≥ 1) muni de sa tribu borélienne E = B(Rd) (plus petite tribu contenant les ensembles ouverts de Rd).
Définition : Trajectoire d’un processus aléatoire X
Pour tout ωEΩ, la fonction R+ → Rd : t → Xt(ω) est appelée trajectoire du processus aléatoire X.
C’est une fonction aléatoire. La notion de processus aléatoire permet de modéliser tout type de phénomènes aléatoires évoluant dans le temps, comme par exemple :
— le nombre de clients présents dans une file d’attente,
— la position au cours du temps d’une particule subissant de multiples collisions aléatoires
avec le milieu dans lequel elle évolue,
— le cours d’un actif financier
Autre manière de voir un processus aléatoire
Un processus aléatoire peut également être vu comme une fonction X à valeurs dans l’espaces
des fonctions définies sur R+ et à valeurs dans E, noté E^R+. Cet espace est muni de la tribu cylindrique, notée B(E^R+ ), qui est la plus petite tribu contenant les ensembles de la forme suivante (appelés cylindres)
Ensembles de forme cylindriques
C={x∈E^R+ :(x(t1),…,x(tn))∈A1 ×···×An}, avec t1,…,tn ∈ R+ et A1,…,An ∈ EPSILON
Proposition 2 sur les processus aléatoires
Soit X = (Xt)t≥0 un processus aléatoire, alors
X :Ω→E^R+ :ω→(R+ →E :t →Xt(ω))
est une variable aléatoire (car elle est mesurable ie pour tout A de B(E^R+), X^(-1)(A)EA.
Démo dans le poly 1
Définition : Loi d’un processus aléatoire
Soit X un processus aléatoire. La loi de X est la mesure de probabilité Px sur (E^R+ , B(E^R+ )) définie par
Px(B) = P(X ∈ B), ∀B ∈ B(E^R+).
Proposition 3: La loi d’un processus aléatoire est entièrement caractérisée
par la loi de ses marginales fini-dimensionnelles
Soit X un processus aléatoire et Q une mesure de probabilité sur (ER+ , B(ER+ ). Il y a équivalence entre :
(i) Px = Q,
(ii) Pour tout t1,…,tn ≥ 0 et A1,…,An ∈ EPSILON,
P(Xt1 ∈ A1,…,Xtn ∈ An) = Q({x ∈ E^R+ : x(t1) ∈ A1,…,x(tn) ∈ An}).
Autrement dit, si l’on ne souhaite pas trop entrer dans le formalisme de la théorie de la
mesure, on peut considérer que la loi d’un processus aléatoire est simplement la donnée de la loi
de tous les vecteurs aléatoires de la forme (X ,…,X ) (à valeurs dans En) avec t ,…,t ≥ 0.
Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) est évidente. Pour la réciproque, observons que (ii) revient à supposer que Pc(C) = Q(C), pour tout cylindre C de la forme (1.1). Notons C la classe de tous les cylindres. Par définition B(ER+ ) = σ(C) (la tribu engendrée par la classe C). De plus, la classe C est clairement stable par intersection. On peut alors invoquer un corollaire classique du lemme de classe monotone et conclure que Px = Q sur σ(C).
Définition : processus aléatoires indistinguables et modification de l’autre
Deux processus aléatoires X, Y : Ω → E^R+ définis sur le même espace de probabilité et à valeurs dans le même espace d’état sont dit indistinguables si
P({Xt =Yt,∀t≥0})=1.
On dit que Y est une modification de X si P(Xt=Yt)=1 ∀t≥0.
